函数与导数练习题.doc

精品1、已知函数R （1）求函数的导函数； （2）当时，若函数是R上的增函数，求的最小值； （3）当时，函数在（2，+）上存在单调递增区间，求的取值范围.2、已知（）（）求函数的单调递减区间；（）当时，若对有恒成立，求实数的取值范围3、已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （）求的单调区间； （）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；4、已知函数的图象过点，且在内单调递减，在上单调递增。 （1）求的解析式；（2）若对于任意的，不等式恒成立，试问这样的是否存在.若存在，请求出的范围，若不存在，说明理由；5、已知函数在点处的切线斜率为，且 ()证明：； ()证明：函数在区间内至少有一个极值点. 6、已知函数在区间1，1上最大值为1，最小值为2。 （1）求的解析式； （2）若函数在区间2，2上为减函数，求实数m的取值范围。7、已知函数（，实数，为常数）（1）若（），且函数在上的最小值为0，求的值；（2）若对于任意的实数，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大值h(n)8、设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围9、已知是函数的一个极值点。（）求； （）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。10、已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（）求函数的另一个极值点；（）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围11、设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1）处的切线垂直于y轴.（）用a分别表示b和c；（）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.12、已知函数.（）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(nN*)在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.13、已知是实数，函数。（）求函数的单调区间；（）设为在区间上的最小值。（i）写出的表达式；（ii）求的取值范围，使得。14、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短课后练习：1、设函数fn(x)=n2x2(1x)n(n为正整数)，则fn(x)在0,1上的最大值为( )A.0B.1C. D.2、函数f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的单调区间_.3、在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.4、设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.5、设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.6、已知a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证：.7、设关于x的方程2x2ax2=0的两根为、(),函数f(x)=.(1)求f()f()的值；(2)证明f(x)是，上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间，上的最大值与最小值之差最小？8、已知函数，（）若函数在处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；（）设，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围9、已知函数，其中（1）求函数的零点； （2）讨论在区间上的单调性； （3）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由10、已知是实数，函数如果函数在区间上有零点，求的取值范围4、（1），由题设可知：即sin1 sin=1. 从而a= ，f(x)= x3+x22x+c,而又由f(1)= 得c=.f(x)= x3+x22x+即为所求. (2)由=（x+2）（x1），易知f(x)在(,2)及(1,+)上均为增函数，在(2,1)上为减函数. 当m1时，f(x)在m,m+3上递增,故f(x)max=f(m+3), f(x)min=f(m)由f(m+3)f(m)= (m+3)3+(m+3)22(m+3)m3m2+2m=3m2+12m+，得5m1.这与条件矛盾，故 当0m1时，f(x)在m,1上递减, 在1,m+3上递增f(x)min=f(1), f(x)max=max f(m),f(m+3) ,又f(m+3)f(m)= 3m2+12m+=3(m+2)20(0m1)f(x)max= f(m+3)|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min= f(m+3)f(1)f(4)f(1)= 恒成立. 故当0m1时，原不等式恒成立.综上，存在m且m0,1合题意.5、解：() 又结合得。由得， ()由得1当时，且在区间内至少有一个极值点.2当0 ，且在区间内至少有一个极值点。综合1和2得，函数在区间内至少有一个极值点. 6、（1）（a1）所以上单调递增，在上单调递减，所以上的最大值为，最小值为。因为，所以，即。所以的解析式为。（2）由题意得。即解得实数m的取值范围为：。7、解：（1）当时，则令，得（舍）， 当1时，1-0+当时, 令，得 当时，0在上恒成立，在上为增函数，当时, 令，得（舍） 综上所述，所求为 (2) 对于任意的实数，在区间上总是减函数，则对于x(1,3)，0， 在区间1,3上恒成立 设g(x)=，g(x)在区间1,3上恒成立由g(x)二次项系数为正，得即即 =， 当n6时，m，当n6时，m， 当n6时，h(n)= ，当n6时，h(n)= ， 即 8、（）2分当（）时，即；当（）时，即因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数（）令，则故当时，又，所以当时，即当时，令，则故当时，因此在上单调增加故当时，即于是，当时，当时，有因此，的取值范围是9、（1），因为是一个极值点，所以。（2）令，在上单调递减。（3）若直线与函数的图象有3个交点，则，解得的取值范围为：。10、解析：（） 由题意知， 由，由韦达定理得另一个极值点为（或） （）由得，即。当时，；当时， ）当时，在和内是减函数，在内是增函数， 及得）当时，在和内是增函数，在内是减函数， ，恒成立综上所述，所求的取值范围为。11、解：()因为又因为曲线通过点（0，2a+3）, 故又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故 即-2a+b=0,因此b=2a. ()由()得故当时，取得最小值-.此时有从而所以令，解得当当当由此可见，函数的单调递减区间为（-，-2）和（2，+）单调递增区间为（-2，2）.12、()证明：因为所以=x2+2x, 由点在函数y=f(x)的图象上,又所以 所以,又因为(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f(x)的图象上.()解:,由得.当x变化时,的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值.13、（）解：函数的定义域为，（）若，则，有单调递增区间若，令，得，当时，当时，有单调递减区间，单调递增区间（）解：（i）若，在上单调递增，所以若，在上单调递减，在上单调递增，所以若，在上单调递减，所以综上所述， （ii）令若，无解若，解得若，解得故的取值范围为14、（I）由条件可知PQ垂直平分AB，则故，又，所以。，则，所以，所以所求的函数关系式为。（I） 选择函数模型。令得，又，所以。当时，是的减函数；时，是的增函数。所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。课后练习1.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1答案：D2、解析：函数的定义域是x或x2,f(x)=.(3x2+5x2)=,若a1,则当x时，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函数f(x)在(,+)上是增函数，x2时，f(x)0.函数f(x)在(,2)上是减函数.若0a1,则当x时，f(x)0,f(x)在(,+)上是减函数，当x2时，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数。 答案：(,2)3.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为S=xh=从而令S=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：h(0,R)R(,2R)S+0S增函数最大值减函数由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大. 答案：R4、解：f(x)=3ax2+1，若a0,f(x)0对x(,+)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾. 若a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a0,f(x)=3a(x+)(x),此时f(x)恰有三个单调区间.a0且单调减区间为(,)和(,+)，单调增区间为(, ).5.解：f(x)=+2bx+1 ，(1)由极值点的必要条件可知：f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程组可得a=,b=,f(x)=lnxx2+x(2)f(x)=x-1x+1,当x(0,1)时，f(x)0,当x(1,2)时，f(x)0,当x(2,+)时，f(x)0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值ln2.6.证法一：bae,要证abba,只要证blnaalnb,设f(b)=blnaalnb(be),则f(b)=lna.bae,lna1,且1,f(b)0.函数f(b)=blnaalnb在(e,+)上是增函数，f(b)f(a)=alnaalna=0,即blnaalnb0,blnaalnb,abba.证法二：要证abba,只要证blnaalnb(eab,即证,设f(x)=(xe)，则f(x)=0,函数f(x)在(e,+)上是减函数，又eab,f(a)f(b),即,abba.7.解：(1)f()=,f()= ,f()=f()=4(2)设(x)=2x2ax2,则当x时，(x)0, 函数f(x)在(，)上是增函数(3)函数f(x)在，上最大值f()0,最小值f()0,|f()f()|=4,当且仅当f()=f()=2时，f()f()=|f()|+|f()|取最小值4，此时a=0,f()=2。9、解：（1）函数的零点即方程0的解。由得 函数的零点为。（2）函数在区间上有意义，令得 。当在定义域上变化时，的变化情况如下：在区间上是增函数。在区间上是减函