初三数学综合题(1).doc

让更多的孩子得到更好的教育初三数学综合题（1）1. 若x2-3x+3=(x2+x-2) 0，则x的值为( )A. 1和2 B. 1和-2 C. 1 D. 22.代数式的最小值是 （ ）A.12 B.13 C.14 D.153.若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2= x1x2.则k的值为 ( ) A. -1或 B. -1 C. D. 不存在4.下面说法中正确的吗？若(m-1) x2+2x+m2-1=0有一根为0，则m=15（2010江苏宿迁，8，3分）如图，在矩形ABCD中， AB4，BC6，当直角三角板MPN 的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点QBPx，CQy，那么y与x之间的函数图象大致是（ ）MQDCBPNA(第8题)xyO463AxyO2.2563DxyO364C2.25xyO63B6直线上有2011个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有_个点7（2010江苏无锡，10，3分）如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BCAO，ABAO，过点C的双曲线 交OB于D，且OD：DB=1:2，若OBC的面积等于3，则k的值（ ）A等于2B等于C等于D无法确定（第6题）8.已知abc=1,化简 ， 试探求简捷的方法9、若关于x的分式方程无解，则a=（）10.（1）观察发现 如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小 做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P 再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这 点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 题26(a)图 题26(b)图 (2)实践运用 如题26(c)图，已知O的直径CD为4，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值 题26(c)图 题26(d)图 (3)拓展延伸 如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法 11. 如图，已知（1）请你在边上分别取两点（的中点除外），连结，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明12. 在四边形ABCD中，对角线AC平分DAB.(1) 如图1，当DAB=120，B=D=90时，求证：AB+AD=AC.(2) 如图2，当DAB=120，B与D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明；(3)如图3，当DAB=90时，B与D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明 .13. 平直系中，为正方形，点的坐标为将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线上（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点重合，一条直角边落在直线上时，这个三角形纸片与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形14（2010江苏宿迁，28，12分）已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线OEBC交抛物线的对称轴于点E求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由15（2010江苏徐州，25，8分）如如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求AOC的面积； (3)求不等式kx+b-0)的图象，直线PB是y-2xm(mn)的图象.（1）试用m、n表示点A、B、P的坐标；（2）若Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是，AB2，求P点的坐标并写出PA与PB的函数关系式.24（2010江苏无锡，27，10分）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动设它们运动的时间为t秒（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OCAB于C，过C作CDx轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时P与直线CD的位置关系25. （2010江苏南京，28，8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点点E从点A出发，沿AB运动到点B停止连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG（1）设AE=x时，EGF的面积为y求y关于x的函数关系式，并填写自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长26（2010江苏南通，28，14分）已知抛物线yax2bxc经过A（4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等经过点C（0，2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直线l与A的位置关系，并说明理由；1yxO（第28题）123424331234412（3）设直线AB上的点D的横坐标为1，P（m，n）是抛物线yax2bxc上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积初三综合题（1）答案1. 若x2-3x+3=(x2+x-2) 0，则x的值为( D )A. 1和2 B. 1和-2 C. 1 D. 2解：据题意，列千万别忘了第一个式子，永远要先书写使式子有意义的条件。答案D2.代数式的最小值是 （ ）A.12 B.13 C.14 D.15【答案：B】3.若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2= x1x2.则k的值为( C ) A. -1或 B. -1 C. D. 不存在 由（1） 4.下面说法中正确的吗？若(m-1) x2+2x+m2-1=0有一根为0，则m=1解：正确。当原方程是一元二次方程时m=-1 当原方程是一元一次方程时m=1 综合得m=15（2010江苏宿迁，8，3分）如图，在矩形ABCD中， AB4，BC6，当直角三角板MPN 的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点QBPx，CQy，那么y与x之间的函数图象大致是（ ）MQDCBPNA(第8题)xyO463AxyO2.2563DxyO364C2.25xyO63B【分析】利用ABPPCQ得到，所以，所以yx2x，然后配方变为y（x3）2【答案】D6（2010江苏宿迁，15，3分）直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有_个点【分析】直线上的2011个点中间有2010个空，这样中间可以插入2010个点，第一次操作后变为4021个点，然后4021个点中间有4020个空，再插入4020个点，以此类推，最后点的个数变为16081个【答案】16081【涉及知识点】规律探究【点评】这是规律探究问题属于中考高频题，解答此类问题要学会寻找规律，一般情况下，要计算前3次，才能摸索出一般规律，然后验证7（2010江苏无锡，10，3分）如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BCAO，ABAO，过点C的双曲线 交OB于D，且OD：DB=1:2，若OBC的面积等于3，则k的值（ ）A等于2B等于C等于D无法确定（第10题）【分析】求反比例系数k的值，一般有两种方法，一种是求反比例函数上一点，用待定系数法求k；另一种是抓住反比例系数k的几何意义解：延长BC交y轴与M点，过D作DNx轴于N由题意易知，四边形OABM为矩形，且SOBM=SOBA由k的几何意义知，SCOM=SDONS四边形DNAB= SBOC=3而ODNOBA，相似比为OD：OB=1:3SODN：SOBA=1:9，SODN：S四边形DNAB=1:8，SODN=，k=【答案】B8.已知abc=1,化简 ， 试探求简捷的方法 9、若关于x的分式方程无解，则a=（）10.（1）观察发现 如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小 做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P 再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这 点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 题26(a)图 题26(b)图 (2)实践运用 如题26(c)图，已知O的直径CD为4，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值 题26(c)图 题26(d)图 (3)拓展延伸 如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法 【分析】（1）由于等边三角形是极其特殊的三角形，所以根据勾股定理求出CE的长度；（2）首先根据材料提供的方法求出P点的位置，然后再结合圆周角等的性质，求出最短的距离；（3）从（1）（2）可以得出，理由轴对称来解决，找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可.【答案】解：（1）；（2）如图：作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60，点B是的中点，所以AEB=15，因为B关于CD的对称点E，所以BOE=60，所以OBE为等边三角形，所以OEB=60，所以OEA=45，又因为OA=OE，所以OAE为等腰直角三角形，所以AE=.（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，11. 如图，已知（1）请你在边上分别取两点（的中点除外），连结，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明分析：想想近似的问题（如右图）易证延长CD交AB于E，则 +得 即（1） 当BD=CEDE时，只存在两对面积相等的三角形：SABD=SACE，SABE=SACD（2） 取AC的中点O，连结AO并延长至F，使OF=OA，（如图）通过证三角形全等，得AC=BF，AE=DF.再证AB+BF AD +DF 即12. 在四边形ABCD中，对角线AC平分DAB.(1) 如图1，当DAB=120，B=D=90时，求证：AB+AD=AC.(2) 如图2，当DAB=120，B与D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明；(3)如图3，当DAB=90时，B与D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明 .解析：（1）证全等，（2）如图所作辅助线AB+AD=AC，（3）如图所作辅助线AB+AD=AC 解：(1)在四边形ABCD中，AC平分DAB，DAB120CABCAD60又BD90ACBACD30 ABADAC即ABADAC2分(2)ABADAC证明如下：如图1，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、FAC平分DABCECFABCD180，ABCCBF180CBFD又CEDCFB90CEDCFBEDBFADABAEEDABAEBFABAEAF由(1)知AEAFACABADAC5分(3)ABADAC证明如下：如图2，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、FAC平分DAB，CECFABCADC180，ADCFDC180ABCFDC又CEBCFD90CEBCFDCBCD延长，AB至G，使BGAD，联结CGABCADC180，ABCCBG180CBGADCCBGADCG=DAC=CAB=45ACG90AGACABADAC 13. 平直系中，为正方形，点的坐标为将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线上（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点重合，一条直角边落在直线上时，这个三角形纸片与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形（07北京）解析：（1）(2)P1(),P2()14（2010江苏宿迁，28，12分）已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线OEBC交抛物线的对称轴于点E求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把A(1,0)、B(3,0)坐标代入中求出b、c；（2）利用梯形定义需要证明一组对边平行另一组对边不平行且相等；（3）首先求出四边形ODBE的面积，再利用求出y，然后把y的值代入抛物线解析式中，求x值 【答案】（1）求出：，抛物线的对称轴为：x2(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，1）设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BEOBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），BOE= OBD= OEBD四边形ODBE是梯形 在和中，OD ，BEODBE四边形ODBE是等腰梯形 (3) 存在由题意得： 设点Q坐标为（x，y），EFQ1Q3Q2由题意得：当y1时，即， ， ， Q点坐标为（2，1）或(2，1) 当y1时，即， x2， Q点坐标为（2，1）综上所述，抛物线上存在三点Q（2，1），Q (2，1) ，Q（2，1）使得= 15（2010江苏徐州，25，8分）如如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求AOC的面积； (3)求不等式kx+b-0的解集(直接写出答案)【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用（1）中所求函数表达式求出点C的坐标，可得OC，由点A的坐标可得到AOC边OC上的高，从而可求AOC的面积；（3）不等式kx+b-0（kx+b0)的图象，直线PB是y-2xm(mn)的图象.（1）试用m、n表示点A、B、P的坐标；（2）若Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是，AB2，求P点的坐标并写出PA与PB的函数关系式.解：（1）令xn=0，解得x-n，则A（n，0）令，解得，则B据题意，列，可知解得，代入得P解：（1）A（n，0），B，P（2）由直线PA解析式知Q（0，），画示意图：代入，解得n0 n1，代入，得解得n1，n0 n1，代入，得可知P，直线PA解析式，直线PB解析式24（2010江苏无锡，27，10分）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动设它们运动的时间为t秒（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OCAB于C，过C作CDx轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时P与直线CD的位置关系【分析】求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离因此需过点P作x轴或y轴的垂线然后探索运动过程中，点P的运动情况（2）中探索P与直线CD的位置关系，即探索圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系这样所求问题就较简单了【答案】解：作PHOB于H 如图1，OB6，OA，OAB30PBt，BPH30，BH，HP ;OH，P，图1图2图3当P在左侧与直线OC相切时如图2，OB，BOC30BCPC 由，得 （s），此时P与直线CD相割当P在左侧与直线OC相切时如图3，PC由，得s，此时P与直线CD相割综上，当或时，P与直线OC相切，P与直线CD相割 25. （2010江苏南京，28，8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点点E从点A出发，沿AB运动到点B停止连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG（1）设AE=x时，EGF的面积为y求y关于x的函数关系式，并填写自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长【分析】（1）欲求y关于x的函数关系式，即EGF的面积，观察图形发现SEGF= EFMG，由条件AM=DM及正方形的性质可得AMEDMF，所以EF=2EM，因此求出面积的关键是求出MG结合图形发现过点M作MNBC，垂足为N可得RtAMERtNMG，进而运用相似三角形的性质得到MG的长，问题获解；（2）如图，P1P2（P1是P起始位置，P2是P终止位置）是点P运动的路线，由RtABMRtP1P2M，AB=2AM，得P1P2=2MP1=2【答案】（1）当点E与点A重合时，x=0，y=22=2；当点E与点A不重合时，0x2在正方形ABCD中，A=ADC=90，MDF=90，A=MDFAM=DM，AMF=DMF，AMEDMF，ME=MF在RtAME中，AE=x，AM=1，ME=EF=2MF=2过点M作MNBC，垂足为N（如图）则MNG=90，AMN=90，MN=AB=AD=2AMAME+EMN=90EMG=90，GMN+EMN=90，AME=GMN，RtAMERtNMG，即，MG=2ME=2，y=EFMG=22=2x2+2，y =2x2+2，其中0x2（2）点P运动路线的长为226（2010江苏南通，28，14分）已知抛物线yax2bxc经过A（4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等经过点C（0，2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直线l与A的位置关系，并说明理由；1yxO（第28题）123424331234412（3）设直线AB上的点D的横坐标为1，P（m，n）是抛物线yax2bxc上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积【分析】（1）由条件，利用待定系数法求解.（2）依题意可由勾股定理求出圆的半径，进而利用直线与圆的关系求解.（3）由（2）可进一步求解.【答案】（1）因为当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0.设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（4，3）、B（2，0）代入到yax2bxc，得 解得这条抛物线的解析式为yx2-1.设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得 解得这条直线的解析式为y-x+1.（2）依题意，OA=即A的半径为5.而圆心到直线l的距离为3+2=5.即圆心到直线l的距离=A的半径，直线l与A相切.（3）由题意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D（-1，）.由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH是D点到l最短距离，点P坐标（-1，-）此时四边形PDOC为梯形，面积为.27.已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）（1）求此抛物线解析式；（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；（3）过点B作x轴的垂线，垂足为E点点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的 倍，试确定点F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式（2）取A关于y轴的对称点A，取B关于x轴的对称点B，根据轴对称和两点间线段最短可得：此时AB的长即为AD+CD+BC的最小值，易求得A、B的坐标，即可得到线段AB的长，那么AB+AB即为四边形ABCD的最小周长（3）由于点P在对称轴上的运动速度较快，因此尽量使用这个速度可以使点P到E点的时间最少；由于点P在对称轴上的速度是P在直线FE上的 倍，因此只有当FHE（设对称轴与x轴的交点为H）为等腰直角三角形时，从FHE和FE所用时间相同，因此可过E作直线FE使得EF与对称轴的夹角为45，那么此时直线EF与对称轴的交点就是所求的点F，易求得AH的长，而EH=FH=1，由此可求得F点的坐标解答：解：（1）依题意： ，解得 ；抛物线的解析式为y=-2x2+4x+1（2）点A（1，3）关于y轴的对称点A的坐标是（-1，3），点B（2，1）关于x轴的对称点B的坐标是（2，-1）；由对称性可知AB+BC