《函数连续性》PPT课件.ppt

1 2 6函数的连续性 2 6 1函数连续性的概念 2 6 2函数的间断点 2 6 3连续函数的运算法则 2 6 4初等函数的连续性 2 6 5闭区间上连续函数的性质 2 可见 函数 在点 2 6 1函数连续性的概念 定义1 在 的某邻域内有定义 则称函数 1 在点 即 2 极限 3 设函数 连续必须具备下列条件 存在 且 有定义 存在 3 例1 解 4 例2 证 由定义1知 5 对自变量的增量 有函数的增量 左连续 右连续 函数 在点 连续有下列等价命题 定义2 6 定义3 单侧连续 定理 7 例3 解 右连续但不左连续 8 连续函数与连续区间 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如 若 在某区间上每一点都连续 则称它在该区间上 连续 或称它为该区间上的连续函数 定义4 在闭区间 上的连续函数的集合记作 基本初等函数在定义区间内连续 9 例 证明函数 在 内连续 证 即 这说明 在 内连续 同样可证 函数 在 内连续 10 在 在 2 6 2函数的间断点 1 函数 2 函数 不存在 3 函数 存在 但 不连续 设 在点 的某去心邻域内有定义 则下列情形 这样的点 之一函数f x 在点 虽有定义 但 虽有定义 且 称为间断点 在 无定义 定义5 11 间断点分类 第一类间断点 及 均存在 若 称 若 称 第二类间断点 及 中至少一个不存在 称 若其中有一个为振荡 称 若其中有一个为 为可去间断点 为跳跃间断点 为无穷间断点 为振荡间断点 12 为其无穷间断点 为其振荡间断点 为可去间断点 例如 13 显然 为其可去间断点 4 5 为其跳跃间断点 14 注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点 在x k 各点处间断 15 2 6 3连续函数的运算法则 定理1 在某点连续的有限个函数经有限次和 差 积 利用极限的四则运算法则证明 商 分母不为0 运算 结果仍是一个在该点连续的函数 定理2 连续函数的复合函数是连续的 定理3 连续单调递增函数的反函数 递减 证明略 递增 递减 也连续单调 在 上连续单调递增 其反函数 在 上也连续单调递增 又如 例如 在 上连续单调递增 其反函数 在 1 1 上也连续单调递增 16 2 6 4初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如 的连续区间为 端点为单侧连续 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 17 初等函数在定义区间内可以利用连续性求极限 即直接代入法 18 例6求 解 原式 说明 若 则有 19 2 6 5闭区间上连续函数的性质 定义6 例如 20 注意 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 在闭区间上连续的函数 即 设 则 使 值和最小值 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 证明略 点 定理5 最大值和最小值定理 21 例如 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 推论 由定理1可知有 证 设 上有界 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 22 定理6 介值定理 几何解释 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值 23 几何解释 定义 24 例1 证 由零点定理 25 例2 证 由零点定理 辅助函数的作法 1 将结论中的 或x0或c 改写成x 2 移项使右边为0 令左边的式子为F x 则F x 即为所求 26 例3 证 由零点定理知 总之 27 内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 28 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明 分段函数在界点处是否连续需讨论其左 右连续性 3 初等函数连续性 4 四个定理 有界性定理 最值