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从不同角度求解不等式恒成立问题湖北宜昌外国语学校 秦江不等式恒成立问题是高中数学考查的热点问题之一，此类问题综合性较强，题中所涉及的未知数、参数数目至少有两个，学生处理时常常陷入困境之中。本文从几种角度介绍不等式恒成立问题的常见解法。一 函数图象例1 若不等式在在时恒成立，求实数的取值范围。分析：本题中的不等式是关于的二次不等式，可结合二次函数的图象，构造关于的不等式。又因为二次项系数为，需分与两种情况讨论。解：设当时，此时在时不可能恒成立。当时，则 解得 ，或总之的取值范围是。点评：本题结合二次函数的图象，由开口方向与判别式得到不等式组，是数形结合思想中的 “形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现。二 函数最值例2 若，当时，恒成立，求实数的取值范围。分析：本题可先求出的最小值（可能含有参数），由求出实数的取值范围。解：因为，结合图象的对称轴，分以下两种情况讨论： 当时， 只需，解得又 当时， 只需，解得又 总之的取值范围是点评：当不等式一侧的最值（可能含有参数）容易求出时，通过最值建立关于参数的不等式。三 变更主元例3 若不等式对于任意都恒成立，求实数的取值范围。分析：本题中不等式中含有两个变量，应把其中一个看作变量，另一个看作参数。若把看作变量，看作参数，使“反客为主”，变更主元，可得到关于的一次不等式，结合一次函数的图象，再得到关于的不等式（组）。解:设，则，因为恒成立，所以只需，即 解得 故实数的取值范围是。点评：在不等式中出现了两个字母：及,而我们都习惯把看成是一个变量，作为常数.本题转换视角，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于的一次函数小于0恒成立的问题。此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可。四 分离参数例4 若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。分析：面对此题，若将参数与变量分离，再从函数最值得角度来考虑，就会有意外收获。解：将不等式变形，得 考虑函数,则只需即可。 当时，取得最下值，且故实数的取值范围是。点评：在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它
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