概率论B组题解答.doc

概率统计第三章（B）组习题一、单选题1设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则的条件下，的条件概率密度.（A）；（B）；（C）；（D）.解：因为随机变量服从二维正态分布，且与不相关，所以与独立，于是的联合概率密度.又因为，所以选（A）.2.设随机变量都服从正态分布，且它们不相关，则.（A）一定独立；（B）服从二维正态分布；（C）不一定独立；（D）服从一维正态分布.解：不相关，即对于二维正态向量而言，不相关与独立是等价的，但当随机变量都服从正态分布时，不一定二维向量服从二维正态分布，因此不一定独立，选（C）.3设随机变量，且与相互独立，则.（A）；（B）；（C）；（D）.解：相互独立，则当，时，的线性组合仍服从正态分布，即.故由题意知：，由正态分布性质，随机变量在其数学期望左，右两侧取值的概率相等知：成立，故选（B）.4设与相互独立，且均服从，则下列正确的是.（A）；（B）；（C）；（D）. （D）解：因为与相互独立，且均服从，则与的线性组合与线性函数均服从正态分布，且以其期望和方差为两个分布参数.于是，则，同理可求得：.因为，所以.5设随机变量与相互独立同分布，其密度为，若，则.（A）；（B）；（C）；（D）.解：易得与的联合密度为：，从而.又，故，选（C）.6设随机变量与独立，服从参数为的指数分布，则概率.（A）；（B）；（C）；（D）.解：由题设知，因为随机变量与独立，所以的联合概率密度为：.于是，故选（A）.7设随机变量相互独立，且服从正态分布，服从正态分布，则概率.（A）随与的增加而增加；（B）随与的减少而减少；（C）随的增加而增加，随的减少而减少；（D）随的增加而减少，随的减少而增加.解：因为和是独立正态变量，所以变量仍服从正态分布，且以其期望与方差为分布参数，即.于是，.其中为标准正态分布下的分布函数，且是增函数，可见正确的选项为（D）.8设，且事件与互相独立，则.（A）；（B）；（C）；（D）.解：，且，故，于是有：，应选（B）.9设，且，则.（A）；（B）；（C）；（D）.解：先求出联合分布列再去求概率.设的联合分布列为：因为，所以，.同理，进一步有：；即，故，选（A）.10设随机变量和相互独立，其分布函数相应为，则随机变量的分布函数为.（A）；（B）；（C）；（D）.解：，故（C）入选.二、计算题1设在由直线及曲线所围成的区域上服从均匀分布.（1）求边缘密度和并说明与是否独立.（2）求.解：题中所述区域的面积为，.（1）.同理，.因为，所以与不独立.（2）.2.一电子仪器由两个部件构成，以和分别表示两个部件的寿命（单位：千时），已知和的联合分布函数为：（1）问和是否独立？（2）求两个部件的寿命都超过小时的概率.解：；同理，.显然，故和独立.3设随机变量服从区间上的均匀分布，而服从区间上均匀分布.试求：（1）和的队联合概率密度；（2）的概率密度；（3）.解：（1）由已知可得，关于的条件密度为：，故和的联合概率密度为：.（2）的概率密度为：.（3）.4.设随机变量与独立同分布，且.记，求（I）的联合分布；（II）.解：（I）因为，所以.又；.故.（II）.5.设试求：（1）；（2）；（3）的联合分布函数.解：，.当或时，；当时，；当时，.故，.6设二维随机变量的概率密度为，（1）求条件概率密度；（2）求条件概率.解：（1）的概率密度，当时，的条件概率密度为：.（2）的概率密度为，于是.7设二维随机变量的联合密度函数为（I）求；（II）求的概率密度.解：（I）.（II）如图所示：.当时，；当时，；当时，.当时，.故，.8设随机变量和的联合分布在正方形上均匀分布，试求随机变量的概率密度.解：由题意：，显然，当时，；当时，；当时，.综上：，故.9设随机变量与独立，其中，求随机变量的概率密度.解：，其中：的取值为：则由全概率公式得：由于和独立，可见故，.10设，是相互独立的随机变量,它们服从正态分布，试验证随机变量具有概率密度我们称服从