2013年广东省数学理科高考试题及解答.docx

2013年广东省数学理科高考试题及解答1. 选择题：（1） 设集合M=X|x2+2x=0,xR,N=xx2-2x=0,xR。则MN=A0 B.0，2 C.-2，0 D.-2，0.2解：M=-2，0,N=0，+2。MN=-2，0，+2。选D.(2) 定义域为R的四个函y=x3 ，y=2x ,y=x2+1 , y=2sinx 中，奇函数的个数为： A.4. B. 3 C. 2 D. 1 解：y=x3 ，y=2sinx ，是奇函数 。选C(3) 若复数Z满足 iz=2+4i ,则在复平面内，Z对应的点的坐标是： A.(2，4) B .(2，-4) C.(4，-2) D.(4，2) 解：Z=2+4ii= -i2+4ii-i=4-2i . 选C(4) 已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 35 310 110 则x的数学期望E(X)= 解：E(X)= 135+2310+3110=32 选A(5) 某四棱台的三视图为如图1所示，则该四棱台的体积是： A. 4 B. 143 C.163 D .6 解：V=h3 (S上+S下+S上S下 )= 2 3(1+4+2)=143 .选B (6) 设m, n 是两条不同的直线，是两个不同的平面。下列命题中正确的是： A.若 ，m , n ,则mn . B. 若 ，m , n ,则mn . C. 若mn ，m , n ,则 . D. 若m ，mn, n ,则 . 解：D(7) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点F(3，0), 离心率e=32 .则C的方程为： A. X24-Y25=1 B. X24-Y25=1 C. X22-Y25=1 . D. X22-Y25=1 解：c=3, a2+b2=9 选B(8) 设整数n4, 集合X=1，2，3，4，,n,。令集合S=(x,y,z)|x,y,zX,且三条件xyz,yzx,zxy恰有一个成立。若）（x,y,z和（z,w,x）都在S中。则下列选项正确的是： A. (y,z,w)S, (x,y,w)S B。(y,z,w)S (x,y,w)S， C(y,z,w)S (x,y,w)S， D。(y,z,w)S (x,y,w)S，解：作单位圆O,在圆周上取n个点，顺时针记为1,2,3，n.在这n个点中，n4任取三点，顺时针分别记为a,b,c。则a,b,c的大小关系可能有abc, bca, cab.由集合S的定义得：（a,b,c）S 因（x,y,z）S , xyz,yzx,zxy恰有一个成立 （z,w,x）Szwx, wxz, xzw也恰有一个成立。如：xyz成立，则只能wxz, xzw成立。wxyz ,或xyzw 如：yzx成立，则只能zwx成立。yzwx 如：在zxy成立，则只能zwxy. 。wxyz ,或xyzw与yzwx，zwxy.恰为取四点，顺时针分别记为w,x,y,z.的四种读法。顺时针读取的四种读法，这四点中，任取三点的顺时针读取都是符合S的定义的。于是：选B.二填空题： （一）必做题： （9）不等式x2+x-20的解集? 解：x2+x-2=x+2x-10 ,x-2,+1 (10)若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=? 解：yx=1,=k+1x=k+1=0,k=-1 (11)执行如图2所示的程序框图。若输入的n的值为4，则输出的S的值为？ 解：n=4,i=1,s=1.in,s=1,i=2.又24s=2,i=3.34,输出s=7. (12)在等差数列an 中，a3+a8=10,则3a5+a7=? 解：3a5+a7= a5+a5+a5+a7=a4+a5+a6+a7=20 (13)给定区域：D= x+4y4x+y4x0 ,令点集T=(x0,y0)D|x0,y0z, (x0,y0)是z=x+y 在D上取得最大值或最小值得点。则T中的点共确定 条直线 解： z=x+y。y=-x+z为k=-1的直线。z为该直线的纵截距。 D为由点0,1，0，4，（4.0）决定的三角形区域。过（0.1）的直线 取得z的最小值1，过（0.4）的直线取得z的最大值4。共确定2条 直线。(二)选做题： （14）已知曲线C的参数方程为：x=2costy=2sint t为参数，C在点1,1处的切线方程为L 以坐标原点为极点，x轴正向为极轴建立极坐标系，则L的极坐标方程为 。 解： x=2costy=2sint t为参数， 化为x2+y2=2,(1,1)点处的切线为x+y=2 因：cos=xsin=y , cos+sin=2为所求的方程。 （15）如图3.AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D,使BC=CD.过C作圆O的切线交AD于E。若AB=6，ED=2。则BC= . 解：BC=CD=X， ABCCDE。DCED=CBBA ,x2=26. x=BC=23 三解答题： （16）已知函数f(x)=2cos(x-12 ) ,xR。 1.求f(- 6 ) 2.若cos=35 ,(32 , 2 ) 。求：f(2+3 )。 解：1.f(- 6 )= 2cos(- 6 - 12 )= 2cos(- 4 )= 1 2.cos=35 ,(32 , 2 ) cos2=2cos2-1=- 725 Sin2= -2425 2(3 ,4 ) f(2+3 )= 2cos(2+3 - 12 ) = 2cos(2+4) = 2cos2cos4- sin2sin4) = cos2-sin2 = 1725 （17）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图 如图4所示。其中茎为十位数，叶为个位数。 1 | 7, 92 | 0, 1，53 | 01 根据茎叶图计算样本均值。2 日加工零件的个数大于样本均值的工人为优秀工人。根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ 3. 从该车间12名工人中，任取2名。求恰有1名优秀工人的概率。 解：1.根据茎叶图，随机抽取的6名的日加工零件数分别为：17,19,20,21,25 30. 样本均值=17+19+20+21+25+306=22. 2. 随机抽取6名工人中有2名优秀工人，12名工人中有4名优秀工人 3恰有1名优秀工人的概率P= C81C41C122 = 3266=1633 (18) 如图5，等腰直角三角形ABC中，/A = 90 BC=6,D,E分别是AC,AB上的点， CD = BE = 2 ,O是BC中点，将ADE沿DE折起，得到如图6的四棱锥 A，-BCDE。其中A,O=31 证明A,O平面BCDE。2 求两面角A，-CD-B的平面角的余弦值。 解：1. 等腰直角三角形ABC中，/A = 90 BC=6，AB=AC=32 D,E分别是AC,AB上的点，CD = BE = 2 AD=AE=22 将ADE沿DE折起，A,D=A,E=22 连OD,OE。/B = /C =45，OD=OE=2+9-22322 = 5 。A,O=3 ，A,O2+OD2=A,D2 , A,O2+OE2=A,E2 A,OOD, A,OOE，A,O平面BCDE 2.在四棱锥 A，-BCDE的图形上，过O作CD所在直线的垂线OH,H为垂足，连A,H, A,HCD, / A,HO为,两面角A，-CD-B的平面角OH =322 , A,H= 302 , COS / A,HO = 155 (19)设数列an的前n项的和为sn 。已知a1=1 , 2snn= an+1- 13 n2-n- 23 NN* 1.求a2的值 2.求数列 an的通项公式。 3.证明：对一切正整数n,有：1a1+1a2+1a3+1an74 解：1.n=1代入2snn= an+1- 13 n2-n- 23 得：2=a2-13-1-23 a2=4. 2. 2snn= an+1- 13 n2-n- 23 sn=n2 (an+1- 13 n2-n- 23 ) sn=n2 an+1- nn+1(n+2)6 (1) sn-1=n-12an- n-1n(n+1)6 (2) (1)-(2)得：an= n2 an+1- n-12an- n(n+1）2 n+12an+nn+12=n2 an+1 (n+1)an+n(n+1)=n an+1 两边 n(n+1)得： ann +1= an+1n+1 an+1n+1 - ann =1 ann=n , an=n2为所求的通项公式。 3. 1a1+1a2+1a3+1an= 112 +122+132 +1n2 1+ 14+123+134+1n-1n = 54 + (12-13 )+ (13-14 )+ (1n-1-1n ) = 74- 1n 0)到直线L:x-y-2 = 0 的距离为322 。设P为直线L上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB A,B为切点。1. 求抛物线C的方程。2. 当P(x0 ,y0)为直线L上的定点时，求直线AB的方程。3. 当点P在直线L上移动时，|AF|BF的最小值。 解：1.焦点F（0，c）(c0)到直线L:x-y-2 = 0的距离d=|-C-2|2= 322 |C+2|=3 C0 C=1 抛物线C的顶点为原点。其焦点F（0，c） 抛物线C的方程为x2=2py，p2=1，p=2,所求方程为x2=4y 2.设A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ), y= 14 x2 ,y, = 12 x 过A的切线：y- y1= 12 x1(x-x1),化为x1x=2(y1+y) 过B的切线：x2x=2(y2+y) 因两切线过P(x0,y0) x1x0=2(y1+y0)x2x0=2(y2+y0) A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) 满足方程：x0x=2(y0+y) 为所求直线AB的方程。4. A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) 是方程组：x2=4yx0x=2(y0+y)的解。4yx02 = 4(y+y0)2 y2+(2y0- x02)y+y02=0 y1+y2= x02-2y0 (1) y1y2= y02 (2)又抛物线的准线为y = -1 。|AF|=A到准线的距离= y1+1 |BF|=B到准线的距离= y2+1 |AF|BF|=(y1+1)( y2+1) = y1y2+ y1+y2+1 = y02+x02-2y0+1 (x0=y0+2) = y02+(y0+2)2-2y0+1 = 2y02+ 2y0+5 = 2(y0+12 )2+ 92 92 |AF|BF|的最小值为92 。 （21）设函数f(x)=(x-1)ex-kx2 kR 1.当k=1时，求f(x)的单调区间。 2.当k12 , 1时，求函数fx在区间 0, k 上的最大值M。 解：1 。k=1时，f(x)=(x-1) ex-x2 f,x=ex+ (x-1) ex- 2x = x(ex-2) f,x=0, 则 x=0或x=ln2 f,x0, 则 xln2 f,x0, 则 0x0, 则 xln2k f,x0, 则 0x0 k(12 ,1)时，g,kln2k xln2k, k时 fx为增函数 。 f(k)-f(0)= （k-1）ek-k3+1=k-1ek-k2-k-1 其中k-10 , k=1时，f(k)-f(0)= 0 ，这时 f(x)最大= -1 k-10