夹具定位分析模型的统计特征及相对误差分析.pdf

第 4 9卷第 5期 2 0 1 3 年 3 月 机械工程学报 J OURNAL OF MECHANI CAL ENGI NEERI NG Vo 1 49 NO 5 M a r 201 3 DoI 1 0 3 9 01 J M E 2 01 3 0S 1 1 0 夹具定位分析模型的统计特征及 相对误差分析木 罗 晨 朱利民2 丁 汉2 1 东南大学机械工程学院南京2 1 1 1 8 9 2 上海交通大学机械与动力工程学院上海2 0 0 2 4 0 摘要 推导基于距离函数三种夹具定位分析模型的期望和方差 试验表明线性方法低估了工件定位误差 而双边二次方法最 确切地反映出工件定位误差 因此双边二次模型的精度高但最复杂 而线性方法分析精度低但最简单 为了折中精度和复杂 度 进一步推导双边二次模型与单边二次模型 单边二次模型与线性模型的相对误差与源误差之间的关系 提出三种夹具定 位分析模型的选择方法 该方法在确定相对误差水平 即保证夹具定位分析的精度 前提下 依据源误差的协方差选择三种夹 具定位分析模型 仿真试验验证了该方法的有效性 关键词 有向距离函数夹具定位分析误差的统计特征 中图分类号 T P 3 9 1 S t a t is ti c a l Ch a r a c t e r is t ic a n d Re l a ti v e Er r o r a mo ng Fix t ur in g Ana l y s is M o d e l s LUO Ch e n ZHU Limin DIN G Ha n 1 S c h o o l o f Me c h a n ic a l E n g i n e e r i n g S o u t h e a s t U n iv e r s it y Na n j in g 2 1 1 1 8 9 2 S c h o o l o f Me c h a n ic a l E n g i n e e r i n g S h a n g h a i J ia o T o n g Un iv e r s it y S h a n g h a i 2 0 0 2 4 0 Abs t r a c t T h e e x p e c t a t io n a n d v a r i an c e s o f t h e t h r e e d is t a n c e f u n c t i o n b a s e d mo d e l s l S d e ft v e d E x a mp l e s d e mo n s t r a t e t h a t the l i n e a r mo d e l t e n d s t o u n d e r e s t ima t e t h e wo r k p ie c e d e v i a t i o n wh i l e t h e t wo s i d e d q u a d r a t i c mo d e l p r o v i d e s the mo s t a c c u r a t e p r e c is io n p r e d ic t io n Ho we v e r this p r e c i s i o n g a i n i s a t t h e c o s t o f c o mp l e x ma r x c a l c u l a t i o n I n c o mp a ri s o n the l i n e a r mo d e l is the mo s t s imp l e a n d s tra ig h t f o r ward o n e To s t r ik e the ri g h t b a l an c e b e tw e e n p r e c is io n g a in an d mo d e l c o mp l e x it y the l in k a g e b e t we e n the r e l a ti v e e r r o r and t h e l o c a t o r e r r o r f o r the t h r e e mo d e I s i s b u il t An d t h is l e a d s t o mo d e l s e l e c t i o n me tho d Gi v e n a r e l a t i v e e r r o r 1 e v e l i e t o e n s ure t h e r e q u i r e d p r e c is io n r e q u i r e me n t is me t the p r o p o s e d me t h o d ma k e s the mo d e l s e l e c ti o n b a s e d o n the c o v a r ia n c e o f l o c a t o r e r r o r s S e v e r a l e x a mp l e s v e ri fie d the v a l i d i ty o f t h e p r o p o s e d me tho d Ke y wo r d s S ig n e d d i s t a n c e f u n c t i o n Wo r k p i e c e p o s i t i o n in g an a l y s is E r r o r s t a t is t ic a l c h a r a c t e ri s t ic 0 前言 夹具作为一种重要的工艺装备 其主要作用是 确定工件位置并夹持工件 以便对工件进行加工 观测 组装 测量等操作 夹具定位精度直接影响 着最终产品的质量 因此夹具定位模型的建立至关 重要 目 前 已有大量的研究工作致力于夹具定位 国家 自然科学基金 5 l l 0 5 O 7 5 和国家重点基础研究发展计划 9 7 3计划 2 0 1 1 C B 7 0 6 8 0 4 资助项 目 2 0 1 2 0 5 1 7收到初稿 2 0 1 3 0 1 0 7 收到修改稿 模型的建立 AS ADA等L l 首先推导了夹具确定性定 位和完全约束的条件 C HO U 等 采用螺旋理论和 线性规划的方法设计夹具 C AI等 j 利用敏感度指 数的欧式模提出了夹具设计的方差分析方法 基于 WA N G 等t4 s J 通过最大化信息矩阵的行列式来确定 最优的夹具规划 C A R L S O N 16 推导定位元的二次敏 感度方程 分析了工件局部曲率对夹具定位精度的 影响 C AO等 采用 Ne w t o n R a p h s o n方法给 出了 工件高精度定位的分析方法 上面所有的方法都是 基于简化的运动学模型 从而低估了夹具定位误差 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 3年 3月 罗晨等 夹具定位分析模型的统计特征及相对误差分析 对于一些高精度夹具定位分析 例如航空涡轮机翼 冷却孔的加工 微 电子装配等 上述夹具定位分析 的 简 化 模 型不 能满 足 定 位精 度 要 求 即便 C AR L S O N给 出了 2阶泰勒展开式的非线性模型 但是C A R L S O N的非线性模型仍然是将定位元简化 为点 因此 C AR L S O N的方法是单边二次方法 最 近 L UO等 9 1 0 1 提出了夹具定位分析的双边二次方 法 该方法的分析精度优于线性 A s a d a 方法 和单边 二次方法 C a r l s o n 方法 进一步基于统一的理论框 架给出了三种夹具定位分析模型 即基于距离函数 的线性 单边二次和双边二次模型 仿真结果表明 当定位元的曲率半径相对于工件的曲率半径越大 时 双边二次模型的高精度特性越显著 尽管双边 二次方法 的精度优于单边二次方法 而单边二次方 法又优于线性方法 但是双边二次方法最为复杂且 所需曲面几何信息最多 而线性方法最为简单 另 一 方面 当定位元曲面半径较小时 3种方法的分 析精度相差很小 因此如何在保证定位精度的前提 下 选择最简单的方法是本文的重点 本文 首先推导 了基 于距 离函数三种 夹具定位 分析模型的期望和方差 接着推导了双边二次模型 与单边二次模型 单边二次模型与线性模型的相对 误差与源误差之间的关系 提出了三种夹具定位分 析模型的选择方法 最后通过仿真试验验证该方法 的有效性 1 夹具定位误差的统计特征 1 1 夹具 定位 误 差 的期望 和标 准差 在文献 9 1 0 中 推导 了基于夹具定位分析 的 三种模型 1 线性模型 J f d i 1 2 6 1 2 单边二次模型 j 1 1 i 1 2 6 2 3 双边二次模型 j 1 乱 i 1 2 6 假定g 是工件上的观测点 点g 沿着 l的误差 占 m T g g g g 小 T D l T V 4 将 式 1 3 分别 代八 式 4 口 J 得剑 线 性 卑边 二 次和 双边二次模型对应 的观测点位置误差 口 J 一 d 5 G os a T l 6 aT d T叫 I 7 口 g m T D 了 式中 下标 表示线性模型 O S 表示单边二次模型 t s表示双边二次模型 假定源误差是相互独立且服 从正态分布 即d o 则协方差矩阵 z 0 0 0 1 0 0 0 线 性 7 J 早 迈 X7 利 迈 一 次 力 得 到 阴 上 件定位合成误差 的期望 E E 口 口 s u o 8 E E 口 H 6d 口T 喜 q 仃 oX T 1 6 仃 E 口 T Jd 一 砌 口T 1 6 q 仃 t T H t 1 6 仃 乞 式中 t r 表示矩阵的迹 对应的方差分别为 f 1 O V a r V a r 口 T a r J X J 口 1 1 叫 口 掣 砌 口T T 口 喜 喜 仃 12 印 砌 口 J X 口 6 6 仃 1 3 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 3年 3月 罗 晨等 夹具定位分析模型的统计特征及相对误差分析 l1 3 1 1 鱼6 二 o 2 二 至 鱼6 薹 6 竺 兰 兰 一 1 l I 6 I2 一 6 6 一 喜 q 仃 一 盯 三 喜 砉 q 仃 一 一 1 厂 6 2 1 6 l 仃 j n 厂 喜 喜 a ia jtr 下面将给出式 1 6 1 7 的证 明 证明 将式 5 6 代入式 1 4 中 得 E 啊一 刚 1 6 1 7 E 口T 三 T月 T月 c 8 将式 6 7 代入式 1 5 中 得 E 三 口 T T 一 三 口 T T E 口 r 一 三 T T 因为 d是相互独立的多变量正态分布且均值为 零 而 o 是对称阵 因此可 以得到 cov d d d 0 2 o E d T d tr n 2 1 哆 E 1 9 V a r d 2 仃 2 2 c o V d T d T 2 拄 2 3 将式 2 0 2 3 代入式 1 8 1 9 得 十 口 d r V ar 口T 三 圭 兰 竺 二 三 竺 兰 二 圭 兰 竺 二 竺 E faT E 一 十 日 一 竺 二 竺 竺 二 竺 二 二 竺 E 口 T 一 T T V ar 4 T 一 十 三 T T 一 砌 一 C 一 憎 竺 旦 l一2 一 一 一 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 1 1 4 机械工程学报 第 4 9卷第 5期 喜 仃 一 喜 喜 打 一 一 喜 口 仃 2 口 一T口 6 6 tr 证毕 为 了更好 地理解 相对误差与源误 差之间的关 系 假定定位元的定位误差服从正态分布且方差都 为 因此方差 协方差矩阵 A 其中 A是 对角阵 对角线元素为 1 或0 式 1 6 1 7 进一步 简化为 r 2 F o s 式 中 l 口 tr n A I 6 2 仃 日 I a 一 I I 一 a C 1 c 2 H t l I l L i 1 J 6 6 C4 q 订 A i 1 j l 如果式 2 4 2 5 的分子分母同时除 以 且因为 0 那么可以观察到相对误差随着 的增加而 增加 若给定相对误差的水平为 那么源误差的 协方差应满足 2 r 只能采用双边二次方法来分析夹具的 定位问题 2 2 试验分析 以平面椭圆定位 图 4 的例子来简要说明三种 方法的选择问题 椭圆的长短半轴分别为 2 mill和 1 r n r n 定位元半径为 0 1 l n l f l 假定相对误差水平 为 0 O 1 基于式 2 6 2 7 求 出工件上 的点 g 4 沿 着 X和 Y方 向上源误差 沿着 方向的 分别为 0 0 3 1 1 和 0 1 5 6 9 沿着 Y方 向的 分别为 0 0 3 9 1 和 0 2 0 7 5 因此 当源误 差 0 0 3 1 1 线性方法满足相对误差小于 0 0 1的 要求 当 0 0 3 1 1 0 1 5 6 9 单边二次方法满 足要求 当 0 1 5 6 9 只能选择双边二次方法 沿着 Y方向的相对误差的分析类似 并总结为下表 图4 椭圆由三个定位元确定位姿 表方法的选择与源误差的协方差之间的关系 2 7 一 般而言 如果单边二次方法的合成误差与双 边二次的合成误差接近 那么 o 如果源 误差小于 线性方法即可满足相对误差的要 求 如果源误差大于 且小于 那么单边二 次方法满足精度要求 如果源误差大于 血 只能 采用双边二次方法来满足定位精度的要求 如果 1 依据误差 的统计分析指出了基于距离函数 双边二次方法的精度最高 单边二次方法精度其次 而线性方法的精度最低 2 推导了依据源误差的协方差选择三种夹具 定位分析模型的方法 且该方法的有效性已在仿真 试验得到 了验证 3 由于夹具 的敏感度 方程 是夹具 设计 的基 础 而本文主要针对夹具定位分析的研究 因此基 一 D 一 一 日 H r 6 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 3年 3月 罗 晨等 夹具定位分析模型的统计特征及相对误差分析 l 1 5 于三个敏感度研 究夹具的布局优化是下一步研究的 重点 参考文 献 1 AS ADA H B Y A K in e ma t ic a n a l y s i s o f wo r k p a r t fi x t u r in g f o r fl e x i b l e a s s e mb l y wi t h a u t o ma t i ca l l y r e co n fi g u r a b l e fix t u r e s J I E E E T r a n s o n R o b o t i c and A u t o ma t i o n R A 1 1 9 8 5 1 2 8 6 9 4 2 C H OU Y C C HA ND R U V B AR AS H M M Ma t h e ma t i ca l a p p r o a ch t o a u t o ma t ic co n fi g u r a t io n o f ma ch in i n g fix t u r e s An a l y s is a n d s y n t h e s is J J o u r n a l o f E n g in e e ri n g f o r I n d u s t r y 1 9 8 9 1 l l 4 2 9 9 3 0 6 3 C A I W I 4 US J Y UA N J X V a r i a t i o n a l me tho d o f r o b u s t fix t u r e co n fig u r a t i o n d e s i g n for 3 D wo r k p ie ce s J J o u r n a l o f Ma n u f a ct u r i n g S cie n ce a n d E n g i n e e r i n g T r a n s a ct i o n s o f t h e AS ME 1 9 9 7 I 1 9 4 5 9 3 6 0 2 4 WA NGM Y Ano p t imu m d e s i g nfor 3 Dfi x t u r e s y n the s i s i n a p o i n t s e t d o ma i n J I E E E T r ans a ct io n s o n R o b o t ics and A u t o ma t io n 2 0 0 0 1 6 6 8 3 9 8 4 6 5 WA NG M Y P E L I N ES C U D M O p t imi z in g f i x t u r e l a y o u t i n a p o i n t s e t d o ma in J I E E E T r ans a ct io n s o n R o b o t i cs and A u t o ma t i o n 2 0 0 1 1 7 3 3 1 2 3 2 3 6 C AR LS O N J S Q u a d r a t ic s e n s i t i v i t y ana l y s i s o f f ix t u r e s and l o ca t i n g s ch e me s for r ig i d p a r t s J J o u r n a l o f Ma n u f a ct u r i n g S ci e n ce and E n g in e e ri n g 2 0 0 1 1 2 3 3 4 6 2 4 7 0 7 7 C AO J L A JXM C AI W e t a 1 Wo r k p ie ce p o s i t i o n in g an a l y s e s T h e e x a ct s o l u ti o n s a n d a q u a dra ti c v a r ia t io n a p p r o x ima t io n u s i n g the me tho d o f mo me n t s J J o u r n a l o f Manu f a ct u r i n g S cie n ce a n d E n g i n e e r i n g 2 0 0 8 1 3 0 6 0 61 0 1 3 8 WA NG M Y L I U T P E L I N E S C U D M F i x t u r e k in e ma t ic an a l y s is b a s e d o n the f u 1 1 c o n t a ct mo d e l o f ri g i d b o d ie s J J o u r n a l o f Manu f a ct u ri n g S ci e n ce a