4-7《黄金分割法》(第1课时).ppt

选修4 7 第一讲优选法 第1课时黄金分割法 0 618法 一 什么叫优选法 1 最佳点 如果影响试验的某个因素 记为x 处于某种状态 记为x x0 时 试验结果最好 那么这种状态 记为x x0 就是这个因素的最佳点 一 什么叫优选法 2 优选问题 对试验中相关因素的最佳点的选择问题 称为优选问题 一 什么叫优选法 3 优选法 利用数学原理 合理安排试验 以最少的试验次数迅速找到最佳点 从而解决优选问题的科学试验方法 二 单峰函数 1 单峰函数的定义中有两个要点 f x 在 a b 上只有唯一的最大 小 值C f x 在 a C 上递增 减 在 C b 上递减 增 二 单峰函数 2 单峰函数的定义 如果f x 在 a b 上只有唯一的最大 小 值点C 而f x 在 a C 上递增 减 在 C b 上递减 增 则称f x 为区间 a b 上的单峰函数 规定 区间 a b 上的单调函数也是单峰函数 1 黄金分割常数 三 黄金分割法 0 618法 1 黄金分割常数 探究 对于一般的单峰函数 如何安排试点才能迅速找到最佳点 对于单峰函数 在同侧 离最佳点越近的点越是好点 且最佳点与好点必在差点的同侧 由此 可按如下想法安排试点 先在因素范围 a b 内任选两点各做一次试验 根据试验结果确定差点与好点 在差点处把 a b 分成两段 截掉不含好点的一 1 黄金分割常数 探究 对于一般的单峰函数 如何安排试点才能迅速找到最佳点 段 留下存优范围 a1 b1 显然有 a1 b1 a b 再在 a1 b1 内任选两点各做一次试验 并与上次的好点比较 确定新的好点和新的差点 并在新的差点处把 a1 b1 分成两段 截掉不包含新好点的那段 留下新的存优范围 a2 b2 同样有 a2 b2 a1 b1 重复上述步骤 可使存优范围逐步缩小 在这种方法中 试点的选取是任意的 只要试点在前一次留下的范围内就行了 这种任意性会给寻找最佳点的效率带来影响 例如 假设因素区间为 0 1 取两个试点0 2 0 1 那么对峰值在 0 0 1 中的单峰函数 两次试验便去掉了长度为0 8的区间 图1 但对于峰值在 0 2 1 的函数 只能去掉长度为0 1的区间 图2 试验效率就不理想了 思考 怎样选取各个试点 可以最快地达到或接近最佳点 思考 怎样选取各个试点 可以最快地达到或接近最佳点 我们希望能 最快 找到或接近最佳点的方法不只针对某个具体的单峰函数 而是对这类函数有普遍意义 由于在试验之前无法预先知道哪一次试验效果好 哪一次差 即这两个试点有同样的可能性作为因素范围 a b 的分界点 所以为了克服盲目性和侥幸心理 在安排 试点时 最好使两个试点关于 a b 的中心 a b 2对称 同时 为了尽快找到最佳点 每次截去的区间不能太短 但是也不能很长 因为为了一次截得足够长 就要使两个试点x1和x2与 a b 2足够近 这样 第一次可以截去 a b 的将近一半 但是按照对称原则 做第三次试验后就会发现 以后每次只能截去很小的一段 结果反而不利于很快接近最佳点 为了使每次去掉的区间有一定的规律性 我们这样来考虑 每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同 下面进一步分析如何按上述两个原则确定合适的试点 2 黄金分割法 0 618法 2 黄金分割法 0 618法 例1 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料 使炼出的钢满足一定的指标要求 假设为了炼出某种特定用途的钢 每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间 问如何通过试验的方法找到它的最优加入量 例2 若某原始的因素范围是 100 1100 现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量 分别以an表示第n次试验的加入量 结果都取整数 1 求a1 a2 2 若干次试验后的存优范围包含在区间 700 750 内 请写出 an 的前6项 3 在条件 2 成立的情况下 写出第6次试验后的存优范围 解 1 由黄金分割法知 第一次的加入量为 a1 100 0 618 1100 100 718 所以a2 100 1100 718 482 2 因为 700 750 包含存优范围 所以最优点在区间 700 750 上 由此知前两次试验结果中 好点是718 所以此时存优范围取 482 1100 所以a3 482 1100 718 864 同理可知第三次试验后 好点仍是718 此时存优范围是 482 864 所以a4 482 864 718 628 同理可求得a5 628 864 718 774 a6 628 774 718 684 3 由 2 知第6次试验前的存优范围是 628 774 又718是一个好点 第6次试验点是684 比较可知718是好点 去掉684以下的范围 故所求存优范围是 684 774 例3 调酒师为了调制一种鸡尾酒 每100k烈性酒中需要加入柠檬汁的量1000g到2000g之间 现准备用黄金分割法找到它的最优加入量 1 写出这个试验的操作流程 2 如果加入柠檬汁误差不超出1g 问需要多少次试验 解 1 试验可按以下进行 做第一次试验 第一次试验的加入量为 2000 1000 0 618 1000 1618 g 即取1618g柠檬汁进行第一次试验 做第二次试验 在第一点的对称点处做为第二次试验点 这一点的加入量可用下面公式计算 此后各次试验点的加入量也按下面公式计算 大 小 中 第二点 即第二点的加入量为 2000 1000 1618 1382 g 比较两次试验结果 如果第二点比第一点好 则去掉1618克以上的部分 如果第一点 较好 则去掉1382克以下部分 假定试验结果第一点较好 那么去掉1382克以下的部分 即存优范围为 1382 2000 在此范围找出第一点 即1618 的对称点做第三次试验 其加入量用公式计算 加入量 大 小 中 即第三次试验的加入量为 2000 1382 1618 1764 g 再将第三次试验结果与第一点比较 如果仍然是第一点好些 则去掉1764克以上部分 如果第三点好些 则去掉1618克以下部分 假设第三点好些 则在留下部分 即 1618 2000 找出第三点 即1764 的对称点做第四次试验 第四点加入量为 2000 1764 1618 1854 g 第四次试验后 再与第二点比较 并取舍 在留下部分用同样方