数学北师大版八年级下册公式法.docx

第四章因式分解4.3公式法（第一课时）第课时1.理解平方差公式的本质:结构的不变性,字母的可变性.2.会用平方差公式进行因式分解.3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法,再考虑用公式法分解.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的互逆、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的价值.【重点】掌握运用平方差公式分解因式的方法.【难点】用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关提公因式法分解因式的知识.导入一:【问题】填空.(1)(x+5)(x-5)=;(2)(3x+y)(3x-y)=;(3)(3m+2n)(3m-2n)=.它们的结果有什么共同特征?尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x2-25=;(2)9x2-y2=;(3)9m2-4n2=.设计意图学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用,发展学生的观察能力与逆向思维能力.导入二:在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项不都含有相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是整式乘法的逆过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外一种因式分解的方法公式法.设计意图复习之前学过的知识后,提出疑问,直接引入新课,开门见山,激发学生的学习兴趣.一、用平方差公式分解因式请看乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.(1)左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是:a2-b2=(a+b)(a-b).(2)左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解?符合因式分解的定义,因此是因式分解.等式(1)是整式乘法中的平方差公式,等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差的形式,那么就可以用平方差公式分解因式,将多项式分解成两个整式的和与差的积.如:x2-16=x2-42=(x+4)(x-4);9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n).设计意图让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.二、例题讲解过渡语同学们,前面我们学习了用平方差公式分解因式,下面我们通过几个例题来巩固所学的知识.(教材例1)把下列各式因式分解:(1)25-16x2;(2)9a2-14b2.解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).(2)9a2-14b2=(3a)2-12b2=3a+12b3a-12b.(教材例2)把下列各式因式分解:(1)9(m+n)2-(m-n)2;(2)2x3-8x.解:(1)9(m+n)2-(m-n)2=3(m+n)2-(m-n)2=3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n)=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n).(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).说明:教材例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;教材例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,教材例2的(2)是先提取公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.设计意图教师讲解例题,明确思维方法,给出书写范例.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).我们已学习过的因式分解的方法有提公因式法和平方差公式法.如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合则继续进行.分解因式以后,若所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能分解为止.1.下列因式分解正确的是()A.x2+y2=(x+y)(x-y)B.x2-y2=(x+y)(x-y)C.x2+y2=(x+y)2D.x2-y2=(x-y)2解析:x2+y2不能在有理数范围内因式分解,x2-y2=(x+y)(x-y).故选B.2.分解因式:a3-4a=.解析:a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).故填a(a+2)(a-2).3.(2015恩施中考)因式分解:9bx2y-by3=.解析:原式=by(9x2-y2)=by(3x+y)(3x-y).故填by(3x+y)(3x-y).4.已知x2-y2=69,x+y=3,则x-y=.解析:因为x2-y2=69,所以(x+y)(x-y)=69,因为x+y=3,所以3(x-y)=69,所以x-y=23.故填23.5.分解因式:(3a-2b)2-(2a+3b)2.解:(3a-2b)2-(2a+3b)2=(3a-2b)+(2a+3b)(3a-2b)-(2a+3b)=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)=(5a+b)(a-5b).第1课时一、用平方差公式分解因式二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第100页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第100页习题4.4的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是()A.4x2+y2B.-a2+81C.-25m2-n2D.p2-2p+12.一个多项式分解因式的结果是(b3+2)(2-b3),那么这个多项式是()A.b2-4B.4-b6C.b6+4D.4-b93.(2015孝感中考)分解因式:(a-b)2-4b2=.4.(2015鄂州中考)分解因式:a3b-4ab=.【能力提升】5.在括号内填上适当的因式.(1)36-9x2=9()();(2)16a2-1=()().【拓展探究】6.把下列各式分解因式:(1)4x2-25y2;(2)x2y-y;(3)4x2-(y-z)2;(4)(x+2)2-9.【答案与解析】1.B2.B(解析:这个多项式是22-(b3)2=4-b6.故选B.)3.(a+b)(a-3b)(解析:原式=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b).故填(a+b)(a-3b).)4.ab(a+2)(a-2)(解析:原式=ab(a2-4)=ab(a+2)(a-2).故填ab(a+2)(a-2).)5.(1)2+x2-x(2)4a+14a-16.解:(1)4x2-25y2=(2x+5y)(2x-5y).(2)x2y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1).(3)4x2-(y-z)2=(2x)2-(y-z)2=(2x+y-z)(2x-y+z).(4)(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1).本节课的教学设计借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法到因式分解的转换过程,并能用符号合理地表示出分解因式的关系式,同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.课堂中的布局有待提高,以后应最大限度地发挥学生的主体作用.部分例题可以交给学生独立完成,不能完全由老师来操办.有意识地培养学生逆向思考问题的习惯,不仅对提高解题能力有益,更重要的是可以改善学生学习数学的思维方式,有助于形成良好的思维习惯,激发学生的创新开拓精神,培养良好的思维习惯,提高学习效果、学习兴趣及思维能力和整体素质.随堂练习(教材第100页)1.(1)(2)(3)(4)2.解:(1)原式=(ab+m)(ab-m).(2)原式=(m-a)+(n+b)(m-a)-(n+b)=(m-a+n+b)(m-a-n-b).(3)原式=x+(a+b-c)x-(a+b-c)=(x+a+b-c)(x-a-b+c).(4)原式=81y4-16x4=(9y2)2-(4x2)2=(9y2+4x2)(9y2-4x2)=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x).3.解:剪去前正方形的面积为a2 cm2,剪掉的4个小正方形的面积和为4b2 cm2,所以剩余部分的面积为a2-4b2=(a+2b)(a-2b)(cm2).当a=3.6,b=0.8时,剩余部分的面积为(3.6+20.8)(3.6-20.8)=10.4(cm2).习题4.4(教材第100页)1.解:(1)原式=(a+9)(a-9).(2)原式=(6+x)(6-x).(3)原式=(1+4b)(1-4b).(4)原式=(m+3n)(m-3n).(5)原式=(0.5q+11p)(0.5q-11p).(6)原式=(13x+2y)(13x-2y).(7)原式=(3ap+bq)(3ap-bq).(8)原式=72a+xy72a-xy.2.解:(1)(m+n)2-n2=(m+n+n)(m+n-n)=m(m+2n).(2)49(a-b)2-16(a+b)2=7(a-b)2-4(a+b)2=7(a-b)+4(a+b)7(a-b)-4(a+b)=(7a-7b+4a+4b)(7a-7b-4a-4b)=(11a-3b)(3a-11b).(3)(2x+y)2-(x+2y)2=(2x+y)+(x+2y)(2x+y)-(x+2y)=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y).(4)(x2+y2)2-x2y2=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy).(5)3ax2-3ay4=3a(x2-y4)=3a(x+y2)(x-y2).(6)p4-1=(p2+1)(p2-1)=(p2+1)(p+1)(p-1).3.解:S环形=R2-r2=(R2-r2)=(R+r)(R-r).当R=8.45,r=3.45,取3.14时,S环形3.14(8.45+3.45)(8.45-3.45)=3.1411.95=186.83(cm2).答:它们所围成的环形的面积为186.83 cm2.学生在上几节课的基础上,已经基本了解了整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系,在七年级的整式乘法运算的学习过程中,学生已经学习了平方差公式,这为今天的学习提供了必要的基础.学生对类比思想,数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础,本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法,学生有较好的活动经验.是否存在一个满足下列条件的正整数,当它加上98时是一个完全平方数