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浙江师范大学2005年研究生一（每小题8分，共48分）计算题1、 求极限 .解 原式 3分 5分 8分2、 求级数 的和.解 作，则 2分作，则 因此 5分于是 ，原式 8分3、 求级数 的和. 解 因，故 2分为了求，作， 4分则 5分 6分因此，原式 8分4、求的值.解 原式 4分 8分5、 求极限 解 因的周期为， 2分故当为有理数时，存在正整数和整数使得，这时当时， 4分而当为无理数时， 6分因此，原式 8分6、求极限 解 原式 4分 8分二（14分）已知实数列收敛于，且，用定义证明也收敛于. 证记，则，使得, 3分因，故，使得， 8分令，则当时，有 14分三（20分）设和为二次可微函数，证明证， 5分 ， 15分因此，左右 20分四（20分）设在上连续，证明若，且，则， 证 记 (1) 令，则因此，左右 10分（2）（用反证法）若不然，则使得，由极限的保号性，存在开区间使得，且当时，有， 16分这与矛盾. 20分 五（16分）若不定积分为有理式，则应满足什么条件？解 因，故当且仅当时，不定积分为有理式. 16分六（16分）若在上可微，求证内存在一个数列，使得单调，且.证法1 因在上可微，故，在上连续，在内可导，从而由拉格朗日中值定理知， 使，即 9分因，故由海涅归结原则知，从而. 16分证法2 由知，使得当时， 2分，使当时，使当时，使得当时， 6分用数学归纳法，得到一个数列，在闭区间上应用拉格朗日中值定理，使得 10分由知，数列单调增，由数列满足和知 13分由知 16分七（16分）设，证明在上一致收敛.证法1 ，当时，当时，由对称性知 当时， 6分因，故对上述的，正整数使得当时， 14分综上，当时，对中的一切成立，这表明在上一致收敛. 16分证法2当时 3分由Dini定理，要证在上一致收敛.只需证明在上下面分，这四种情形来证明即知极限函数一定连
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