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第二十届高等数学竞赛试卷 专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号一二三四五六七八总分得分说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2006年6月4日一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若时，与是等价无穷小，则.解题过程是：2. .解题过程是：3. 设函数在处连续，则. 解题过程是：4. .解题过程是： 5. .解题过程是： 解题过程是：7. 解题过程是：8. 解题过程是：9. 解题过程是：10. 设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有.对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，则.解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是：2. 设是锥面的下侧，计算曲面积分.解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：三、证明题（本题8分）：中国石油大学（华东）第二十届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若时，与是等价无穷小，则.解 当时，.于是，根据题设有 ，故a=-4.2. .解 =,而 ，故 原式=3. 设函数在处连续，则.解 由题设知，函数在 处连续，则 ，又因为 . 所以 .4. .5. .解：本题积分区域为全平面，但只有当 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 .7.8.9. 10. 设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有.对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，则.解 两边对求导得.令 ，则,.即设，则.则由可得.故由曲线积分与路径无关的定理可知，对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有二、计算题（每小题6分，本题共42分）：2. 设是锥面的下侧，计算曲面积分.解 设：，取上侧，则 .而，.所以.三、证明题（本题8分）：Y解 （I） l2 C o X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 .（II） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有. 比较、两式的右端，得由得，将代入得所以，从而 中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷 专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号一二三四五六七总分得分说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2007年6月10日一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若时，与是等价无穷小，则.解题过程是：2. .解题过程是：3. 曲线，渐近线的条数为： . 解题过程是：4. .解题过程是： 5. 微分方程 .解题过程是：6. .解题过程是：7. 解题过程是：8. 设函数的一个原函数是，则= .解题过程是：9. = .解题过程是：10. 设曲线， .解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是：2. 设，计算曲面积分解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：6. 设曲面，计算曲面积分.解题过程是：解题过程是：三、证明题（本题8分）：中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若时，与是等价无穷小，则.解题过程是：若时，与是等价无穷小， ，则，故.2. .解题过程是：.3. 曲线，渐近线的条数为： 3 .解题过程是：曲线渐近线有3条：垂直渐近线，水平渐近线，斜渐近线.4. .5. 微分方程 .解题过程是：6. .解题过程是：7. 解题过程是：解：令， 是奇函数，得= 8. 设函数的一个原函数是，则= .解题过程是：=.9. = 解题过程是：10. 设曲线， .解题过程是：.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是： 又故曲线L的方程为：.2. 设，计算曲面积分解题过程是：而故解题过程是：解题过程是：等式两边对t求导得 解题过程是：解：（1）的驻点 内的驻点为：.（2）构造拉格朗日函数： 条件极值驻点为：（3）比较最小值为0。最大值为8.6. 设曲面，计算曲面积分.解题过程是：解：由曲面的对称性和被积函数对称轮换性，=，=.解题过程是：三、证明题（本题8分）：证：构造辅助函数 则 证明思路使得再用两次罗尔定理得到结论.（1）则使得已知，用罗尔定理，与，使得，进而，使得，即（2）则与，。使得，由连续函数的零点定理，存在介于之间的使得又，由罗尔定理，与，使得，进而，使得，即综合上述，使得 中国石油大学（华东）第二十二届高等数学竞赛试卷 专业班级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号一二三四五六七总分得分说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2008年6月8日一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. .解题过程是：2. .解题过程是：3. ，则的零点个数为： . 解题过程是：4. .解题过程是： 5.解题过程是：6. .解题过程是： 解题过程是：8. .解题过程是：9. .解题过程是：10. 解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是：2. .解题过程是：3. 解题过程是：解题过程是：5. 解题过程是：6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分与曲面S的形状无关.解题过程是：7. 设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积.解题过程是：三、证明题（本题8分）：中国石油大学（华东）第二十二届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. .解题过程是：2. .解题过程是：.3. ，则的零点个数为： 1 个 .4. .5.解题过程是：6. .解题过程是：8. .解题过程是：.9. .解题过程是：10. 解题过程是：.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：2. . .解题过程是：2. 解题过程是：解题过程是：5. 解题过程是：解： 构造拉格朗日函数： 条件极值驻点为：，最远点为，最近点为6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分与曲面S的形状无关.解以L为边界任作两个光滑曲面，它们的法向量指向同一侧，记为与所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为，则，由高斯公式得，由的任意性得, 即解线性非齐次方程得.7. 设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积.解设点Q为，则球面的切平面方程为垂线方程为代入及切平面方程得，即（P点轨迹）.化为球坐标方程得.三、证明题（本题8分）：证：由定积分中值定理，可知 至少存在一点又由中国石油大学（华东）第二十三届高等数学竞赛试卷 专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号一二三四五六七八总分得分 说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2009年6月7日一、填空题（每小题4分，本题共20分）：1_2设在处连续，则_3 4设L为椭圆，其周长记为，则.12a5设的方程是，则二、选择题（每小题4分，本题共20分）：1若连续，且，则（A）2若可导，且在的某邻域内有则（A）3设且可导，则（D） （A）0 （B） （C） （D）4.设为曲线和直线所围成的区域整个边界，沿逆时针方向，则曲线积分( B ).(A) (B) (C) (D)5设函数连续，区域，则（） 三、计算下列各题1。（本题8分）如图，是两个逐段线性的连续函数，设，求 解： 所以 2（本题8分）设为连续函数，且，求解：其中为的原函数 ，又所以3（本题8分）设函数是以2为周期的连续函数，它在上的图形为分段直线，是线性函数，求。解：令，则4. （本题9分）如图，曲线C的方程为，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数具有三阶连续导数，计算定积分解 题设图形相当于已知在的函数值与导数值，在处的函数值及一阶、二阶导数值.由题设图形知，, ; , 由分部积分，知 = =5. （本题9分）设函数在点的某邻域内有定义，且在点处可微，又 其中 ，求解：由于函数在点处可微，故在点处连续，对取极限，得将式子变形为 根据微分的定义得 因为函数在点处连续且，有连续函数的局部保号性可知 令并取对数得 所以6. （本题9分）计算其中为正的常数，L为从点沿曲线到点的弧（如图）. 解法1 可考虑添加有向线段，从点到点，构成封闭曲线，然后利用格林公式计算.， .解法2 此题亦可将其分为两部分进行计算.，其中，前一积分与路径无关，故可选择沿直线段从到积分 ，得.后一积分，可直接化为对参变量的定积分，从到.，故 .7（本题9分）证明：由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所形成的立体对轴的转动惯量(密度=1)为.其中是连续的正值函数.证明：曲线弧绕轴旋转一周所形成的旋转曲面为设曲面的柱坐标方程为. =中国石油大学（华东）第二十四届高等数学竞赛试卷 专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页 号一二三四五六总分得 分阅卷人说明：1.本试卷正文共6页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。中国石油大学（华东）教务处、数学学院主办基础数学系承办2010年6月6日一、填空题（每小题4分，本题共20分）： 本页满分40分本页得分1、 。2、设，则= 。3、设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分_ _，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续函数。 4、设，则= 。5、 。二、选择题（每小题4分，本题共20分）：1、( ) 2、 ( )3、方程的根的个数 ( ) (A)0 (B) 1 (C)2 (D) 34、若曲线在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是( )(A)(B)(C)0(D)15、设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分( ) (A) ab(B) 0(C) a+b2(D) ab2本页满分14分本页得分三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：1、设二阶连续可微，且，试确定，使曲线积分与路径无关。2、计算表达式 本页满分14分本页得分3、设，计算积分4、设连续，且满足，计算积分本页满分14分本页得分5、 计算二重积分，其中D是由直线及上半圆周所围成的区域. 6、 计算，其中L是圆周沿正向从点到点的一段圆弧.本页满分12分本页得分四证明题：（每小题6分，本题共18分）：1、设在0，1上连续，且。证明在（0，1）内至少存在一点，使得。2、设连续，且，证明：在内至少有一个零点。本页满分6分本页得分3、 证明:由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所形成的立体对轴的转动惯量(密度=1)为其中是连续的正值函数.中国石油大学（华东）第二十四届高等数学竞赛试题答案一、填空题（每小题4分，本题共20分）：1、 。2.设，则= 0 。3.设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分_，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续函数。 4.设，则= 0 。5、。二、选择题（每小题4分，本题共20分）：1、( C ) 2、(A)3、方程的根的个数(B) (A)0 (B) 1 (C)2(D) 34、若曲线在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是(A)(A)(B)(C)0(D)15、设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分 (B) (A) ab(B) 0(C) a+b2(D) ab2三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：1、设二阶连续可微，且，试确定，使曲线积分与路径无关。解 由曲线积分与路径无关的条件得即积分两次得代入条件，得故所求函数为：2、计算表达式解 3、设，计算积分解 4、设连续，且满足，计算积分解 在中令，有在中令，则从而5、 计算二重积分，其中D是由直线及上半圆周所围成的区域.解 积分域D如图所示，可表示为，则. 6、 计算，其中L是圆周沿正向从点到点的一段圆弧.解 ，积分与路径无关，选折线段为积分路径. .