概率论与数理统计考试习题.doc

1. 设A,B为随机事件, 若P(A)=P(B)0.5, 则-B- ;(A) A,B互不相容; (B) A,B非互不相容; (B) (C) A,B相互独立; (D) A,B相互不独立;2.己知随机变量X服从区间5.10 上的均匀分布, 则-C- ;(A) P(X29)=0.3 ; (B) P(X29)=0.15 ; (C) P(X29)=0; (D)“X=7” 是不可能事件;3 己知二维随机向量(X,Y)具有分布函数F(x,y)，则-C- ;(A) P(X0,y=g(x)=x2,严格单调增加, (1分)有反函数, , (3分)所以Y=X2的概率密度为 (6分) (8分3.设随机变量X具有分布函数求E(X).解: X的概率密度为 (3分) (6分) (8分) 4、设W=(aX+3Y)2,E(X)=E(Y)=0,D(X)=4,D(Y)=16,rXY=-0.5,求常数a使E(W)为最小,并求E(W)的最小值.解: (1)W=a2X2+6aXY+9Y2, E(X2)=D(X)+E(x)2=4, E(Y2)=D(Y)+E(Y)2=16, (2分) E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y) =-4, (4分)E(W)=a2E(X2)+6aE(XY)+9E(Y2) (6分) =4a2-24a+144 =4(a-3)2+108, (7分) 当a=3时, E(W)为最小,E(W)的最小值为E(W)min=108. (8分)1、设(X,Y)服从二维正态分布,且D(X)=,D(Y)=,证明当a2=/时随机变量W=X-aY与V=X+aY相互独立. 证:(X,Y)服从二维正态分布, W=X-aY与V=X+aY都服从正态分布,当a2=/时, (2分)Cov(W,V)=Cov(X-aY,X+aY) (3分)=Cov(X,X)-aCov(Y,Y) (5分)=D(X)-a2D(Y) (6分)=-a2=0 (7分) rXY=0,即W与V相互独立. (8分) 一、填空题（满分15分）1.已知,且A与B相互独立，则 。2.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则 。3.设,且，则 4.已知DX=2，DY=1，且X和Y相互独立，则D(X-2Y) 5.设是从中抽取容量为16的样本方差，则 二、选择题（满分15分）1.已知事件A，B满足，且，则 。 （A）0.4， （B）0.5， （C）0.6， （D）0.72.有个球，随机地放在n个盒子中（n），则某指定的个盒子中各有一球的概率为 。 （A） （B） （C） (D) 3.设随机变量X的概率密度为，则c 。 （A） （B）0 （C） （D）14.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 。 （A）50 （B）100 （C）120 （D）1505.设总体X在上服从均匀分布，则参数的矩估计量为 。 （A） （B） （C） （D）三、计算题（满分60分） 1.某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N（40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。（，）3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于”的概率。4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X的期望EX和方差DX。5.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差。（6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。（，）四、证明题 1.设A，B是两个随机事件，0P(A)1，0P(B)1， ，证明：A与B相互独立。 2.设总体X服从参数为的泊松分布，是X的简单随机样本，试证：是的无偏估计。一、填空题（满分15分）1. 2. 3. 0.3 4. 6 5. 二、选择题（满分15分）1. C 2. A 3. C 4. B 5. D三、计算题（满分60分）1.2., 令，则.因此 .3., 所以 故 .