概率论强化实践考作业答案.doc

第一章 随机事件与概率1 计算题1.设P(A)=0.4, P(B)=0.2, , 求P(AB)以及P(A|B).解:由全概率公式得，P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)即：0.2=0.4P(B|A)+0.6*0.3 P(B|A)=0.05因为，P(AB)=0.05*0.4P(AB)=0.02P(A|B)=0.02/0.2=0.12.已知求：(1)；(2)P(AB)；(3)； (4) ；(5)P(B-A).解：(1). P()=1-P(A)=0.8，P()=1-P(B)=0.7 (2). P(AB)=P(A)-P(A-B) =0.2-(0.3-0.2) =0.2-0.1 =0.1 (3). P(A) =P(A)-P(AB) =0.2-0.1 =0.1 (4).P()=P(A)+P(B)-P(AB) =0.2+0.3-0.1 =0.4 (5)P(B-A)=P(B)-P(AB) =0.3-0.1 =0.23.若事件A与B互不相容，P(A)=0.6, P(A+B)=0.9, 求：(1)；(2)；(3).解：(1). 因为A与B互不相容,P(A+B)=P(A)+P(B) P(B)=P(A+B)-P(A) =0.9-0.6 0.3 P()=1-P(A+B)=1-0.9=0.1 (2). P(A|)=1-P(A|B) P(A|B)=0.3 P(A|)=1-0.3=0.7 (3). P()=P()=1-P() =1-P(A)+P(B) =1-0.9 =0.14. 已知事件A与B相互独立，且P(A)=0.4, P(A+B)=0.6, 求(1)P(B)；(2) ；(3)P(A|B). 解; (1)由公式，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P（A）=0.40, P(B)=P(B|A) P(AB)=P(A)*P(B|A)=P(A)*P(B) 0.6=0.4+P(B)-P(A)*P(B) 0.6=0.4+0.6P(B) P(B)= (2)=P(A)-P(AB) =0.4-P(A)P(B) =0.4-0.4* =(3)P(A|B)=0.45. 设A,B为两个随机事件，P（A）=0.5，P()=0.8,P(AB)=0.3求P(B)解：由P()=P（A）+P(B)-P(AB).得 P(B)=P()-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6 第二章 随机变量及其概率分布1.设连续型随机变量X的分布函数为，求X的概率密度函数.解：f(X)=F(X)=2. 设X服从参数p=0.2的0-1分布，求X的分布函数及P(X0.5). 解; x的分布函数： F(x)= ,则 P(x0.5)=F(0.5)=0.23. 设随机变量XU(a, b)，求X的密度函数与分布函数. f(x)=,分布函数为， F(x)= :4. 设随机变量XN(3, 4)，求：(1)P(2X3)；(2) P(-4X2)；(4)P(X3).解：=.3，=2，记F(x)为x的分布函数(1)P(2x3)=F(3)-F(2)=(0)-(-0.5)=0.1915(2)P(-4x2)=1-P|x|2=1-P =1-F(2)+F(-2)=1-(-0.5)+(-2.5)=1.6915-0.9935=0.698(4) .P(x3)=P(x3)=1-(0)=0.55. 已知随机变量X的密度函数为，求：(1)常数k；(2)分布函数；(3). 解;(1),F(x)=,所以K-1=2，k=3 (2)由(1)知F(x)=,(3)P(-1xR时，(x)=0.当|X|R时，(x)=所以(x)=同理 第四章 随机变量的数字特征计算题:X-2 0 2 P0.4 0.3 0.3 1.设随机变量X的分布律为求：(1)EX；(2)E(X2)；(3)E(3X3+5).解：EX=-2*0.4+0*0.3+2*0.3=-0.2 E()=(-2)*0.4+4*0.3=2.8 E(3X+5)=2.6X 1 2 3 P0.2 0.5 0.3 2.设随机变量X的分布律为求：期望EX与方差DX.解： EX=1*0.2+2*0.5+3*0.3=2.1方差DX=EX-（EX）EX=4.9所以DX=4.9-2.1*2.1=0.49 3.设随机变量X的概率密度为，求：期望EX与方差DX.解：EX= EX= DX=EX-(EX)=7.已知二维随机变量(X, Y)的概率分布为Y X 0 1 2 3 1 2 0.1 0.2 0.1 0 0.2 0 0.3 0.1求：协方差与相关系数.解：协方差=E（X,Y）-EXEY先求X,Y的边缘分布X的边缘分布;X12P0.40.6Y的边缘分布：Y0123P0.30.20.40.1EX=1.6，EY=1.3EX=2.8 ， EY=2.7EXY=2.2故=E(XY)-EXEY=2.2-1.6*1.3=0.12DX=EX-（EX）=0.24DY=EY-（EY）=1.01相关系数5. 设连续型随机变量X的密度函数为： ，求：EX2，E(2X).解： 可看出：E(2X)=2EX 第五章 大数定律及中心极限定理1.已知随机变量X服从均匀分布U0，1，估计下列概率：(1)；(2) .解：由P|X-E(X)|,得P|X-0.5|因为变量X服从均匀分布U0,1所以E（X）=D(x)=E(x)-E(x)=P|X-0.5|2.设Xi (i=1, 2, .,50)是相互独立的随机变量，且都服从泊松分布P(0.03), 令 ，试用中心极限定理计算.解： 易知，E(X)=0.03,D(X)=0.03(k=1,2.50)有中心极限定理得，随机变量Z=近似服从标准正态分布N(0,1)于是PZ3=1-PZ3.设P(A)=0.4，现在进行1000次独立重复试验，(1)估计事件A发生的次数在300500之间的概率；(2)求事件A发生的次数在300500之间的概率. 解： （1）设事件A服从参数n=1000，p=0.04的二项分布 于是有 E(x)=np=100*0.04=400 D(x)=npq=1000*0.4*0.6=240 P300X500=P|x-400| m0 = 1.9 ( 2 ) 由 于 t = 2.5081 1.7531 = t0.95 ( 15 ) = t1-a( n-1 ) 故拒绝H0，即在a = 0.05下可以认为甲厂的产品有更高的平均抗体。5、某 装 置 的 平 均 工 作 温 度 据 制 造 厂 讲 是 190。 C ， 今 从 一 个 由 16 台 装 置 构 成 的 随 机 样 本 得 出 的 工 作 温 度 平 均 值 和 标 准 差 分 别 为 195。 C 和 8。 C 。 这 些 数 据 是 否 提 供 了 充 分 证 据 ， 说 明 平 均 工 作 温 度 比 制 造 厂 讲 的 要 高 ？ 取 a = 0.05 ， 可 以 假 定 工 作 温 度 服 从 正 态 分 布 。 ( 已 知 t0.95 ( 15 ) = 1.7531 )解: 这 问 题 即 是 在 a = 0.05 下 ， 检 验 H0： m = m0 =190； H1： m m0 =190 ( s2 末 知 ) 由 于 t = 2.5 1.7531 = t0.95( 15 ) = t1-a ( n-1 ) 故 拒 绝 H0， 即 认 为 该 装 置 的 平 均 工 作 温 度 高 于 190。 C。6、 测 定 某 种 溶 液 中 的 水 份 ，由 它 的 10 个 测 定 值 ，算 得 设 测 定 值 总 体 服 从 正 态 分 布 ，能 否 认 为 该 溶 液 含 水 量 小 于 0.5% ？ ( a = 0.05 )， ( 已 知 t0.95 ( 9 ) = 1.833 ) 解: 这 问 题 即 是 在 ( a = 0.05 ) 下 ， 检 验 假 设 H0： m = m0 = 0.5%； H1： m m0 = 0.5%由 于 t = -4.102 -1.8331 = -t0.95( 9 ) = ta( n-1 ) 故 拒 绝 H 0 即 认 为 溶 液 的 含 水 量 小 于 0.5% 第九章 回归分析1、为研究某一化学反应过程中温度对产品得率的影响，测得数据如下。 ( )100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 ( % ) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89求出关于的一元线性回归方程。解：先画出散点图如下计算出 所求的回归方程是。2、用检验法检验题1中的回归效果是否显著（？解： ，从而， 查表得，由于，说明回归效果是显著的。方法2：检验法采用如下检验统计量： ，其中，对一个小概率，若，则接受，即认为线性假设成立，所建立的线性回归方程正确。3、某种产品在生产过程中的废品率与它所含的某种物质量有关，现将试验所得16组数据记录列于下表。34 36 37 38 39 39 39 40 1.30 1.00 0.73 0.90 0.81 0.70 0.60 0.50