初二数学竞赛知识点2017.10.13.docx

初二数学竞赛知识汇总第1讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示设a为实数，则绝对值的性质：绝对值最小的实数是0若a与b互为相反数，则|a|b|；若|a|b|，则ab对任意实数a，则|a|a， |a|a|ab|a|b|，(b0)|a|b|ab|a|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数，则0（n为自然数），当n1时，0（3）算术平方根是非负数，即 0，其中a0. 算术平方根的性质： （a0） 2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；4、推广到的化简；5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。第2讲 实数（二） 【知识梳理】一、实数的性质1、设x为有理数，y为无理数，则xy，xy都为无理数；当x0时，xy，都是无理数；当x0时，xy， 就是有理数了；2、若x、y都是有理数，是无理数，则要使0成立，须使xy0;3、若x、y、m、n都是有理数，都是无理数，则要使成立，须使xy，mn二、实数大小的比较常用方法：直接法、利用数轴比较、平方法、同次根式下比较被开方数法、作差法、作商法三、证明一个数是有理数的方法：证明这个数是一个有限小数或无限循环小数，或可表示成几个有理数的和、差、积、商的形式。第3讲 平面直角坐标系、函数【知识梳理】1、平面直角坐标系：是在数轴的基础上，为了实际问题的需要而建立起来的。是学习函数的基础，数形结合是本节最显著的特点。2、坐标平面内任意一点P，都有唯一的一对有序实数（x，y）和它对应；反过来，对于任何一对有序实数（x，y），在平面内都有唯一的点P和它对应。与点P相对应的有序实数对（x，y）叫做点P的坐标。3、平面直角坐标系内的点的特征（1）若点P（x，y）在第一象限内；（2）若点P（x，y）在第二象限内（3）若点P（x，y）在第三象限内 ；（4）若点P（x，y）在第四象限内（5）若点P（x，y）在x轴上 ；（6）若点P（x，y）在y轴上4、对称点的坐标特征（1）点P（x，y）关于x轴对称（或成轴反射）的点的坐标为P（x，y）（2）点P（x，y）关于y轴对称（或成轴反射）的点的坐标为P（x，y）（3）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为P（x，y）5、函数的有关定义（1）函数的定义、在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于每一个x确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则x是自变量，y是的函数。（2）函数关系式、用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称函数解析式。6、函数自变量的取值范围、自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以（1）使分母不为零；（2）开平方时被开方数为非负数；（3）为整式时其自变量的范围是全体实数；另外，当函数关系表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。第4讲 一次函数（一） 【知识梳理】一、一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成ykxb（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b0时，称y是x的正比例函数.二、一次函数的图象：由于一次函数ykxb（k，b为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数ykxb的图象也称为直线ykxb由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点、直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数ykx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.三、一次函数ykxb（k，b为常数，k0）的性质：（1）k的正负决定直线的倾斜方向；k0时，y的值随x值的增大而增大；kO时，y的值随x值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；当b0时，直线与y轴交于正半轴上；当b0时，直线与y轴交于负半轴上；当b0时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图1118（1）所示，当k0，b0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；如图1118（2）所示，当k0，bO时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图1118（3）所示，当kO，b0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图1118（4）所示，当kO，bO时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线yx1可以看作是正比例函数yx向上平移一个单位得到的四、正比例函数ykx（k0）的性质：（1）正比例函数ykx的图象必经过原点；（2）当k0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（3）当k0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小五、用函数的观点看方程与不等式：（1）方程2x200与函数y2x20观察思考、二者之间有什么联系？从数上看：方程2x200的解，是函数y2x20的值为0时，对应自变量的值从形上看：函数y2x20与x轴交点的横坐标即为方程2x200的解关系、由于任何一元一次方程都可转化为kxb0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为、当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线ykxb确定它与x轴交点的横坐标值（2）解关于x、y的方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线ykxb与ymxn的交点坐标。两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。（3）解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围解关于x的不等式kxbmxn可以转化为：当自变量x取何值时，直线y（km）xbn上的点在x轴的上方，或（2）求当x取何值时，直线ykxb上的点在直线ymxn上相应的点的上方（不等号为“”时是同样的道理）第6讲：全等三角形【知识梳理】1、全等三角形：全等三角形、能够完全重合的两个三角形。2、全等三角形的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”3、 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。（2）全等三角形的周长、面积相等。4、全等三角形常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答第7讲：直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理逆定理二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余2、直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c25.直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响在ABC中，(1)若c2a2b2，则C90；(2)若c2a2b2，则C90；(3)若c2a2b2，则C90勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2那么这个三角形是直角三角形6、勾股数的定义：如果三个正整数a、b、c满足等式a2b2c2，那么这三个正整数a、b、c叫做一组勾股数。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。第9讲 竞赛中整数性质的运用【知识梳理】1、完全平方数的末位数若a是整数，则称为完全平方数。定理1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。推论：凡末位数是2，3，7，8的自然数一定不是完全平方数。定理2：奇数的平方的十位数字必是偶数。推论：十位数字是奇数的完全平方数一定是偶数。定理3：连续的10个自然数的平方和的末位数都是5。2、连续自然数乘积的末位数定理4：两个连续自然数乘积的末位数只能是0，2，6；3个连续自然数乘积的末位数只能是0，4，6；4个连续自然数乘积的末位数只能是0，4；5个或5个以上连续自然数乘积的末位数都是0。3、末位数的运算性质定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即， ，其中a和b都是自然数利用末位数的性质，可以使一些看上去很困难的问题得以顺利解决。4、数的整除的判定法则（1）末两位数能被4（或25）整除的整数能被4（或25）整除。（2）末三位数能被8（或125）整除的整数能被8（或125）整除。（3）一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除，则这个数能被11整除。（4）奇位千进位的总和与偶位千进位的总和之差能被7或11或13整除，则这个数能同时被7，11，13整除。5、带余除法两个整数的和、差、积仍是整数，即整数中加、减、乘运算是封闭的，但用一非零整数去除另一整数，所得的商未必是整数。一般地，a、b为两个整数，则存在惟一的整数对q和r，使得abqr。这里，特别是当，则称当，则称b 不整除 a，q称为a被b除时所得的不完全商；r称为a被b除时所得的余数。第10讲 不定方程与应用【知识梳理】1、整系数方程有整数解的充分而且必要条件是a与b的最大公约数d能整除c。这个结论告诉我们，若dc,则原方程有整数解，若d不c，则原方程没有整数解。2、若（a,b）1（即a与b互质），、为二元一次整系数不定方程的一组整数解（也称为特解），则的所有解（也称通解）为 其中t为任意整数。我们称这种解法为特解法。如 13x30y4 （13、30）1 则是整数，观察得整数解，其全部解其他某些不定方程可经过转化后根据上述定理求解3、递推法。第11讲：因式分解的方法【知识梳理】一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。其中每一个整式叫做积的因式。二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。2、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的