江苏省2020-2021年高二数学下学期期中试题文（含解析）

高二数学下学期期中试题 文（含解析）（考试时间：120分钟 总分160分）注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸相应的答题线上）1.集合,则_.【答案】1【解析】【分析】根据交集运算的规则可得结果.【详解】解：因为集合，所以.【点睛】本题考查了集合的交集运算问题，属于基础题.2.命题“”是_命题（选填“真”、“假”）【答案】真.【解析】【分析】根据函数的图像，可以得出命题“” 的真假性.【详解】解：因为函数的图像恒在轴上方，故恒成立，故“”是真命题【点睛】本题考查了全称命题的真假性，解题的关键是要能准确作出函数的图像.3.函数的定义域是_.【答案】(1,+)【解析】，4.有5个数据分别为2，4，5，6，8，则这5个数据的平均数是_.【答案】5.【解析】【分析】根据平均值公式求解.【详解】解：这5个数据的平均数为.【点睛】本题考查了平均数的问题，求解的关键是熟练运用公式.5.袋中有形状、大小都相同的3只球，其中1只白球，1只红球，1只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色为一红一黄的概率为_【答案】.【解析】【分析】先列举出一次随机摸出2只球的所有事件，然后再从中找出颜色为一红一黄的事件，根据古典概型公式求解其概率.【详解】解：从袋中一次随机摸出2只球的事件为：（白，红），（白，黄），（红，黄）共有3种，满足颜色为一红一黄的事件为（红，黄）只有一种，故这2只球颜色为一红一黄的概率为.【点睛】本题考查是古典概型，当所有事件数比较少时，可采用列举的方法解题，解题的难点在于，在列举过程中要做到 “不重不漏”.6.某校高一年级有学生850人，高二年级950人，高三年级1400人，现采用分层抽样抽取容量为64的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为_.【答案】28【解析】【分析】根据分层抽样的公式求解即可得到.【详解】解：因为采用分层抽样抽取容量为64的一个样本，所以，故在高三年级应抽取的人数为28人.【点睛】本题考查了分层抽样的问题，理解分层抽样的公式是解题的关键.7.如图，程序执行后输出的结果为_【答案】【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得a=5，S=1满足判断框内的条件，执行循环体，S=5，a=4满足判断框内的条件，执行循环体，S=20，a=3满足判断框内的条件，执行循环体，S=60，a=3此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为60故答案为：60【点睛】本题考查了程序框图应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8.计算_【答案】.【解析】【分析】运用对数、指数的运算公式求解.【详解】解：【点睛】本题考查了对数、指数的运算，解题的关键是正确运用对、指数运算公式.9.“”是“函数为R上的增函数”的_.（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中的一个）【答案】充分不必要条件.【解析】【分析】先从充分性进行研究，再从必要性角度研究，从而得到结果.【详解】解：当时，故函数为R上的增函数，满足充分性，当函数为R上的增函数时，可以得到，故不满足必要性，故本题的答案是充分不必要条件.【点睛】本题考查了充分必要条件，解题此类问题首先要搞清楚什么是条件，什么是结论，由条件得出结论满足充分性，由结论推出条件满足必要性.10.已知函数是偶函数，且当时，则_.【答案】5.【解析】【分析】由于函数是偶函数，故求解即为求解，然后根据解析式求解结果.【详解】解：因为函数是偶函数，所以，因为当时，所以.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，利用函数性质对目标进行转化是解题的关键.11.已知函数，则_.【答案】2.【解析】【分析】将自变量代入函数解析式，利用对数中的恒等式进行运算.【详解】解：因为所以【点睛】本题考查了对数的运算，解题的关键是熟练运用几个对数中的恒等式.12.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足 的的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】偶函数在上单调递增，故得到在上单调递减，结合图像，便可得到不等式的解.【详解】解：因为偶函数在上单调递增，因为，即所以，解得，所以的取值范围.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性的综合应用，根据函数性质得出关于的不等式时解题的关键，同时还要注意函数的定义域.13.若函数在区间上是增函数，则的取值范围是_ .【答案】.【解析】【分析】根据复合函数单调性的性质，可得函数在上是增函数，再根据对数函数的定义域要求得到在上恒成立，从而得出的取值范围.【详解】解：因为函数在区间上增函数，根据“同增异减”规则，故函数在上是增函数，所以，即，因为函数要有意义，故在上恒成立，所以，因为在上是增函数，所以，故，解得，所以的取值范围.【点睛】本题考查了复合函数的单调性、对数函数的定义域等问题，复合函数的单调性规则为“同增异减”.14.如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”给出如下四个结论：函数存在“线性覆盖函数”；对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；为函数的一个“线性覆盖函数”；若为函数的一个“线性覆盖函数”，则其中所有正确结论的序号是_.【答案】.【解析】【分析】根据题中提供的定义，对每一个选项通过证明或找反例分析对错，从而解得正确选项.【详解】解：选项：假设存在，为函数的一个“线性覆盖函数”，此时显然不成立，只有才有可能使得对函数定义域内任意都有成立，即，而事实上，增长的速度比要快很多，当时，的函数值一定会大于的函数值，故选项不成立；选项：如函数，则就是函数的一个“线性覆盖函数”，且有无数个，再如中的就没有“线性覆盖函数”，所以命题正确；选项：设，则，令，解得，当时，函数为单调增函数；当时，函数为单调减函数；所以，所以在上恒成立，故满足定义，选项正确；选项：若为函数的一个“线性覆盖函数”，则 在R上恒成立，即在R上恒成立，故，因为开口向下，对称轴为，所以当时，所以，所以选项错误，故本题选择.【点睛】本题考查了新定义的函数问题，解决问题的关键是要能将未知的问题向熟悉的问题进行转化，本题还考查了转化与化归的能力.二、解答题：本大题共3小题，共计60分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知全集U=R，集合，（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）将的值代入，根据交集与并集运算规则求解，（2）作出数轴图，根据子集运算规则求解.【详解】解：（1）因为，所以，故，.（2）因为，如图所示所以.【点睛】本题考查了集合的交、并、子集问题，熟知交、并、子集的运算规则是解决问题的关键.16.已知关于x的方程有实数根.（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数a的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）若q为真命题，则得到，从而得出结果；（2）若为假命题，为真命题，故得到P是真命题，为假命题，从而解决问题.【详解】解：（1）因为q为真命题，即关于x的方程有实数根，故，解得.（2）由为假命题，为真命题，所以P是真命题，为假命题，所以，解得.【点睛】本题考查了常用逻辑用语“或”“且”“非”的问题，解题的关键是要能结合二次方程根的情况、二次函数的图像将其中的参数在真命题的情况下求解出来.17.已知函数，为常数（1）若，判断并证明函数的奇偶性；（2）若，用定义证明：函数在区间（0，）上是增函数。【答案】(1) 为奇函数,(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义求解函数的奇偶性；（2）根据求解单调性的步骤证明函数的单调性.【详解】（1）解: 当时，函数为奇函数，对恒成立,为奇函数. （2）,，设任意的,且. . ,且，所以函数在区间上是增函数.【点睛】本题考查了用定义法解决函数的两大性质：单调性与奇偶性，不论解决函数的什么性质都要遵循“定义域优先”的原则.18.已知函数，为实数，（1）若函数在区间上是单调函数，求实数范围；（2）若对任意，都有成立，求实数的值；（3）若，求函数的最小值。【答案】(1) (2)-4.(3) 见解析.【解析】【分析】（1）函数在区间上是单调函数，故分单调增与单调减两种情况进行讨论求解的取值范围；（2）对任意，都有成立，可以得到二次函数的对称轴，从而解得结果；（3）要求函数的最小值，首先要求出在上单调性，根据题意分情况讨论求解函数的单调性及最值.【详解】解：（1）函数在区间上是单调函数，函数的对称轴为，所以对称轴或 ，所以或.（2）因为函数对任意，都有成立，所以的图像关于直线对称，所以，得 （3）若即时，函数在单调递增，故. 若即时，函数在单调递减，故. 若即时，函数在单调递减，函数在单调递增，故.【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，根据对称轴与定义域的关系进行分情况讨论是解题的关键，本题还考查了分类讨论、数形结合的思想方法.19.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求方程的解；（3）若，求实数的取值范围。【答案】(1) ;(2) x=81或x=;(3) 或【解析】【分析】（1）不等式等价于，根据函数的单调性求解；（2）利用对数运算将分程进行化简，然后将log3x视作为整体，求出log3x的值，从而解决问题；（3）根据函数单调性的情况，对进行分情况讨论求解实数的取值范围.【详解】解：（1）当a=2时，f（x）=log2x,不等式，（2）当a=3时，f（x）=log3x，f（）f（3x）=（log327log3x）（log33+log3x）=（3log3x）（1+log3x）=5，解得：log3x=4或log3x=2，解得：x=81，x=； （2）f（3a1）f（a），当0a1时，函数单调递增，故03a1a，解得：a， 当a1时，函数单调递减，故3a1a，解得：a1， 综上可得：a或a1.【点睛】本题考查了对数函数的单调性，对数函数的定义域等知识，解题的关键是熟知对数函数的图像及性质，本题还考查了整体的思想方法和分类讨论的思想方法.20.设函数， （1）解方程（2）令，求的值（3）若是定义在上的奇函数，且对任意恒成立，求实数k的取值范围【答案】(1)2.(2)1009.(3) .【解析】【分析】（1）将题中的条件代入得，将视作为整体，先求出的值，从而得出的值；（2）根据题意发现规律，由此规律解得结果；（3）根据题意首先求出的值，研究出函数的单调性，将题中的不等式转化为恒成立问题，分离变量构造函数，求解新函数最值，从而得出