《数学模型及数学软件》上机训练题目70道.doc

2011 年秋季数学模型及数学软件 1 20111020上机训练题目及分工名单 70 个题 上机训练任务 数学模型与数学软件上机报告（第 1 次）数学模型及数学软件上机训练题目（题目 070 个题目）数学模型及数学软件上机训练题目70 个（惠富春20111020 发布）题目 0 内容：数学软件（MathType5.2、MATLAB 、Maple、Mathematica4.0、LINGO8.0）安装调试；基本命令使用（变量赋值、定义函数、过程控制、绘图命令、拟合、线性规划、非线性规划）；高等数学实验（绘图，极限，求导，积分，解微分方程）；线性代数实验（矩阵基本运算，线性方程组求解，解超定方程组，优化命令）。 调试给点的两个程序：1 c=6,3,4A=0,1,0b=50Aeq=1,1,1beq=120vlb=30,0,20vub=x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)2 function f=fun3(x)f=x(1)2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2x0=11A=2 3 1 4 b=65Aeq=beq=VLB=00 VUB=x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)以下为 70 个题目1 题 据世界人口组织公布，地球上的人口在公元元年为 2.5 亿，1600 年为 5 亿，1830 年为 10 亿，1930 年为 20 亿，1960 年为 30 亿，1974 年为 40 亿，1987 年为 50 亿，到 1999 年底，地球上的人口数达到了 60 亿请你根据 20 世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到 100 亿？到2100 年地球上将会有多少人口？2 题 （1）求方程组 x=y*y and y=cos(x) 在（1，2）附近的根(2)求 f(x)=x+3*(x*x+cos(x)在区间1，1内的最小值。(3)求函数 f(x,y)=100(yx*x)*(yx*x)+(1x*x)(1x*x)的极小值。求 f(x)=tan(x1+x2)+3*x12+2*x1*x2+x22在40，70的最值。3 题 根据统计资料,我国能源生产自1985 年以来发展速度很快.下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据:1985 年 8.6 亿吨,1990 年 10.4 亿吨,1995 年12.9 亿吨.有关专家预测:到 2000 年我国能源生产总量将超过 16.1 亿吨.试给出一个简单模型,说明有关专家预测是否合理.4 题 求函数 f(x,y,z)=x4+sin(y)cos(z)在点（0，5，4）附近的极小值。求在0，5上求函数 f(x)=sin2x+(x3)21的最值。求方程 x=cos(x)2 在1 附近的根。编写一个某数学软件程序，画出下列分段函数所表示的曲面。0.54e-0.75x2-3.75y2-1.5y x+y10.7575e-x2-6y2 -1x+y=10.5457e-0.75x2-0.35y2+1.5y x+y=-1 P(x,y)=5 题 求函数 f(x)=x1*x2*x3 在初始点 x=(10, 10, 10)处满足 0=x1+2*x2+2*x3b)。树木成才后，既可以砍伐出售树木，重栽新树苗；也可让其继续生长。问哪一种方案可获得较大的木材量？9 题 有两组对应相关联的数据0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5 ，0.6，0.7 ，0.8，0.9， 1.0； 0，0.019，0.052，0.094，0.142，0.196，0.252， 0.312，0.374，0.436，0.5。试分析它们的对应规律，给出经验公式。10 题 设物品若干，其体积、重量和价值分别为 Vk Wi ,Ci ， i = 1,2,L , n 。现仅有规格为Q的集装箱一个可供使用，请给出装运方案（模型及算法,算例和程序）。11 题 求下面的优化问题 min ( 5*x14*x26*x3)，sub.to x1x2+x3=20, 3*x1+2*x2+4*x3=42,3*x1+2*x2=30,0=x10=x20=b=c。每天报纸的需求量是随即的，为了获得最大的利润，该报童每天够进多少份报纸？（为了掌握需求量的随机规律，可以用收集历史资料或向其他报童调查的办法作市场预测，假设已得到 159 天报纸的需求量的情况如附表示）需求量100-119120-139140-159160-179180-199200-209210-219220-229230-239240-249天数3913223235201582表中需求量在 100119 的有 3 天，其余类推。根据这些数据，并假定 a=1 元，b=0.8 元，c=0.75 元，为报童提供最佳决策。16 题 设有某种物资需要从 m个产地 A1, A2 , A3 运到 n个销地 B1 ,B2 , B3 , B4 ，其中每个产地的产量为 a1 , a2 , a 3 ，每个销地的销量为 b1 ,b2 ,b3 , b4 。设从产地到销地的运费单价为 C ij ，问如何调运时总费用最少？（结合附表数据做算例）B2B2B3B4产量A1626730A2495325A3881521销量1517221217 题 某饮料厂生产一种饮料以满足市场需求。该厂销售科根据市场预测，已经确定了该饮料未来四周的需求量。计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的生产能力和生产成本，如图示，每周当饮料满足需求后有剩余时，要支出贮存费，为每周每千箱饮料 0.2 千元。问应如何安排生产计划，在满足每周市场需求的情况下，使四周的总费用（生产成本和贮存费之和）最小？(1 5,40,25, 20,0,15,5 ) 周次需求量（千箱）生产能力（千箱）成本（千元/千箱）115305.0225405.1335455.4425205.518 题 已知鱼的体重 Y 与它的体长 X 有关系 Y=aX b ,今测得某种鱼的生长数据如下图：试确定参数a,b 及公式。是否还有更优的经验公式？19 题 绘制 sin(x)+cos(x*y) ，x12+x22 , (x2)sin(1/x), x2+1/x 的图像求函数 y=x*sin(x2x1)在（2，0.1）内的零点。计算积分: x(3/2)+y(3/2)=1(求面积)； f(x,y)=2sinx*exp(xy)，D 单位园面，单位方格面等（重积分）。20 题 各种数学软件的安装（mathtype5.0 ，mathmatica4.0 ，Lingo9.0 ，Matlab ，maple 等）;运行,熟悉页面 ，尝试关于矩阵的各种代数运算及数值计算。21 题 设用甲乙丙三种有限资源生产 ABCD 四种产品，产品的资源消耗定额及资源的有限供应量如表6.8 所示。假定 A、B、C、D 四种产品价格随产量的扩大而递减，其需求函数分别为p1 =11- 0.01x 1 ， 2 2 p =12 - 0.02 x ， 3 3 p =13 - 0.03 x ， 4 4 p =14 - 0.04 x试确定四种产品的产量，以便使总收益最大。 最优解为 1 x = 0 ， 2 x = 6.9 ， 3 x = 23 ， 4 x = 53.86 （ 5 x 是中间变量），最优解 z = 1003.01 ？22 题 一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。假设每个考生可填写四个志愿。现有北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁四所大学。考生通过网上信息初步考虑因素重要性主观数据如下表经过建模计算机矩阵计算，给出志愿排序的合理决策。23 题 工厂 A 到铁路的垂直距离为 3km，垂足 B 到火车站 C 为 5km，汽车运费 20 元/ tkm，铁路运费 15 元/ tkm，为使运费最省，在 M点建一转运站，且 M点在铁路线BC之间，试 问转运站M应建在何处？P(x)=20 x 2 + 9 +15(5-x) ,x0 因此只需求出 p(x)的极小值点。求解方法：求 p(x)的一阶导数 P(x),然后求方程 P(x)=0 的解 x * ，P*。24 题 现有三种食品 A1,A2,A3,各含有两种营养成分 B1,B2,每单位食物 Ai 含有 Bj 成分的数量及每种食物的单价如下表所示A1A2A3营养成分需要量B12045B22314单价423问应如何选购食物，才能既满足对营养成分 B1,B2 的需要，有使费用最少？25 题 求函数f(x1,x2)=100(x2x1*x1) *(x2x1*x1)+(1x1)*(1x1)带约束条件 X1+x2=0 的极小值。（计算机随机实验多次）袋中有 10 个球，其中白球7 个，黑球 3 个，分三次有回放的取球，每次取一个，试分别求第三次取到黑球的概率，第三次才取到黑球的概率（利用计算机随机实验）。26 题 SARS 疫情对某市 2003 年海外旅游人数的影响分析（单位：万人）就给定的两行数据分别分析拟合出其经验公式。27 题 求解下面的方程28 题 测得五名成年女子腿长x 与身高 y 所得数据如下表进行回归分析x8888919292959798100102y14314614714915015515816016817329 题 以两种方式打开 MATLAB 工作窗口，进入 MATLAB 6.0 的工作环境，并尝试用不同的方式退出。 （这个在报告里面说明方法就可以，也可以针对其他数学软件操作）；尝试、熟悉的各栏菜单以及各个工具栏的功能。练习并熟练掌握 MATLAB 的帮助命令，学会利用 MATLAB 的帮助信息。30 题 绘制函数 y=cos(5x+2)/sin(3x+1) 的图像，并求解当 x=2 时的函数值及方程 y=exp(3)的根。31 题 求矩阵 A=的行列式、逆和特征根，及解方程Ax=I。32 题 工程师们已经开始从墨西哥的一个新井开采天然气，根据初步的试验和以往的经验，他们预计天然气开采后的第t个月的月产量的函数给出： P ( t ) = 0. 0849 ke - 0. 0 2 k (百万立方米), 试估计前 24 个月的总产量。要 求利用数学软件分别用求和法、积分法做。答案： P 18 .4 878 (百万立方米)33 题 创建一个表达式 ，并求当 x=1, y=2 时的 z 值。按照的步长 0.1，0.5 间隔分别绘制函数 y=xexp(x)在1x10 时的曲线；等等。34 题 某部门有 3 个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由 4 个销售点（销地）出售，各工厂的生产量、各销售地的销售量（单位：吨）以及各个工厂到各个销售点的单位运价（元/吨）表示在下表中，要求研究产品如何调运，才能使得总运费最小。产地销地B1B2B3B4产量A141241116A22103910A38511622销量814121435 题 用曲面画图命令表现函数 z= x 2 + y 2 的图像。作函数 y=tan(sin(x)sin(tan(x)的图形，并用所有的修饰命令进行图像修饰。计算积分：36 题 某商业公司计划开办五家新的商店，为了尽早建成营业，商业公司决定由 5 家建筑公司来分别承建。已知建筑公司 Ai 对新商店 Bj 的承建报价为（万元）为 Cij 见下表。商业公司应当对 5 家建筑公司怎样的分配建筑任务，才能使得总的建筑费用最低？37 题 求函数的导数并用至少两种方法求 1200 之间的整数之和.38 题 某生物试验基地对田鼠的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出田鼠的生长理论规律。并指出在哪些年内田鼠的增长有异常现象，预测 T=10 时田鼠的数量。39 题 某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源限量及价值系数如下表所示，问如制订生产计划，使得该企业获利最大。(24,1,46?)资源产品ABC资源限量I986500II547450832300764550每件产品利润100807040 题 某地区内有 12 个气象观测站。10 年来的各站测得的年降水量(mm)如下表。为了节省开支，想要适当减少气象观测站。比较各站点的统计数据，从中找出相关的站点并把站点分类。说明减少哪些观测站可以使所到的降水量的信息量仍然足够大？。年x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x121981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.6287.3349.5297.4227.8453.6321.5451.0466.2307.5421.1455.11983192.7433.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357.0353.21984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327.0296.5423.01985291.7311.0502.4254.0245.6324.8401.0266.5251.3289.0255.4362.11986466.5158.9233.5425.1251.4321.0315.4317.4246.2277.5304.2410.71987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.61988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.5453.6315.6456.3407.21989158.5271.0410.2344.2250.0360.7376.4179.4159.2342.4331.2377.71990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.141 题 按给定数据做拟合。i12345xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.4642 题 一球从 100 米高度自由落下,每次落地后反跳回原高度的平方根,再落下. 求它在第 100 次落地时,共经过多少米?第 100 次反弹有多高?43 题在同一平面中的两个窗口分别画出心形线和马鞍面。要求：1、在图形上加格栅、图例和标注 2、定制坐标。44 题 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料 6 千克,工人 10 名,可获利 10 万元每百箱乙饮料需用原料5 千克,工人20 名,可获利9 万元.今工厂共有原料60 千克,工人150 名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8 百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资 0.8 万元可增加原料1 千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1 万元,问应否改变生产计划.45 题 求下列函数的极小点：第 1），2）题的初始点可任意选取， 第 3）题的初始点取为 ( ) X 0 = (0, 1) T .46 题 一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园 2m,高 3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园地面上,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架 7m 长的梯子, 你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?47 题 某装饰材料公司以每桶2 元的价钱购进一批彩漆，为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王先生进行咨询。李经理认为，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算（见表 1）。他问王先生广告有多大效应。王先生说：“ 投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。例如，投入 3 万元的广告费，销售增长因子为 1.85，即销售量将是预期销售量的 1.85 倍。据经验，广告费与销售增长因子的关系有表 2。” 李经理听后，迫切想知道最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大，试经过计算给出解答。48题 为向灾区空投一批救灾物资需选购一些降落伞（重量m=300Kg）， 已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面。伞面费用C由伞的半径r决定，见下表。r(米)22.533.54C(元)651703506601000降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用的半径r=3m，载重m=300Kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各个时刻的高度x，见下表。t(s)036912151821242730x(m)500470425372317264215160108551试由给定的这两张表确定降落伞半径的选购方案在满足空投要求的条件下，使费用最低。49 题 某发酵实验中培养基用原料碳源和氮源来生产 IFN（干扰素），其中碳（C1，C 2，C3）和氮源（N1，N2，N3，N4）的含量及 IFN（干扰素）的产量的关系可由实验数据表参考。如何选择碳源和氮源的种类及含量使IFN的产量达到最大，从而给出最佳培养基配比方案？NO.C1C2C3N1N2N3N4rhIFN-10.10000.50011.690020.40000.50039.1297310000.50068.2035420000.50083.6580530000.50075.4200600.2000.50020.7360700.5000.50020.7417800.8000.50022.5836901.5000.50025.821310000.100.5005.624011000.500.50010.235712001.500.50014.590913002.500.50020.33461400000.5007.29601500000.50042.58801600000.50051.6000172000000165.5400182000.500072.000019200200054.900020200300042.8400212004000164.2500222005000138.0400232000000126.90002420000.50.5011.484025200022017.160026200033020.800027200044057.240028200055072.9600292000000.0117.6080302000000.0530.9400312000000.111.4750322000000.312.084050 题 某人现有 10 万元资本金，打算做 9 年期的理财投资使其升值，其中第 4、第 5 年需每年从中支取3 万元消费。可供选择的理财品种限定为银行存款（具体回报率以中国人民银行最新数据为准）， 请你确定最佳投资方案及运作结果51 题 某开放式基金现有总额为 15 亿元的资金可用于投资，共有 8 个项目可供投资者选择。每个项目可重复投资，但有投资上限。这些项目所要的投资额和投资一年后各项目所得利润，如下表所示：项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资额67006600485055005800420046004500预计利润11391056772.51265116071418401575上限3400027000300002200030000230002500023000有关专家还提供了一条信息：不能同时对第 7 个和第 8 个进行投资。试就考虑和不考虑专家的意见，分别确定如何投资该资金。52 题 某开放式基金现有总额为 10 亿元的资金可用于投资，共有 8 个项目可供投资者选择。每个项目可重复投资，但有投资上限。这些项目所要的投资额和投资一年后各项目所得利润，如下表所示：项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资额67006600485055005800420046004500预计利润105013531081.51045127684016101350上限340002700030000220003000023000250002300053 题 据报载，2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372 万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准规定，血液中的酒精含量=20 毫克百毫升，80 毫克百毫升为醉酒驾车。人的体液占人的体重的 65%至 70%，其中血液只占体重的 7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。 体重约 70kg 的某人在短时间内喝下 2 瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如下：试就此表进行统计回归分析。并说明 12 小时后再喝一瓶就开车是否没有危险.54 题 中国工商银行（网站）有关个人住房贷款的有关说明（必须先调查官方发布的最新数据）某人计划按揭贷款人民币 23 万元15 年期，并计划按月分期还款，还想按年分期还款，请你分别给出还款数据。55 题 一辆汽车在司机猛踩刹车制动后6 秒钟内停下，在这一刹车过程中，每一秒的速度值被记录了下来.如下表:刹车踩下后的时间（秒）0123456速度（米/秒）30211510630试建立汽车刹车踩下后运行距离的数学模型，并估算出刹车踩下后汽车最少滑过的距离和最多滑过的距离.56 题 某彩电生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的彩电.已知每台甲型、乙型彩电的销售利润分别为 3 和 2 个单位.而生产一台甲型、乙型彩电所耗原料分别为 2 和 3 个单位,所需工时分别为 4 和 2 个单位.若允许使用原料为 100个单位,工时为 120 个单位,且甲型、乙型彩电产量分别不低于 5 台和 10 台.试建立一个数学模型，确定生产甲型、乙型彩电的台数，使获利润最大并求出最大利润.57 题 有块空地只可以种一株树。一旦树木从某一处砍倒便可以来种植新树。经营期是 50 年，初期已有一颗四龄树，末期必须有价值不低于 10 元的活树。试确立树木生长价值的理论公式，讨论最优的砍伐轮种的森林（树木）管理策略问题，给出种树和砍伐树木的最优时间方案，以能获得最佳的利润，指出总利润。附表是树龄与砍伐后价值的统计数据。t/年3456789101112142040V(t)/元04.314.330.349.765.070.573.074.074.574.050.010.058 题 某架货机有三个货仓：前仓中仓后仓。三个货仓所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表所示。并为了保持飞机的平衡，三个货仓中实际装载的货物的重量必须与其最大容许重量成正比例。时间(小时)前仓中仓后仓重量限制（吨）10168体积限制（米3）680087005300现有四类货物供该货机崩次飞行装运，其有关信息如表所示，最后一列指装运后所获得的利润。G重量(吨)空间（米 3 /吨）利润（元/吨）货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850应如何安排装运，使该货机本次飞行获利最大？货物 2 装入前仓 10 吨，装 入后仓 5 吨，货 物 3装入后仓 3 吨，装 入中仓 13 吨，货 物 4 装入中仓 3 吨，最 大利润约 121516元。？59 题 某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：品种 原材料（千克） 能源消耗（百元） 劳动力（人） 利润（千元）品种原材料（千克）能源消耗（百元）劳动力（人）利润（千元）甲2145乙3626现有库存原材料 1400 千克；能源消耗总额不超过 2400 百元；全厂劳动力满员为 2000 人，试安排生产任务（生产甲、乙产品各多少件）,使获得利润最大，并求出最大利润.60 题一辆汽车在司机猛踩刹车制动后 6 秒钟内停下，在这一刹车过程中，每一秒的速度值被记录了下来.如下表:刹车踩下后的时间（秒）0123456速度（米/秒）30211510630试建立汽车刹车踩下后运行距离的数学模型，并估算出刹车踩下后汽车最少滑过的距离和最多滑过的距离.61 题 道路交通日益繁忙，通过对未来发展趋势的预测，从而比较准确地制定出发展规划将是十分重要的。一个有意义的衡量交通量的参数是每年车公里，即车辆与其一年中行驶的里程两者的结合。下表给出了某个国家从 1982 年到1991 年的公路交通量、当年人口总数及人均收入的数据。希望根据这些数据建立预测模型，其中要考虑（a）当年的交通量；（b）其它的可能对交通量有影响的因素。62题 某人每天由饮食获取2500大卡的热量，其 中新陈代谢约需1200大卡，每 公斤体重约需运动消耗16大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于10000 大卡，求此人体重的增长公式及极限体重。63 题一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。水库现有水位平均为 15 米，自然放水每天水位降低 0.5 米，经与当地协商水库水位最低降至 5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。 据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在 500 公斤以下，其价格为 30 元/公斤；日供应量在 5001000 公斤，其价格降至25 元/公斤，日供应量超过 1000 公斤时，价格降至 20 元/公斤以下，日供应量到 1500 公斤，已处于饱和， 捕捞草鱼的成本水位于 15 米时，每公斤 6 元；当水位降至 5 米时，为 3 元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位 5 米时损失率为 10%。 承