卓越数学试题.doc

2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的）1 已知是定义在实数集上的偶函数，且在上递增，则（A） (B) (C) (D) 2 已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点(A) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(B) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(C) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(D) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变3 如图，在五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A）21 (B)24 (C)30 ( D)484 设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上若，则实数的取值范围为（A） (B) (C) (D) 二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）5 已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为 6 设点在的内部，点，分别为边，的中点，且，则 7 设曲线与轴所围成的区域为，向区域内随机投一点，则该点落入区域内的概率为 8 如图，是圆的切线，是切点，与垂直，垂足是，割线交圆于，且，则 （用表示）三、解答题（本大题共4小题，共56分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）9（本小题满分13分）在中，三个内角、所对边分别为、已知（1）求角的大小； （2）求的最大值10（本题满分13分）设椭圆的离心率为，斜率为的直线过点且与椭圆交于两点（1）求椭圆方程；（2）若直线与轴相交于点，且，求的值；（3）设为椭圆的下顶点，、分别为直线、的斜率，证明对任意的恒有11（本题满分15分）设，（1）证明：；（2）若，证明：12（本题满分15分）已知数列中，（1）若对都成立，求的取值范围；（2）当时，证明2012年卓越联盟自主招生数学试题1、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。1. 若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 。2. 函数，的值域为 。3. 设，则的大小关系为 。 4. 已知ABC中，点A为线段EF中点，EF=2，若与的夹角为，则 。 5. 设是等差数列，是等比数列，记、的前n项和分别为、。若，且，则 。6. 设函数，其中，若存在常数，使对任意有，则可取到的最小值为 。2、 解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。7. （本小题满分10分） 设是从集合中随机选取的数。（I）求直线与圆的公共点的概率。 （II）设X为直线与圆的公共点的个数，求随机变量x的分布列及数序期望。8. （本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，弦于点M，E是CD延长线上一点，EF切圆O与F，BF交CD于G，（I）求线段EG的长；（II）连接DF，判断DF是否平行于AB，并证明你的结论。（注：根据解题需要，须将图像自行画在答题卡上。）9. (本小题满分10分)如图，在四棱锥中，地面ABCD为直角梯形，侧面PAB底面ABCD，。（I）证明平面PBC平面PDC；（II）若，求二面角的正切值（注：根据解题需要，须将图像自行画在答题卡上。）。10. (本小题满分10分)设抛物线，的焦点是F，A、B是抛物线上互异的亮点，直线AB与x轴不垂直，线段AB的垂直平分线交x轴与，记。（I）证明是与的等差中项；（II）设，直线轴，且被以AD为直径的动圆，截得的弦长恒为定值，求直线方程。11. (本小题满分15分)已知函数，其中是非零实数，。（I）求的单调区间；（II）若，设，且，。证明：；（III）若有极小值，且，证明：，。12. 12. (本小题满分15分)设数列的前n项和为，其中是正整数，且，。（I）证明为等比数列；（II）设两项均为正整数，其中。（i）若，证明整除；（ii）若存在正整数，使得，证明：。2011年卓越联盟自主招生数学试题1. 向量a，b均为非零向量，(a-2b)a，(b-2a)b，则a，b的夹角为(A)(B)(C)(D)2. 已知sin2(+)=nsin2，则2等于(A)(B)(C)(D)3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为(A)(B)(C)(D)4. i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则的最大值为(A)-1(B)2-(C)+1(D)2+5. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，ABC 三个顶点都在抛物线上，且ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为(A)y2=16x(B)y2=8x(C)y2=-16x(D)y2=-8x6. 在三棱锥ABCA1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为(A)(B)(C)(D)(7)若关于x的方程=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )(A)(0，1)(B)(，1)(C)(，+)(D)(1，+)(8)如图，ABC内接于O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交O于G、F，交O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为(A)(B)(C)(D)29. 数列an共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，10满足这种条件的不同数列的个数为( )(A)100(B)120(C)140(D)16010. 设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转，表示坐标平面关于y轴的镜面反射用表示变换的复合，先做，再做，用k表示连续k次的变换，则234是( )(A)4(B)5(C)2(D)211. 设数列an满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an()设bn=an+1-an，证明：若ab，则bn是等比数列；()若(a1+a2+an)=4，求a，b的值12. 在ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC()求k的取值范围；()若SABC=1，问k为何值时，BC最短？13. 已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-相切()求椭圆的方程；()过F1作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值14. 一袋中有a个白球和b个黑球从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中在重复n次这样的操作后