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文档简介
7 5平面及其方程 平面和直线是最简单和最基本的空间图形 本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题 介绍平面和直线的各种方程及线面关系 线线关系 确定一个平面可以有多种不同的方式 但在解析几何中最基本的条件是 平面过一定点且与定向量垂直 这主要是为了便于建立平面方程 同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此 先介绍平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 法线向量的特征 垂直于平面内的任一向量 已知 设平面上的任一点为 必有 一 平面的点法式方程 平面的点法式方程 其中法向量 已知点 若取平面的另一法向量 此时由于 平面方程为 平面上的点都满足上方程 不在平面上的点都不满足上方程 上方程称为平面的方程 平面称为方程的图形 解 所求平面方程为 化简得 一般地 过不共线的三点 的平面的法向量 平面方程为 三点式方程 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 二 平面的一般方程 平面一般方程的几种特殊情况 平面通过坐标原点 平面通过轴 平面平行于轴 平面平行于坐标面 类似地可讨论情形 类似地可讨论情形 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 向量平行的充要条件 解 化简得 令 所求平面方程为 例6 解一 用点法式 设所求平面的法向量为 由点法式得 所求平面的方程为 即 解二 用一般式 因平面平行于z轴 故可设平面方程为 在平面上 解得 所求平面方程为 即 由以上几例可见 求平面方程的基本思路和基本步骤 两定 定点 定向 定义 通常取锐角 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角 三 两平面的夹角 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征 例7研究以下各组里两平面的位置关系 解 两平面相交 夹角 两平面平行 两平面平行但不重合 两平面平行 两平面重合 例8 解 设所求平面的法向量为 又所求平面与已知平面垂直 解得 代入点法式方程并整理得 解 点到平面距离公式 平面的方程 熟记平面的几种特殊位置的方程 两平面的夹角 点到平面
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