2012届高考数学知识导航不等式复习教案.doc

2012届高考数学知识导航不等式复习教案高考导航考试要求重难点击命题展望1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.|ab|a|b|；|ab|ac|cb|.2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|axb|c或|axb|c，以及|xa|xb|c或|xa|xb|c类型.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法.4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题.5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2b2)(c2d2)(acbd)2、向量形式| | |、一般形式 ，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用.7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用.本章难点：三个正数的算术几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式.本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求.知识网络 18.1 绝对值型不等式典例精析题型一 解绝对值不等式 【例1】设函数f(x)|x1|x2|.(1)解不等式f(x)3；(2)若f(x)a对xR恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)|x1|x2| 所以当x1时，32x3，解得x0；当1x2时，f(x)3无解；当x2时，2x33，解得x3.所以不等式f(x)3的解集为(，0)(3，).(2)因为f(x) 所以f(x)min1.因为f(x)a恒成立，所以a1，即实数a的取值范围是(，1).【变式训练1】设函数f(x)|x1|x2|a.(1)当a5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.【解析】(1)由题设知|x1|x2|50，如图，在同一坐标系中作出函数y|x1|x2|和y5的图象，知定义域为(，23，).(2)由题设知，当xR时，恒有|x1|x2|a0，即|x1|x2|a，又由(1)知|x1|x2|3，所以a3，即a3.题型二 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f(x)|x1|x2|，若不等式|ab|ab|a|f(x)对a0，a、bR恒成立，求实数x的范围.【解析】由|ab|ab|a|f(x)且a0得|ab|ab|a|f(x).又因为|ab|ab|a|abab|a|2，则有2f(x).解不等式|x1|x2|2得12x52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x1|x3|a4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是 .【解析】(，0)2.题型三 利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果 xR，f(x)2，求a的取值范围.【解析】(1)当a1时，f(x)|x1|x1|.由f(x)3得|x1|x1|3，当x1时，不等式化为1x1x3，即2x3，不等式组 的解集为(，32；当1x1时，不等式化为1xx13，不可能成立，不等式组 的解集为 ；当x1时，不等式化为x1x13，即2x3，不等式组 的解集为32，).综上得f(x)3的解集为(，3232，).(2)若a1，f(x)2|x1|不满足题设条件.若a1，f(x) f(x)的最小值为1a.由题意有1a2，即a1.若a1，f(x) f(x)的最小值为a1，由题意有a12，故a3.综上可知a的取值范围为(，13，).【变式训练3】关于实数x的不等式|x12(a1)2|12(a1)2与x23(a1)x2(3a1)0 (aR)的解集分别为A，B.求使A B的a的取值范围.【解析】由不等式|x12(a1)2|12(a1)2 12(a1)2x12(a1)212(a1)2，解得2axa21，于是Ax|2axa21.由不等式x23(a1)x2(3a1)0 (x2)x(3a1)0，当3a12，即a13时，Bx|2x3a1，因为A B，所以必有 解得1a3；当3a12，即a13时，Bx|3a1x2，因为A B，所以 解得a1.综上使A B的a的取值范围是a1或1a3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，xa的解集是(a，a)；xa的解集是(，a)(a，)，它可以推广到复合型绝对值不等式axbc，axbc的解法，还可以推广到右边含未知数x的不等式，如3x1x1 1x3x1x1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如xaxbc和xaxbc型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.18.2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg ab2lg bc2lg ac2lg alg blg c.【证明】 由a，b，c为正数，得lg ab2lg ab；lg bc2lg bc；lg ac2lg ac.而a，b，c不全相等，所以lg ab2lg bc2lg ac2lg ablg bclg aclg a2b2c2lg(abc)lg alg blg c.即lg ab2lg bc2lg ac2lg alg blg c.【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a，b，c，d都是实数，且a2b21，c2d21.求证：|acbd|1.【证明】因为a，b，c，d都是实数，所以|acbd|ac|bd|a2c22b2d22a2b2c2d22.又因为a2b21，c2d21，所以|acbd|1.题型二 用作差法证明不等式 【例2】 设a，b，c为ABC的三边，求证：a2b2c22(abbcca).【证明】a2b2c22(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)2a2b2c2 (ab)2c2(bc)2a2(ca)2b2.而在ABC中，bac，所以(ab)2c2，即(ab)2c20.同理(ac)2b20，(bc)2a20，所以a2b2c22(abbcca)0.故a2b2c22(abbcca).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a，b为实数，0n1,0m1，mn1，求证：a2mb2n(ab)2.【证明】因为a2mb2n(ab)2na2mb2mnnm(a22abb2)mnna2(1m)mb2(1n)2mnabmnn2a2m2b22mnabmn(namb)2mn0，所以不等式a2mb2n(ab)2成立.题型三 用分析法证明不等式 【例3】已知a、b、cR，且abc1.求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c).【证明】因为a、b、cR，且abc1，所以要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab).因为(ab)(bc)2(ab)(bc)0，(bc)(ca)2(bc)(ca)0，(ca)(ab)2(ca)(ab)0，三式相乘得式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f(x)xa(x1)ln(x1)(x1，a0).(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当mn0时，(1m)n(1n)m.【解析】(1)f(x)1aln(x1)a，a0时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函数；当a0时，f(x)在(1， 1上单调递增，在 1，)单调递减.(2)证明：要证(1m)n(1n)m，只需证nln(1m)mln(1n)，只需证ln(1m)mln(1n)n.设g(x)ln(1x)x(x0)，则g(x)x1xln(1x)x2x(1x)ln(1x)x2(1x).由(1)知x(1x)ln(1x)在(0，)单调递减，所以x(1x)ln(1x)0，即g(x)是减函数，而mn，所以g(m)g(n)，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.18.3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式 【例1】已知a，bR，且ab1，求证：(a2)2(b2)2252.【证明】 方法一：(放缩法)因为ab1，所以左边(a2)2(b2)22(a2)(b2)2212(ab)42252右边.方法二：(反证法)假设(a2)2(b2)2252，则 a2b24(ab)8252.由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212252.所以(a12)20，这与(a12)20矛盾.故假设不成立，所以(a2)2(b2)2252.【点拨】 根据不等式左边是平方和及ab1这个特点，选用重要不等式a2 b22(a b2)2来证明比较好，它可以将具备a2b2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件ab1，得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a0，a1，a2，an1，an满足a0an0，且有a02a1a20，a12a2a30，an22an1an0，求证：a1，a2，an10.【证明】由题设a02a1a20得a2a1a1a0.同理，anan1an1an2a2a1a1a0.假设a1，a2，an1中存在大于0的数，假设ar是a1，a2，an1中第一个出现的正数. 即a10，a20，ar10，ar0，则有arar10，于是有anan1an1an2arar10.并由此得anan1an2ar0.这与题设an0矛盾.由此证得a1，a2，an10成立.题型二 用数学归纳法证明不等式【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设an1223n(n1)，nN*，求证：n(n1)2an(n1)22.【证明】 方法一：(放缩法)n2n(n1)n(n1)2，即nn(n1)2n12.所以12nan1213(2n1).所以n(n1)2an12 (n1)(12n1)2，即n(n1)2an(n1)22.方法二：(数学归纳法)当n1时，a12，而122，所以原不等式成立.假设nk (k1)时，不等式成立，即k(k1)2ak(k1)22.则当nk1时，ak11223k(k1)(k1)(k2)，所以k(k1)2(k1)(k2)ak1(k1)22(k1)(k2).而k(k1)2(k1)(k2)k(k1)2(k1)(k1)k(k1)2(k1)(k1)(k2)2，(k1)22(k1)(k2)(k1)22(k1)(k2)2k24k42(k2)22.所以(k1)(k2)2ak1(k2)22.故当nk1时，不等式也成立.综合知当nN*，都有n(n1)2an(n1)22.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式n(n1)n(n1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列811232，823252，8n(2n1)2(2n1)2，Sn为其前n项和，计算得S189，S22425，S34849，S48081，观察上述结果推测出计算Sn的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想Sn(2n1)21(2n1)2(nN).证明：当n1时，S13213289，等式成立.假设当nk(k1)时等式成立，即Sk(2k1)21(2k1)2.则Sk1Sk8(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)21(2k1)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)22(k1)1212(k1)12.即当nk1时，等式也成立.综合得，对任何nN，等式都成立.题型三 用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.(1)求an的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a，如果b1972a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 20.30)【解析】(1)依题意得a1a(114)b54ab，a254a1b54(54ab)b(54)2a(541)b，a354a2b(54)3a(54)2(541)b，由此猜测an(54)na(54)n1(54)n2541b(54)na4(54)n1b(nN).下面用数学归纳法证明：当n1时，a154ab，猜测成立.假设nk(k2)时猜测成立，即ak(54)ka4(54)k1b成立.那么当nk1时，ak154akb54(54)ka4(54)k1bb(54)k1a4(54)k11b，即当nk1时，猜测仍成立.由知，对任意nN，猜测成立.(2)当b1972a时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a，所以(54)na4(54)n1 1972a79a，整理得(54)n5，两边取对数得nlg 54lg 5，所以nlg 5lg 52lg 21lg 213lg 210.30130.307.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y920vv23v1 600(v0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y9203(v1 600v)920321 60092083，当且仅当v1 600v，即v40时，上式等号成立，所以ymax9208311.1(千辆/时).(2)由条件得920vv23v1 60010，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答：当v40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a21a，n(n1)n；(2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n(n1)n(n1)2；(4)利用常用结论，如k1k1k1k12k，1k21k(k1)1k11k ；1k21k(k1)1k1k1(程度大)；1k21k211(k1)(k1)12(1k11k1) (程度小).3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.18.4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a1，a2，an都为正实数，证明：a21a2a22a3a2n1ana2na1a1a2an.【证明】方法一：由柯西不等式，有(a21a2a22a3a2n1ana2na1)(a2a3ana1)(a1a2 a2a2a3 a3ana1 a1)2(a1a2an)2.不等式两边约去正数因式a1a2an即得所证不等式.方法二：不妨设a1a2an，则a21a22a2n，1a11a21an.由排序不等式有a21 1a2a22 1a3a2n1 1ana2n 1a1a21 1a1a22 1a2a2n 1ana1a2an，故不等式成立.方法三：由均值不等式有a21a2a22a1，a22a3a32a2，a2na1a12an，将这n个不等式相加得a21a2a22a3a2n1ana2na1a2a3ana12(a1a2an)，整理即得所证不等式.【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知abc1，且a、b、c是正数，求证：2ab2bc2ca9.【证明】左边2(abc)(1ab1bc1ca)(ab)(bc)(ca)(1ab1bc1ca)(111)29，(或左边(ab)(bc)(ca)(1ab1bc1ca)3abbcabcabcabbccacaabcabc32 2 2 9)所以2ab2bc2ca9.题型二 用柯西不等式求最值【例2】 若实数x，y，z满足x2y3z2，求x2y2z2的最小值.【解析】 由柯西不等式得，(122232)(x2y2z2)(x2y3z)24(当且仅当1kx,2ky,3kz时等号成立，结合x2y3z2，解得x17，y27，z37)，所以14(x2y2z2)4.所以x2y2z227.故x2y2z2的最小值为27.【点拨】 根据柯西不等式，要求x2y2z2的最小值，就要给x2y2z2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x2y3z的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x22y23z21817，求3x2yz的最小值.【解析】因为(x22y23z2)32(2)2(13)2(3x2y 23z 13)2(3x2yz)2，所以(3x2yz)212，即233x2yz23，当且仅当x9317，y3317，z317时，3x2yz取最小值，最小值为23.题型三 不等式综合证明与运用【例3】 设x0，求证：1xx2x2n(2n1)xn.【证明】(1)当x1时，1xx2xn，由排序原理：顺序和反序和得1 1x xx2 x2xn xn1 xnx xn1xn1 xxn 1，即1x2x4x2n(n1)xn.又因为x，x2，xn，1为序列1，x，x2，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和反序和得1 xx x2xn1 xnxn 11 xnx xn1xn1 xxn 1，即xx3x2n1xn(n1)xn，将和相加得1xx2x2n(2n1)xn.(2)当0x1时，1xx2xn.由仍然成立，于是也成立.综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】 分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，则abc3，且这三个正三角形面积和S满足：3S34(a2b2c2)(121212)34(abc)2934 S334.当且仅当abc1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2b22ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究猜想证明应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.第十九章 优选法高考导航考试要求重难点击命题展望 1.通过分析和解决具体实际问题，使学生掌握分数法、0.618法及其适用范围，运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法.2.了解斐波那契数列Fn，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道Fn1和黄金分割的关系.3.知道对分法、盲人爬山法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处理方法. 本章重点：根据不同的实际问题选择恰当的寻找最佳点的方法.本章难点：比较不同优选方法的利弊和适用范围. 在生产和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低耗等目标，需要对有关因素的最佳组合进行选择.在实践中的许多情况下，试验结果与因素之间的关系要么很难用数学形式来表达，要么表达式很复杂.优选法是解决这类问题的常用数学方法.知识网络典例精析题型一 关于黄金分割法的优选法应用问题【例1】炼某种航天材料，需添加某种化学元素以增加抗氧化强度，加入范围是1 0002 000克，求最佳加入量.【解析】第一步：先在试验范围长度的0.618处做第(1)个试验：x1小(大小)0.6181 000(2 0001 000)0.6181 618克.第二步：第(2)个试验点由公式计算：x2大小x12 0001 0001 6181 382克.第三步：比较(1)与(2)两点上所做试验的效果，现在假设第(1)点比较好，就去掉第(2)点，即去掉1 000,1 382这一段范围，留下1 382,2 000.而第(3)试点x3大小x11 3822 0001 6181 764克.第四步：比较在上次留下的好点，即第(1)处和第(3)处的试验结果，看哪个点好，然后就去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验范围，如此反复，直到得到较好的试验结果为止.【点拨】可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到所需精度即可.【变式训练1】设有一个优选问题，其因素范围是1 5002 500，假设最优点在2 300处.(1)用0.618法进行优选，写出第二，第三个试点的数值；(2)若第一试点取2 010，写出第二，第三，第四个试点的数值.【解析】(1)由0.618法得第一个试点为x11 5000.618(2 5001 500)2 118.由“加两头，减中间”得x21 5002 5002 1181 882.因为最优点在2 300处，所以新的存优范围是1 882,2 500，所以x32 5001 8822 1182 264.同理可知新