人教版八年级上数学知识点13.4课堂学习最短路径问题.docx

1、如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（）A50B50C5050D50+50D过B点作BMy轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作ANx轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长解：过B点作BMy轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作ANx轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，过M点作MKx轴，过N点作NKy轴，两线交于K点MK=40+10=50，作BLx轴交KN于L点，过A点作ASBP交BP于S点LN=AS=40KN=60+40=100MN=50MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50四边形PABQ的周长=50+50故选D2、如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A（2，0）B（4，0）C（2，0）D（0，0）C作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐标代入求出解析式是y=x2，把y=0代入求出x即可解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小，A（2，4），C（2，4），设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐标代入得：，解得：k=1，b=2，y=x2，把y=0代入得：0=x2，x=2，即P的坐标是（2，0），故选C3、如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则ECF的度数（）A15B22.5C30D45C过E作EMBC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性求出ACM，即可求出答案解：过E作EMBC，交AD于N，AC=4，AE=2，EC=2=AE，AM=BM=2，AM=AE，AD是BC边上的中线，ABC是等边三角形，ADBC，EMBC，ADEM，AM=AE，E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，ABC是等边三角形，ACB=60，AC=BC，AM=BM，ECF=ACB=30，故选C4、如图，AOB=30，内有一点P且OP=，若M、N为边OA、OB上两动点，那么PMN的周长最小为（）A B 6C D D根据题意画出符合条件的图形，求出OD=OE=OP，DOE=60，得出等边三角形DOE，求出DE=，求出PMN的周长=DE，即可求出答案解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时PMN的周长最小，连接OD，OE，P、D关于OA对称，OD=OP，PM=DM，同理OE=OP，PN=EN，OD=OE=OP=P、D关于OA对称，OAPD，OD=OP，DOA=POA，同理POB=EOB，DOE=2AOB23060，OD=OE=，DOE是等边三角形，DE=，即PMN的周长是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=，故选D5、已知两点M（3，5），N（1，1），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为（）A （，4）B （，0）C （，0）D （，0）C若PM+PN最短，则M、P、N三点共线，根据M、N的坐标，求出MN的解析式，再求出与x轴的交点即可解：PM+PN最短，M、P、N三点共线，M（3，5），N（1，1），设解析式为y=kx+b，把M（3，5），N（1，1）分别代入解析式得，解得，其解析式为y=3x4当y=0时，x=故P点坐标为（，0）故选C6、已知AOB的大小为，P是AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若PEF周长的最小值等于2，则=（）A 30B 45C 60D 90A设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=2可求出的度数解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F此时，PEF的周长最小连接OC，OD，PE，PF点P与点C关于OA对称，OA垂直平分PC，COA=AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得DOB=BOP，PF=DF，OD=OPCOA+DOB=AOP+BOP=AOB=，OC=OD=OP=2，COD=2又PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，OC=OD=CD=2，COD是等边三角形，2=60，=30故选A7、直线L是一条河，P，Q是两个村庄欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A B C D D利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离解：作点P关于直线L的对称点P，连接QP交直线L于M根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短故选D8、已知两点A（3，2）和B（1，2），点P在y轴上且使AP+BP最短，则点P的坐标是（）A （0，）B （0，）C （0，1）D （0，）C根据已知条件和“两点间线段最短”，可知P点是“其中一点关于y轴的对称点与另一点的连线和y轴的交点”解：根据已知条件，点A关于y轴的对称点A为（3，2）设过AB的解析式为y=kx+b，则3k+b=2；k+b=2解得k=1，b=1那么此函数解析式为y=x1与y轴的交点是（0，1），此点就是所求的点P故选C9、如图，在RtABC中，ACB=90，ABC=60，BC=4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF=_；（2）若D是BC边上一动点，则EFD的周长最小值是_2；2+2（1）根据E是AB边的中点，F是AC边的中点可以得到EF为三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的长即可；（2）根据对称点的性质，延长FC到P，使FC=PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED+FD最小，即EDF的周长最小，求出EP长，即可求出答案解：（1）E是AB边的中点，F是AC边的中点，EF为ABC的中位线，BC=4，EF=BC=4=2；（2）延长FC到P，使FC=PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED+FD最小，即EDF的周长最小，EF为ABC的中位线，EFBC，C=90，EFC=90，FC=PC=AC=2，在RtEFP中，EP=2，EDF的周长为：EF+FD+ED=2+ED+PD=2+EP=2+2，故答案为：2；2+210、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m，m）（m为非负数），则CA+CB的最小值是_2分别得到点C的坐标所在直线，点A关于点C的坐标所在直线的对称点的坐标A所在直线AA的解析式，求得两条直线的交点，进一步得到A点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求解解：如图所示：点C的坐标为（m，m）（m为非负数），点C的坐标所在直线为y=x，点A关于直线y=x的对称点的坐标为A，则AA所在直线为y=x+b，把点A的坐标（ 2，0 ）代入得2+b=0，解得b=故AA所在直线为y=x联立C的坐标所在直线和AA所在直线可得，解得，C的坐标所在直线和AA所在直线的交点M的坐标为（，），点A关于直线y=x的对称点的坐标为（1，），AB=2，即CA+CB的最小值故答案为：211、如图，在锐角ABC中，AB=4，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_4从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BEBAC的平分线交BC于点D，EAM=NAM，在AME与AMN中，AMEAMN（SAS），ME=MNBM+MN=BM+MEBEBM+MN有最小值当BE是点B到直线AC的距离时，BEAC，又AB=4，BAC=45，此时，ABE为等腰直角三角形，BE=4，即BE取最小值为4，BM+MN的最小值是4故答案为：412、如图，锐角三角形ABC中，C=45，N为BC上一点，NC=5，BN=2，M为边AC上的一个动点，则BM+MN的最小值是_先作点N关于AC的对称点N，由两点之间线段最短可知BN即为BM+MN的最小值，根据对称的性质可知NC=NC=5，BCN=90，再利用勾股定理即可求出BN的长解：如图所示，先作点N关于AC的对称点N，由两点之间线段最短可知BN即为BM+MN的最小值，根据对称的性质可知NC=NC=5，ACB=ACN=45，即BCN=90，在RtBCN中，BN=故答案为：13、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于_米7当ABP构成三角形时，AP与BP的差小于第三边AB，所以当ABP在同一直线上时，PA与PB之差最大=AB=7解：当A、B、P三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形两边AP与BP的差小于第三边ABA、B、P在同一直线上，P到A的距离与P到B的距离之差最大，这个差就是AB的长，故答案为：714、如图，ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为_作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CNAB于N，根据三线合一定理求出BD的长和ADBC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性质求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF，即可得出答案解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CNAB于N，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，BD=DC=5，ADBC，AD平分BAC，M在AB上，在RtABD中，由勾股定理得：AD=12，SABC=BCAD=ABCN，CN=，E关于AD的对称点M，EF=FM，CF+EF=CF+FM=CM，根据垂线段最短得出：CMCN，即CF+EF，即CF+EF的最小值是，故答案为：15、如图，RtABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是_2要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解解：如图，连接BE，则BE就是PA+PE的最小值，RtABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，CE=2cm，BE=2，PA+PE的最小值是2故答案为：216、已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走_米1300在CD边上找一点M，使AM和BM的和最小，延长BD到E点，使BD=DE，连接AE交CD边于点M，过点E作ENAC于点N，则AE为所求的长即牧童最少要走的距离解：点B关于CD的对称点E，由对称的性质可知，BD=ED，EDM=MDB，DM=DM，MDEMDB，BM=ME，BM+AM=ME+AM=AE，即AE为牧童要走的最短路程EN=CD=500米，AN=NC+AC=700+500=1200米，在RtANE中，AE=1300米故牧童至少要走1300米17、如图，已知ABAD，CDAD，垂足分别为A、D，AD=6，AB=5，CD=3，P是线段AD上的一个动点，设AP=x，DP=y，则a的最小值是_10首先确定当BPC三点在同一直线时，a的值最小然后根据相似三角形的性质计算解：由题意可得，当BPC三点在同一直线时，a的值最小则ABPDCP，x=，y=，则a的最小值是1018、已知如图所示，MON=40，P为MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当PAB的周长取最小值时，APB的度数为_100作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时PAB的周长最小，再由四边形内和定理即可求出答案解：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时PAB的周长最小，由题意可知P1PP2=180MON=18040=140，P1PA+P2PB=P1+P2=180P1PP2=40，APB=14040=100故答案为：10019、如图，在ABC中，AC=BC=2，ACB=90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_首先确定DC=DE+EC=DE+CE的值最小然后根据勾股定理计算解：过点C作COAB于O，延长CO到C，使OC=OC，连接DC，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC=DC的值最小连接BC，由对称性可知CBE=CBE=45，CBC=90，BCBC，BCC=BCC=45，BC=BC=2，D是BC边的中点，BD=1，根据勾股定理可得DC=故答案为：20、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马）（保留作图痕迹，需要证明）解：沿ACCDDB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，A、E关于ON对称，AC=EC，同理BD=FD，FR=BR，AT=ET，AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，AT+TR+BR=ET+TR+FR，ET+TR+FREF，AC+CD+DBAT+TR+BR，即沿ACCDDB路线走是最短的路线作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF交ON于C，交OM于D，连接AC、BD，即可得出答案；根据对称点推出AC=EC，BD=FD，FR=BR，AT=ET，根据两点之间线段最短即可求出答案21、已知：如图所示，（1）作出ABC关于y轴对称的ABC，并写出ABC三个顶点的坐标（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小解：（1）分别作A、B、C的对称点，A、B、C，由三点的位置可知：A（1，2），B（3，1），C（4，3）（2）先找出C点关于x轴对称的点C（4，3），连接CA交x轴于点P，（或找出A点关于x轴对称的点A（1，2），连接AC交x轴于点P）则P点即为所求点（1）根据轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点A、B、C，分别连接各点即可；（2）先找出C先找出C点关于x轴对称的点C（4，3），连接CA交x轴于点P，则点p即为所求点22、如图，ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得PMN的周长最短 （写出作法，保留作图痕迹）解：作点N关于BC的对称点N，连接MN交BC于点P，由对称的性质可知PN=PN，故PN+PM=MN，由两点之间线段最短可知，PMN的最短周长即为MN+MN作点N关于BC的对称点N，连接MN交BC于点P，由两点之间线段最短可知P点即为所求点23、作图题：（写出作法，保留作图痕迹）M、N为ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使PMN周长最小？作法：（1）作M关于BC的对称点M（2）连接MN交BC于P点（3）连线MP，则PMN周长最小 P为所求作的点由于PMN的周长=PM+PN+MN，而MN是定值，故只需在BC上找一点P，使PM+PN最小如果设M关于BC的对称点为M，使PM，+PN最小24、已知：如图所示，M（3，2），N（1，1）点P在y轴上使PM+PN最短，求P点坐标 解：根据题意画出图形，找出点N关于y轴的对称点N，连接MN，与y轴交点为所求的点P，N（1，1），N（1，1），设直线MN的解析式为y=kx+b，把M（3，2），N（1，1）代入得：，解得，所以y=x，令x=0，求得y=，则点P坐标为（0，）找出点N关于y轴的对称点，连接M与对称点，与y轴的交点为P点，根据两点之间，线段最短得到此时点P在y轴上，且能使PM+PN最短根据关于y轴对称点的特点，找出N对称点的坐标，设出直线MP的方程，把N的对称点的坐标和M的坐标代入即可确定出直线MP的方程，然后令x=0求出直线与y轴的交点，写出交点坐标即为点P的坐标25、已知：如图，在POQ内部有两点M、N，MOP=NOQ（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系解：（1）如图所示画法：作点M关于射线OP的对称点M，连接MN交OP于点A作点