杨辉三角（3）.doc

研究性课题：杨辉三角教学目标(一)教学知识点1.理解杨辉三角的性质2.掌握有关杨辉三角的基本性质.(二)能力训练要求会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦.2.培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想，相信科学.教学重点杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的.教学难点杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。教学方法由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，所以学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与.教具准备实物投影仪(多媒体课件)教学过程.课题导入上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质，杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质.讲授新课一般的杨辉三角如下表. 其中.在杨辉三角的第2行，第3行，第5行，第7行中，除去两端的数学1以外，这些数学与各自的行数(2，3，5，7)之间有什么联系？(学生在自己的座位上，分别写出第2、3、5、7行的数字，并比较它们与各自行数的关系，有的学生开始与其他同学讨论，有的同学试图想推广到一般情形.课堂内的气氛是很活跃的，学生的主动探索、积极合作正是我们教学改革所追求的最高目标之一)生第2行数字(除两端1外)是2；第3行数字(除两端1外)是3，3；第5行数字(除两端1外)是5，10，10，5；第7行数字(除两端1外)是7，21，35，35，21，7，第2行的数2能被2整除，第3行的两个3都能被3整除；第5行的四个数都能被5整除；第7行的6个数都能被7整除.用文字语言概括为：这些数字都能被各自的行数整除.师总结概括地很好！你们能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数p是一个什么样的数？(学生开始在杨辉三角中接着往下写他们排出第9、10、11、12、13、14、15、16、17等各行的数字，然后他们再找这种类似的规律)生我经过计算第11、13、17行中，除去两端的数字1以外，行数11、13、17整除所在行的其余的所有数.一般地规律我没有找到.师同学们，这位同学找的对吧？众生(齐声回答)：对！师你们能否找到一般规律呢？生甲奇数行中的数字都具有这种规律.生乙不对，第2行中的数字具有这种性质，但2是偶数，所以你的规律是不对的.由于2，3，5，7，11，13，17这些数字都是素数，所以，我可以猜想；如果p是素数，那么在杨辉三角的第p行中，除去两端的数字1外，行数整除其余的所有的数.师你们能证明这个猜想吗？(稍等片刻，留给学生一定的思考时间和空间)生丙由的计算公式可知：我们的目标是要证明p能够整除(r=1，2，3，4，p1)，将r=1，2，3，代入检验可知.都是整数，所以p能整除.生丁你利用代入检验，必定是有限步骤，而不是一般的方法.我认为要用数论中的质因数分解定理，证明，是个整数.师你的思路是正确的，请同学们课后去证明这一猜想：即杨辉三角的性质6：如果p是素数，那么在杨辉三角的第p行中，除去两端的数字1外，行数p整除其余的所有的数，即p| (r=1，2，p1).师如图(打出幻灯片)(幻灯片显示)我们从杨辉三角中一个确定的数开始(例如10)，根据杨辉三角的基本性质，它是它左右肩上的两数之和(10=4+6)；然后把左肩固定而考虑右肩，它又是它左右肩上的两数的和(6=3+3).这样进行下去，总是把左肩固定而对右肩运用这一规则，我们便可以得出：杨辉三角中，从一个数的“左肩”出发，向右上方作一条和左斜边平等的直线，位于这条直线上的各数的和等于这个数.图中所表示的就是10=4+6=4+(3+3)=4+3+(2+1)，即1+2+3+4=10.你们能将这个规律推广吗？生将上面的规律推广，我们可以得到：在杨辉三角中，第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数.师根据这一性质，请猜想下列数列的前n项和：1+1+1+1= ，1+2+3+ = ，1+3+6+= ，1+4+10+= ，生第1个结果是n，第二个是1+2+3+(n1)=第三个是：.第四个是4师上述四个和式是刚才我们推广结论的特例，你们能用和式写出上述等式吗？生一般地，我们有：.师你们有哪些方法可以证明它呢？生我可以用数学归纳法证明它.师证明时，n所取的第一个值n0应该为多少？生1当n0=1，这时m=0，于是有.所以等式成立.生2对于没有定义，所以不能取n0=1，而应该取n0=2，m=1左边=，右边=.所以等式成立.师对！最好是取n0=2才有意义，避免争议.生1假设当n=k时等式成立，即.那么当n=k+1时，.n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知，等式对于一切大于1的自然数n都成立.师这样证明过程就完善了.这里主要是运用组合数性质或杨辉三角基本性质来证明.生3不用数学归纳法，就直接使用组合数的性质进行证明，对于任意的自然数n(n1)，m是给定的且小于n的正整数，只要经过有限步的变换就可以了.事实上，因为故等式成立.由于n是任意的大于1的自然数.所以猜想完全正确.生4我是构造二项式求和，比较系数可求证明它.事实上：(1+x)m+(1+x)m+1+(1+x)m+2+(1+x)n1的展开式中xm项的系数之和为.又因为：(1+x)m+(1+x)m+1+(1+x)m+2+(1+x)n1=，展开式中xm项的系数就是右式分子展开式中的xm+1项的系数.由比较法知：.师好！这个证明方法利用比较法和构造法，将二项式定理与杨辉三角再次联系在一起.这样，我们就探索了三种证明方法.师如图的斜线中，前几行数字的和已经在行末标出，请你在“?”处标出其余各行的和，仔细观察这些和，你能发现什么规律吗？生前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144.根据这些数的规律，任何一个数都等于它前面的两个数之和，即an+2=an+1+an，a1=a2=1，(nN*).(幻灯片显示)师请大家回忆一下，这个数列是什么样数列？生这种数列是斐波那契数列.师你能求出它的通项公式吗？生用特征方程根求出它的通项公式.事实上，因为an+2=an+1+an的特征方程是x2x1=0，其根为x1，2=.an的通项公式设为an=c1x1n+c2x2n即an=c1()n+c2()n(c1，c2是待定系数)a1=1，a2=1，得：c1()2=1c1=.c2=(nN*).斐波那契数列a1=1，a2=1，an+2=an+an+1，它的通项公式为(nN*)师完全正确.斐波那契数列所具有的性质都是杨辉三角中有蕴含的性质，请同学们课后接着研究.事实上，许多重要的数学公式都跟组合数有关，因此，适当记住杨辉三角的一部分，对于发现某些数学法则是不无帮助的.对于杨辉三角的构成，还有一种有趣的看法：(打出幻灯片或多媒体，显示如图).如图28，在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块，在它们中间留下一些通道，从上面的漏斗直通到下面的长方形框子，前面用一块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层(有几个竖直通道就算第几层)的六棱柱上面，以后，落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再以后，它又会落到下一层的三个通道之一里边去依此类推，最终落到最下边的长方形框子里.假设我们总共在木板上做了n+1层通道，在顶上的漏斗里一共放了颗弹子，让它们自由落下，落到下边n+1个长方形框子里，那么落在每个长方形的框子中的弹子的数目(按照可能情形来计算)会是多少？你能用学过的排列、组合与概率的知识来解释这一现象吗？(以上都用幻灯片显示).(学生讨论，教师巡视并参与讨论，课堂气氛很活跃而高涨).生把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六棱柱上面以后，落到第二层中间一个六棱柱的左边或右边两个竖直通道里去.再以后，它不会落到下一层的三个竖直通道之一里去.这时，如果要弹子落在最左边的通道里，那么它一定是从上一层左边的通道里落下来才行(1个可能情形)；同样，如果要它落在最右边的通道里，它也非要从上一层的右边通道里落下来不可(1个可能情形)；而要它落在中间的通道里，那么无论它从上一层的左边或右边落下来都行(2个可能情况).这样一来，弹子落在第三层的三个通道里就分别有1，2，1个可能情形，概率分别为，不难看出，落到第四层的四个通道分别有1，3，3，1个可能情形，概率分别为，类推下去，很容易发现，弹子落到第n+1层各个框子里的概率分别为.因此，如果在漏斗里放颗弹子，它们落在第n+1层中各个框子中弹子的数目(按可能情形来计算)正好是杨辉三角的第n行.师该同学解释地非常好，请同学们要多向他学习，要能灵活运用所学知识解决有关问题.课堂练习1.如图29，将圆珠堆成三角垛，底层每边为n个，向上逐层每边减小1个，顶层是1个.容易看出，当n=1，2，3，4，时，三角垛中的圆珠总数分别为1，4，10，20，.根据前面的结论，这样的一个n层的三角垛中的圆珠总数是1+3+6+n(n+1)(n+2).用数学归纳法证明这一结论.图29提示：(1)当n=1时，左边=1，右边=1(1+1)(1+2)=123=1即等式成立；(2)假设当n=k(k1)时等式成立，即1+3+6+.当n=k+1时，1+3+6+当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，等式对一切nN*都成立.另法：.左边=.(注：这里运用了).2.将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个只由单位分数(分子为1的分数)组成的三角形.这个三角形最早是由德国数学家莱布尼茨(Leibniz)作出，所以叫做莱布尼茨单位分数三角形，或简称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形有许多跟杨辉三角类似的性质.例如，杨辉三角中，除1以外的每一个数，都等于它肩上的两个数字相加.在莱布尼茨三角形中，有什么类似性质？你能证明你的猜测吗？提示：莱布尼茨三角形中每一个数，等于其“脚下”两数的和，例如：，等等.一般情况是：.证明：右边=.课时小结师本节课主要是研究了杨辉三角的有关性质，请同学们总结一下：生(6)如果p是素数，那么在杨辉三角的第p行中，除去两端的数字1之外，行数p整除其余的所有的数，即若p是素数，则p|(r=1，2，p1).(7) (nm).(8)a1=1，a2=1，an+2=an+an+1.斐波那契数列，通项公式an=.(9)如果在漏斗里放颗弹子，它们落在第n+1层中各个框子中弹子的数目(按可能情形来计算)正好是杨辉三角的第n行的数字，即，.课后作业1.性质(8)中，计算，a5，a10，a15，a20的值，你能总结一般规律吗？并证明你的结论.提示：斐波那契数列的前20项是，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，600，977，1577，2554，4131，6685.a5=5，a10=55，a15=600，a20=6685.这四个数都能被5整除，猜想：a5n都是5的倍数.(nN*).证明方法有两种：一是数学归纳法；二是递推法