直接证明与间接证明练习题.doc

2、直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2. 分析法 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立题型一：用综合法证明数学命题 例1 ：对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明； 解析：（1）取可得 又由条件，故 （2）显然在0，1满足条件； 也满足条件若，则 ，即满足条件， 故理想函数 注：紧扣定义，证明函数（）满足三个条件题型二：用分析法证明数学命题例2：已知：，求证：.证明： 要证 ，去分母后需要证：（1a）+4a9a（1a），移项合并同类项，即需要证：96a+10，即要证；（1）而（1）式显然成立， 原不等式成立。题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3 ：已知，证明方程没有负数根解析：假设是的负数根，则且且，解得，这与矛盾，故方程没有负数根注：（1）凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难，适宜用反证法。即 “正难则反”；（2）反证法步骤：假设结论不成立推出矛盾假设不成立。选择题1.用反证法证明命题：若整系数方程有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）.A、假设都是偶数B、假设都不是偶数C、假设中至多有一个偶数D、假设中至多有两个偶数ABCxyPOFE答案；B2若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定答案： B3.已知，则使得都成立的取值范围是（ B ）A.（0，） B（0，）C. （0，） D. （0，）提示；x（0，），由得出结论。填空题4若，则=_.答案：5005. 如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： ( )。答案：1234567891011121314156将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 答案：。解答题7. 若且，求证：解析要证，只需证即，因，只需证即，设，则成立，从而成立8.在锐角三角形中,求证:解析为锐角三角形，在上是增函数，同理可得，9. 设为非零向量，且不平行，求证，不平行解析假设，则，不平行，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立10. 已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、不可能成等差数列解析 a、b、c成等差数列，假设、成等差数列，则，从而与矛盾，、不可能成等差数列11. 已知证明： 解析 即证： 设.当x（-1，0）时，k(x)0，k(x)为单调递增函数；当x（0，）时，k(x)0，k(x)为单调递减函数；x=0为k(x)的极大值点，k(x)k(0)=0.即12. 已知函数， 的最小值恰好是方程的三个根，其中求证：；解析 三个函数的最小值依次为， 由，得 ，故方程的两根是，故， ，即 改变后直接证明与间接证明1.用反证法证明命题：若整系数方程有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）.A、假设都是偶数B、假设都不是偶数C、假设中至多有一个偶数D、假设中至多有两个偶数 2若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 3若，则=_. 4 . 若且，求证： 5.在锐角三角形中,求证: 6. 设为非零向量，且不平行，求证，不平行 7. 已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、不可能