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二项式定理 1 二项式定理及其简单应用 对于a b a b 2 a b 3 a b 4 a b 5等代数式 数学上统称为二项式 其一般形式为 a b n n N 二项式 由于在许多代数问题中需要将二项式展开 因此 二项式定理研究的是 a b n展开后的表达式的一般结构 那么 a b n的展开式是什么呢 一 问题引入 什么是二项式 二项式定理研究的是什么 二 讲授新课 问题1 有2个口袋 每个口袋都同样装有a b两个小球 现依次从这2个口袋中各取出一个小球 共有多少种不同的取法 请分别用列举法 分类计数原理进行分析 列举法 aa ab ba bb共4种 问题1 有2个口袋 每个口袋都同样装有a b两个小球 现依次从这2个口袋中各取出一个小球 共有多少种不同的取法 分类计数原理 由于b选定后 a也随之确定 因此 第一类 两次都不取b 即两次都取a 有1种取法 第二类 任一次取b 即另一次取a 有2种取法 第三类 两次都取b 即两次都不取a 有1种取法 共4种 问题2 请将 a b a b 逐项展开并整理 思考 问题2与问题1的处理过程之间有何异同点 同 展开的过程就是取球的过程 异 取球ab ba属两种方法 展开式中的ab ba可合并同类项 整理后 各项系数为各项在展开式中出现的次数 即取球问题中分类计数原理的各类结果数 问题4 有3个口袋 每个口袋都同样装有a b两个小球 现依次从这3个口袋中各取出一个小球 共有多少种不同的取法 请用分类计数原理进行分析 问题5 二项式定理 问题6 1 公式右边的多项式叫做 a b n的 其中 r 0 1 2 n 叫做 2 叫做二项展开式的通项 用Tr 1表示 该项是指展开式的第项 二项展开式 二项式系数 r 1 二项式定理 三 二项式定理 2 二项式系数规律 3 指数规律 1 各项的次数和均为n 2 二项式的第一项a的次数由n逐次降到0 第一项b的次数由0逐次升到n 1 项数规律 展开式共有n 1项 二项式定理 注意 公式中a b可以是单项式 多项式 任意实数 1 令a 1 b x 2 令a 1 b 1 二项式系数和公式 四 理论迁移 一 法二 先化简通项 后展开 法一 直接展开 例1 1 求的展开式 2 求的展开式的第4项的系数 3 求的展开式中x的二项式系数 注 一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念 活学活用 一 四 理论迁移 二 总结 逆用二项式定理可以化简多项式 体现的是整体思想 注意分析已知多项式的特点 向二项展开式的形式靠拢 活学活用 二 各项的次数和均为n a的指数从n逐项递减到0 是降幂排列 b的指数从0逐项递增到n 是升幂排列 五 课堂小结 2 二项式系数规律 3 指数规律 1 项数规
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