几何拔高：以几何为主的综合题目(1).doc

北京2017年中考数学专题 专题22：以几何为主的综合题目（1）【知识梳理】【方法集会】基本模型一、手牵手模型（较易理解、看起来比较形象、灰色的两个三角形）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 二、弦图（三垂直、形式上分为内弦图、外弦图，可应用在全等弦图和相似弦图）三、半角旋转（凡涉及到等腰直角三角形、正三角形、正四边形的图形，都可能出现半角旋转）旋转全等、旋转相似：以旋转为基础构造全等或相似三角形，求角之间或者线段之间的关系，求角度或线段长。出现等腰三角形：常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合出现等边三角形：常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转角后与另一边重合出现正方形时：常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转角后与另一边重合【考点突破】考点1、旋转全等模型的构造和应用例1、如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，ABC=60，ADC=30，连接对角线BD.（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60得到线段CE，连接AE.依题意补全图1；试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足AFC=150，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明. （图1） （图2）变式1、如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC=CD，ACD=，将线段CD绕点C顺时针旋转90得到线段CE，连接DE，AE，BD（1）依题意补全图1；（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若064，AB=4，AE与BD相交于点G，求点G到直线AB的距离的最大值请写出求解的思路（可以不写出计算结果） 例2、如图1，已知DAC=90，ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，猜想QEP= ；（2）如图2，3，若当DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的长图1 图2 图3变式1、 在等边三角形ABC中，ADBC于点D（1）如图1，请你直接写出线段AD与BC之间的数量关系: AD= BC；（2）如图2，若P是线段BC上一个动点（点P不与点B、C重合），联结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60，得到线段AE，联结CE，猜想线段AD、CE、PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点P是线段BC延长线上一个动点，（2）中的其他条件不变，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD、CE、PC之间的数量关系变式2、如图1，在中，是边上任意一点(点与点，不重合)，以为一直角边作，连接，.(1) 若，猜想线段，之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；现将图1中的绕着点顺时针旋转锐角，得到图2，请判断中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2) 若，绕着点顺时针旋转锐角，如图3，连接，计算的值. 考点2、旋转相似模型的构造及应用例1、在等腰三角形ABC中， AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与C相等，得到线段PD，连接DB（1）当C=90时，请你在图1中补全图形，并直接写出DBA的度数；（2）如图2，若C=，求DBA的度数（用含的代数式表示）；（3）连接AD，若C =30，AC=2，APC=135，请写出求AD长的思路（可以不写出计算结果） 变式1、如图1，在中，A=30，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF（1）线段与的位置关系是_， _（2）如图2，当绕点顺时针旋转时（），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由（3）如图3，当绕点顺时针旋转时（），延长交于点，如果，求旋转角的度数例2、在ABC中，CACB，在AED中， DADE，点D、E分别在CA、AB上，（1）如图，若ACBADE90，则CD与BE的数量关系是 ；（2）若ACBADE120，将AED绕点A旋转至如图所示的位置，则CD与BE的数量关系是 ；，（3）若ACBADE2（0 90），将AED绕点A旋转至如图所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明(用含的式子表示)变式1、已知：在ABC中，ABC=ACB=，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转与过点A且平行于BC边的直线交于点E.（1）如图12-1，当=60时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；_ （2）如图12-2，当=45时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；（3）如图12-3，当为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：_（用含的式子表示,其中）图12-2图12-3图12-1考点3、构造弦图例1、在ABC中，C=90，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90得到DE，连接BE（1）如图1，点D在BC边上依题意补全图1；作DFBC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）变式1、在ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使CPE=CAB，过点C作CFPE交PE的延长线于点F，交AB于点G（1）如果ACB=90，如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与CDG全等的一个三角形；如图2，当点P不与点A重合时，求的值；（2）如果CAB=a，如图3，请直接写出的值（用含a的式子表示）例2、在ABC中，ACB=45点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC如图，且点D在线段BC上运动试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论（2）如果ABAC，如图，且点D在线段BC上运动（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，CD=，求线段CP的长（用含的式子表示） 变式1、如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并猜测FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变，若FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tanFCN的值；若FCN的大小发生改变，请举例说明【模考链接】1、（2016顺义一模）已知：在ABC中，（1）如图1，若AB=AC，点P在ABC内，且，把APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到ADB，连结DP依题意补全图1；直接写出的长；（2）如图2 ，若AB=AC，点P在ABC外，且，求的度数；2、（2016北京顺义初三二模）已知：如图，是过点的直线，于点（1）在图1中，过点作，与直线于点，依题意补全图形；求证：是等腰直角三角形；图1中，线段、满足的数量关系是 ；（2）当绕旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变.在图2中，线段、满足的数量关系是 ；在图3中，线段、满足的数量关系是 ；（3） 在绕点旋转过程中，当，时，则 3、（2016北京通州初三一模）ABC中，于点，于点.（1）如图1，作的角平分线交于点，连接AF. 求证：；（2）如图2，连接，点G与点D关于直线对称，连接、.依据题意补全图形；用等式表示线段、之间的数量关系，并加以证明.4、（2016西城二模）在等腰直角三角形ABC中，AB = AC，BAC=90.点P为直线AB上一个动点（点P不与点A,B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD = PC. 过点P作PE PC，点D,E在直线AC的同侧，且PE = PC，连接BE.（1）情况一：当点P在线段AB上时，图形如图1 所示；情况二：如图2，当点P在BA的延长线上，且AP AB时，请依题意补全图2；（2）请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：求证：ACP=DPB；用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并证明.5、（2016北京朝阳初三二模）在中，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点O，且（1）如图1，若AB=AC，则BD与CE的数量关系是_；（2）如图2，若，请你补全图2，思考BD与CE是否仍然具有（1）中的数量关系，并说明理由； 图2（3）如图3，BD = 3，且BE平分ABC，请写出求BE长的思路（不用写出计算结果）6、（2016丰台二模）在ABC中，AC=BC，ACB=90. 点D为AC的中点将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连接EF，CF过点F作，交直线AB于点H（1）若点E在线段DC上，如图1， 依题意补全图1；判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）若E为线段DC的延长线上一点，如图2，且CE=CFE=12，请写出求FCH的面积的思路.（可以不写出计算结果）7、（2016北京海淀初三一模）在ABC中，AB=AC，BAC=，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G（1）若点D在线段BC上，如图1. 依题意补全图1； 判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明； （2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB =，则GE的长为_，并简述求GE长的思路 图1 备用图 8、（2016怀柔二模）在ABC中，ABC=90，D为ABC内一动点，BD=a,CD=b(其中a，b为常数，且ab).将CDB沿CB翻折，得到CEB. 连接AE. (1)请在图1中补全图形;(2)若ACB=，AECE，则AEB= ；(3)在(2)的条件下，用含a,b,的式子表示AE的长.图1 备用图9、（2016怀柔一模）在正方形ABCD中，点H在对角线BD上（与点B、D不重合），连接AH，将HA绕点H顺时针旋转 90与边CD (或CD延长线)交于点P，作HQBD交射线DC于点Q.(1)如图1:依题意补全图1；判断DP与CQ的数量关系并加以证明；(2)若正方形ABCD的边长为，当 DP=1时,试求PHQ的度数. 10、（2016平谷二模）已知ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC（1）如图1，过点A作AFAB，并截取AF=BD（点C，F在直线AB的两侧），连接DC，DF，CF依题意补全图1；判断CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且APD=45求证：BD=CE参考答案考点1、旋转全等例1、（1）补全图形,如图1 判断: AE=BD 证明：如图2，连接ACBA=BC，且ABC=60ABC是等边三角形ACB=60，且CA=CB将线段CD绕点C顺时针旋转60得到线段CECD=CE，且DCE=60BCD=ACEBCDACE（SAS）AE=BD （2）判断：（3）判断： 证明：如图3,连接ACBA=BC，且ABC=60ABC是等边三角形ACB=60，且CA=CB将线段CF绕点C顺时针旋转60得到线段CE，连接EF、EACE=CF，且FCE=60，CEF是等边三角形CFE=60，且FE=FCBCF=ACEBCFACE（SAS）AE=BF AFC=150, CFE=60AFE=90 在RtAEF中， 有： . 变式1、解：（1）补全图形，如图1所示（2）AE与BD的数量关系：AE=BD，AE与BD的位置关系：AEBD证明：ACB=DCE=90，ACB+=DCE+即BCD=ACEBC=AC，CD=BC，BCDACEAE=BD4=CBDCBD=2，2=43+4=90，1=3，1+2=90即AEBD（3）求解思路如下：过点G作GHAB于H由线段CD的运动可知，当=64时GH的长度最大由CB=CD，可知CBD=CDB，所以CBD=13，所以DBA=32由（2）可知，AGB=90，所以GAB=58，分别解RtGAH和RtGBH，即可求GH的长例2、解：（1） 1分（2）AD=（CE+PC） 2分理由如下： 线段AP绕点A逆时针旋转60，得到线段AE，PAE=60，AP=AE，等边三角形ABC，BAC=60，AB=ACBACPAC=PAEPAC，BAP=CAE，在ABP和ACE中，ABPACE， 3分BP=CE，BP+PC=BC，CE+ PC=BC，AD=BC，AD=（CE+PC）. 4分（3）如图， 5分AD=（CE-PC） 7分变式1、解： (1) QEP= 60 1分 (2) QEP= 60 证明: 如图1，以DAC是锐角为例 ABC是等边三角形， AC=BC，ACB=60 又由题意可知，CP=CQ，PCQ=6O ACP=BCQ ACPBCQ APC=Q 设PC与BQ交于点G， 图1 1=2， QEP=PCQ=60 4分（3）由题意可求，APC=30，PCB=45 又由（2）可证 QEP=60 可证QE垂直平分PC，GBC为等腰直角三角形 AC=4， ， 7分变式2、（1）解： ，；2分，仍然成立；证明：设与的交点为点，与的交点为点，如图1.，.在和中，.，.3分，.4分（2）证明：设与的交点为点，的延长线与的交点为点，如图2. ，.，.5分.，.6分.，.，.7分考点2、旋转相似例1、（1）如图，补全图1 DBA=（2） 过点P作PEAC交AB于点E AC=BC，又，=. （3）求解思路如下：a作AHBC于H；b由C =30，AC=2，可得AH=1，CH=，BH=，勾股定理可求AB； c由APC=135 ，可得APH=45 ，AP= ；d由APD=C=30，AC=BC，AP=DP，可得PADCAB，由相似比可求AD的长 变式1、解：（1）互相垂直；（2）答：（1）中结论仍然成立.证明：点E，F分别是线段BC，AC的中点， EC=，FC= , 延长BE交AC于点O，交AF于点M BOC=AOM，1=2BCO=AMO=90BEAF（3）ACB=90，BC=2，A=30 AB=4，B=60过点D作DHBC于HDB=，又CH=BH HCD=45DCA=45例2、（1）（2）（3）过点作交于，又，变式1(1)BD=AE；1分(2)BD=AE；理由如下：2分过点D作DFAC，交BC于FDFAC，ACB=DFCABC=ACB=，=45，ABC=ACB=DFB=45DFB是等腰直角三角形图24-2BD =DF=BF3分AEBC，ABC+BAE=180DFB +DFC=180BAE=DFCABC+BCD=ADC，ABC=CDE=，ADE =BCDADEFCD4分DFAC，5分BD=AE图24-3(3)补全图形如图3，6分关系：BD=2cosAE7分 (图正确得1分，结论正确得1分)考点3、构造弦图例1、解：（1）补全图形，如图1所示 如图1，由题意可知AD=DE，ADE=90DFBC，FDB=90ADF=EDBC=90，AC=BC，ABC=DFB=90DB=DFADFEDBAF=EB在ABC和DFB中，AC=8，DF=3，A=，BF=AF=ABBF=即BE=（2）如图2，BD=BE+AB变式1、解：（1）作图，如图1所示 ADE（或PDE）与CDG全等提示：只需证AD=CD，EAD=22.5，ECF=22.5即可；过点P作PNAG交CG于点N，交CD于点M，如图2，则有CPM=CABCPE=CAB，CPE=CPN，CPE=FPNPFCG，PFC=PFN=90在PFC和PFN中，PFCPFN，CF=FN，PC=PNCA=CB，ACB=90，点D为AB的中点，A=B=45，ADC=90PNAB，CPN=A=45，PMC=ADC=90PCN=PNC=67.5，ACD=A=45，MCN=22.5CPE=CAB=22.5，EPM=22.5，EPM=MCN=22.5CPM=PCM=45，PM=CM在PME和CMN中，PMECMN，PE=CN，；（2）=提示：过点P作PNAG交CG于点N，交CD于点M，如图3，同（1）可得CF=CN易证CMNPME，则有=tanCPN=，CPM=A=，tan=，=例2、（1）CF与BD位置关系是垂直； 证明如下：AB=AC ，ACB=45，ABC=45由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90即 CFBD（2）CFBD(1)中结论成立 理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG可证：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD（3）过点A作AQBC交CB的延长线于点Q， 点D在线段BC上运动时，BCA=45，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易证AQDDCP， ， ， 点D在线段BC延长线上运动时，BCA=45，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 过A作交CB延长线于点G，则 CFBD，AQDDCP， ， ，变式1、（1）证明：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，AB=AD，AE=AG，BAD=EAG=90，BAE+EAD=DAG+EAD，BAE=DAG，BAEDAG（2）解：FCN=45，理由是：作FHMN于H，AEF=ABE=90，BAE+AEB=90，FEH+AEB=90，FEH=BAE，又AE=EF，EHF=EBA=90，EFHABE，FH=BE，EH=AB=BC，CH=BE=FH，FHC=90，FCN=45（3）解：当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，理由是：作FHMN于H，由已知可得EAG=BAD=AEF=90，结合（1）（2）得FEH=BAE=DAG，又G在射线CD上，GDA=EHF=EBA=90，EFHGAD，EFHABE，EH=AD=BC=b，CH=BE，=；在RtFEH中，tanFCN=，当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，tanFCN=【模考链接】1、（1）=5；（2）把APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到ADB，连接PD，则APCADB，AD=AP=3，DB=PC=4，PAC=DAB，DAP=BAC，DAP是等边三角形， PD=3，在DBP中，（3）=22、（1）证明：，又，,.于点，又，（2），.（3）或.3、证明：（1）， ，平分，在ADF和BDF中， ADFBDF. . . 或用“三线合一”（2） 补全图形 数量关系是：. 过点D作交BE于点H，在ADE和BDH中， ADEBDH. ， ，点G与点D关于直线对称，AC垂直平分GD，GDBE，GEDH，四边形GEHD是平行四边形，.或过点D作交AC的延长线于点H.4、解：（1）补全图形如图所示；（2）情况一：证明：如图，AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=45，PD=PC，1=D，ACB=1+2=45，ABC=D+=45，3=2，即ACP=DPB；BC=BP+BE；理由：证明：如图过P作PFPB交BC于F，PFPB，BPF=90，EPPC，EPC=90，4+5=6+5，4=6，PBF=45，PBF=PFB=45，PB=PF，在PBE与PFC中，PBEPFC，BE=FC，BF=BP，BC=BF+FC=BP+BE情况二：如图，PD=PC，PDC=PCD，ABC=ACB=45，3=PDC45，ACP=PCD45，BPD=ACP；如图，过P作PFPB交BC于F，PFPB，BPF=90，EPPC，EPC=90，4+BPC=6+BPC=90，4=6，PBF=45，PBF=PFB=45，PB=PF，在PBE与PFC中，PBEPFC，BE=FC，BF=BP，BC=BFFC=BPBE 5（1）；（2）补全图形证明：如图2，在上截取，连接， （3）求解思路如下：a如图3，过点作于；b由平分，可得；c由，可得， ，；d由（2）知，在中，可求的长度；e在Rt中，由的度数和的的长度，可求的长度。6、解：（1）补全图形，如图1所示. FH与FC的数量关系是：证明：延长交于点G.中，AC=BC，A=B=45.FDE=90,A=AGD=45.AD=DG.点D为AC的中点，AD=DC.DC=DG.DE=DF,DC- DE =DG- DF，即EC =FGEDF =90，1+CFD =90，2+CFD=901 =2 等腰直角三角形，DEF =DFE = 45CEF =FGH = 135 CEF FGH CF=FH (2)求解思路如下：a.画出图形，如图3所示.b.与同理，可证CEF FGH，可得CF=FH；从而得出是等腰直角三角形；c. 作，由可得CP的长； d.在RtCPF中，由,可求CF的长,进而求出的面积.7、 解:(1) 补全图形，如图1所示 图1 和的数量关系：，位置关系：证明: 如图1，射线、的延长线相交于点，四边形