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直线 圆与方程 1 2010 江苏卷 在平面直角坐标系xOy中 已知圆x2 y2 4上有且仅有四个点到直线12x 5y c 0的距离为1 则实数c的取值范围是 分析 本题主要考查两条直线的位置关系 考查运算求解能力 变式1 已知过原点O的一条直线与函数y log8x的图象交于A B两点 分别过点A B作y轴的平行线 与函数y log2x的图象交于C D两点 1 证明 点C D和原点O在同一直线上 2 当BC平行于x轴时 求点A的坐标 例2 在平面直角坐标系xOy中 设二次函数f x x2 2x b x R 的图象与两坐标轴有三个交点 经过这三个交点的圆记为C 1 求实数b的取值范围 2 求圆C的方程 3 问圆C是否经过某定点 其坐标与b无关 请证明你的结论 分析 求圆的方程的方法通常也是待定系数法 不过圆的方程有两种形式 标准方程 一般形式 如果已知条件知道圆心或半径 我们通常用第一种 如果已知条件是圆过某某点 我们通常用第二种方程 与b无关 我们可以把圆的方程重新整理 把b看成主元 其系数为零 就与b无关了 变式2 已知圆O的方程为x2 y2 1 直线l1过点A 3 0 且与圆O相切 1 求直线l1的方程 2 设圆O与x轴交与P Q两点 M是圆O上异于P Q的任意一点 过点A且与x轴垂直的直线为l2 直线PM交直线l2于点P 直线QM交直线l2于点Q 求证 以P Q 为直径的圆C总经过定点 并求出定点坐标 分析 本题所求直线与已知直线垂直 所以可设所求直线为y 2x b 然后根据条件求解 存在性 探索性 问题的解决方法通常是假设存在 然后根据条件探求怎样存在 最后书写解题过程的时候要注意顺序 即 存在 推出 满足条件 千万不能写成 满足条件 推出 存在 本专题应掌握运用代数法和几何法判定直线和圆的位置关系 掌握圆的切线方程和直线与圆相交的弦长的求法 在求解直线与圆的位置关系时 应注意运用 1 数形结合的数学思想 尽可能运用圆的几何性质 使得解法简便 2 在求与弦长 弦中点有关问题时可以利用韦达定理 引进参数 设点而不求点 简化运算 减少计算量 1 2010 天津卷 已知圆C的圆心是直线x y 1 0与x轴的交点 且圆C与直线x y 3 0相切 则圆C的方程为 直线与圆相交 相切的问题 先求出圆心到直线的距
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