对数与对数函数的概念及练习题.pdf

第 1 页 共 10 页 2 2对数函数 一 对数的概念 1 定义 一般地 如果 ax N a 0 且 a 1 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数 记作 x logaN 2 相关概念 1 底数与真数 其中 a 叫做对数的底数 N 叫做真数 2 常用对数与自然对数 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 并把 log10N 记为 lg N 以无理数 e 2 718 28 为底的对数称为自然对数 并且把 logeN 记为 ln N 二 对数与指数间的关系 当 a 0 a 1 时 ax N x logaN 前者叫指数式 后者叫对数式 它们 之间的关系如图所示 指数式 对数式中各个字母的名称变化如下表 式子 名称 axN 指数式ax N底数指数幂 对数式x logaN底数对数真数 三 对数的性质 性质 1 负数和零 没有对数 性质 21 的对数是 0 即 loga1 0 a 0 且 a 1 性质 3底数的对数是 1 即 logaa 1 a 0 且 a 1 第 2 页 共 10 页 对数的运算对数的运算 一 对数的运算性质 若 a 0 且 a 1 M 0 N 0 那么 1 loga M N logaM logaN 2 logaM N log aM logaN 3 logaMn nlogaM n R 二 对数换底公式 logab logcb logca a 0 且 a 1 c 0 且 c 1 b 0 特别地 logab logba 1 a 0 且 a 1 b 0 且 b 1 2 由换底公式得到的常用结论 1 ccb aba logloglog 2 a b b a log 1 log 3 b n m b a m an loglog 4 Na N a log 5 Na N a log 6 01log a 7 1log a a 第 3 页 共 10 页 对数函数及其性质对数函数及其性质 一 对数函数的概念 函数 y logax a 0 且 a 1 叫做对数函数 其中 x 是自变量 函数的 定义域是 0 二 对数函数的图象与性质 aa 10 a 1 图 象 定义域 0 值域R 定点过定点 1 0 即 x 1 时 y 0 单调性在 0 上是增函数在 0 上是减函数 三 反函数 对数函数 y logax a 0 且 a 1 和 y ax a 0 且 a 1 互为反函数 注 反函数的图像关于直线 y x 对称 第 4 页 共 10 页 对数与对数函数 1 有以下四个结论 lg lg10 0 ln lne 0 若 10 lgx 则 x 10 若 e lnx 则 x e2 其中正确的是 A B C D 2 下列等式成立的有 1 lg2 100 3 3 log 3 3 2 2 log 5 25 ln 1 e e lg3 33 A B C D 3 若lglgxya 则 33 lg lg 22 xy A 3aB 3 2 aC aD 2 a 4 已知52 a 则 52 log 803log 10 A 4 32aa B 4 3 2a a C a 2D 3 42a a 5 计算 66 2log 3log 4 的结果是 A 6 log 2B 2C 6 log 3D 3 6 已知1 2 1 log a 那么 a 的取值范围是 A 2 1 0 aB 2 1 aC 1 2 1 aD 2 1 0 a或 a 1 7 函数 2 2 log 23 f xxx 的定义域是 A 3 1 B 3 1 C 3 1 D 3 1 8 为了得到函数 3 lg 10 x y 的图象 只需把函数lgyx 的图象上所有的点 A 向左平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 B 向右平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 第 5 页 共 10 页 C 向左平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 D 向右平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 9 函数 2 1 2 log 617 yxx 的值域是 A RB 8 C 3 D 3 10 设 5 log 4a 2 5 log 3b 4 log 5c 则 A acb B bca C abc D bac 11 若 3 12 log1 9 x 则 x 12 若 2 log 2 log 3 m n aa mn a 13 若2510 ab 则 11 ab 14 函数 log 21 2 a f xx a 0 且 a 1 必过定点 15 函数 4 2 0 log 0 x x f x x x 若 0 1 2 f x 则 0 x 16 2015 河南源汇区一模 设 21 02 32 13 2 9 6 3 1 5 48 m 7 4 log 2 3 27 loglg25lg47 3 n 求 m n 的值 第 6 页 共 10 页 17 计算下列各式的值 1 4 log 200 52 9 ln5 12 2 4 2 23 log 1 lg3 log 2lg5 18 已知 3 2logf xx x 1 9 1 求 22 yf xf x 的定义域 2 求 22 yf xf x 的最大值及当 y 取最大值时 x 的值 19 求函数 2 2 log4yx 的值域和单调区间 第 7 页 共 10 页 参考答案 1 答案 C 解析 由log1 log 10 aa a 知 正确 2 答案 B 解析 2 1 lglg102 100 3 分析 直接利用对数的性质化简表达式 然后把lglgxya 代入即可 答案 A 解析 33 lg lg 3 lglg2 3 lglg2 3 lglg 3 22 xy xyxya 故选 A 4 答案 D 解析 52 a 5 log 2a 525522 log 803log 10log 5log 163 log 2log 5 525 5 3 14log 233log 54log 22 log 2 3 42a a 故选 D 5 答案 B 解析 66666 2log 3log 4log 9log 4log 362 故选 B 6 答案 D 解析 当 a 1 时 由a aa log 2 1 log 知 2 1 a 故 a 1 当 0 a 1 时 由a aa log 2 1 log 第 8 页 共 10 页 知 0 a1 7 答案 D 解析 由 2 230 xx 即 3 1 0 xx 解得 x 3 或 x 1 故选 D 8 答案 C 解析 函数 3 lg 10 x y lg 3 1x 由 左加右减 知 选 C 9 答案 C 解析 令 2 617uxx u的值域是 8 所以 1 2 logyu 的值域是 3 10 答案 D 解析 因为 44 log 5log 41cc 55 0log 41 0log 31aa 所以 2 5555 log 3log 3 log 4log 4ba 所以bac 故选 11 答案 13 解析 由指数式与对数式互化 可得 1 2 3 9 x 解得13x 12 答案 12 解析 2log 2 log 3log 4log 3 4 312 aaaa aaa 13 答案 1 解析 因为210 a 所以 2 1 log 10 lg2 a 又因为510 b 所以 5 1 log 10 lg5 b 所以原式 lg2lg51 14 答案 0 2 分析 根据函数logayx 过定点 1 0 得函数 log 21 2 a f xx a 0 且 a 1 必过定点 0 2 第 9 页 共 10 页 解析 由于函数logayx 过定点 1 0 则在函数 log 21 2 a f xx 中 令 2x 1 1 可得 x 0 此时 log 21 22 a f xx 故函数 log 21 2 a f xx a 0 且 a 1 必过定点 0 2 故答案为 0 2 15 答案 1 或 2 解析 令 0 0 1 2 1 2 x x 400 1 log 2 2 xx 16 答案 17 4 解析 21 02 32 133441 2 9 6 3 1 5 1 482992 m 7 4 log 2 3 27315 loglg25lg47122 344 n 11517 244 mn 17 分析 1 根据指数幂的性质对数函数运算的性质即可求出 2 利用对数的运算性质和换底公式 计算即可 答案 1 3 2 2 1 解析 1 4 log 200 52 933 ln5 12 21212 422 2 23 lg2 log 1 lg3 log 2lg50lg3lg5lg2lg5lg101 lg3 18 答案 1 3 x 3 时 最大值为 13 分析 1 把 3 2logf xx 代入 22 yf xf x 得到函数的解析式 由 2 19 19 x x 求得函数的定义域 第 10 页 共 10 页 2 令 3 logux 换元 然后利用配方法求函数的最大值并求得当 y 取最大值 时 x 的值 解析 1 3 2logf xx 2222 33 2log 2log yf xf xxx 22 333 log6log6 log3 3xxx 函数 f x的定义域为 1 9 要使函数 22 yf xf x 有定义 则 2 19 19 x x 1 x 3 即函数定义域为 1 3 2 令 3 logux 则 0 u 1 22 3 log3 3 3 3yxu 又 函数 2 3 3yu 在 3 上是增函数 当 u 1 时 函数 2 3 3yu 有最大值 13 即当 3 log1x x 3 时 函数 22 yf x