向量在立体几何中的应用.doc

立体几何随着新课改的深入，高中数学新课程标准对空间想像能力提出了更高的要求，并赋予了新的内容。主要表现为识图、画图和对图形的想象能力识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形和对图形进行各种变换，对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种。画出空间图形的直观图，对空间图形中位置关系的识别，恰当地变换处理图形，运用空间图形解决问题是学好立体几何的关键，是空间想像能力的核心部分。因此，在实际教学中，应重视读图、视图能力的培养；重视耐心观察而获取感性认识的推理过程。用向量解立体几何很方便,因为不用动脑,设几个坐标点,便可以解出答案,但有时会绕远路.但在高考的时候能用向量就用向量,除了要做对之外,节省时间最重要空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： （其中xyz=1），则四点P、A、B、C共面 3、利用向量证ab，就是分别在a，b上取向量 （kR） 4、利用向量证在线ab，就是分别在a，b上取向量 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标首先该图形能建坐标系，如果能建，则先要会求面的法向量，求面的法向量的方法是 1。尽量在土中找到垂直与面的向量2、如果找不到，那么就设n=（x,y,z）然后因为法向量垂直于面，所以n垂直于面内两相交直线，可列出两个方程，两个方程，三个未知数，然后根据计算方便，取z（或x或y）等于一个数，然后就求出面的一个法向量了。会求法向量后1。二面角的求法就是求出两个面的法向量，可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积，如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交，那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角，如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交，那么上面两向量的夹角就是所求。2。点到平面的距离就是求出该面的法向量，然后在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影）求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1，点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求。赞同在高中数学中，用向量坐标方法解决立体几何问题，由于很多几何体并不都有“墙角”，因此对于一些几何问题建立直角坐标系之前必须要确定垂直，这需要空间想象能力和逻辑推理能力。所以要做好两件事，首先要明确空间线面位置关系；其次要合理建立空间直角坐标系。用向量的方法来解决立体几何的计算问题，对于空间想像能力的考查一点都没有降低。用坐标向量法求解的难点在于建立空间直角坐标系及求出某些点的坐标（如上底面的顶点）；用传统综合几何方法求解的难点在于做出合适的辅助线，以及需要利用某些特殊性质作为基本性质，而在某些情况下利用非坐标向量法求解，一方面不需要作辅助线，极大地降低了难度，另一方面由于基底可以自由选择，降低了建立空间直角坐标系所需要的某些苛刻要求，从而使得求解过程简洁明了。这是新课程高考在考查空间想象能力方面的发展方向。在立体几何教学中应注意以下几个方面：一、牢固的平面几何基础：因为立体几何问题的解决，都是在平面上处理的，多用平面几何的知识。例如，我们通过观察教室中线、面各种位置关系后，可以引导学生思考：（1）直线与直线、直线与平面、平面与平面之间没有公共点就是平行，而平行就没有公共点。这两句话对吗？为什么？这里突出直线与直线是在同一平面内没有公共点才平行，而异面直线没有公共点，但不在同一平面内。（2）直线与直线、直线与平面、平面与平面之间有一个公共点就相交，相交就有一个公共点。这两句话对吗？为什么？这里突出平面与平面有一个公共点就相交，且相交于过这点的一条直线，并指出公共点、公共直线的双重性，以及交点交线在解决问题中的重要性。（3）直线与直线、直线与平面、平面与平面之间有两个公共点？它们的位置关系如何？这时两条直线重合，直线在平面内，平面与平面就相交于过两点的定直线。（4）如果平面与平面有三个公共点时位置关系如何？这里突出相交与重合两种情况。通过引导学生观察所学的直线与直线、直线与平面平行的判定，引出联想问题。二、重视基本作图技能的训练,培养学生的作图能力立体几何离不开图形，学好立体几何应从图形入手，学会画图、视图、用图。首先教师要高度重视作图教学，把图形教学落实到具体。其次教师要从最基本的平面图形的直观图、几何体的直观图入手，作好示范、严格要求，引导学生作出一个个漂亮而富有立体感的直观图，丰富学生的美感和想像力.再次是基本作图技能的训练。如在作位置关系比较复杂的图形时，应先画出限制条件多的线和面，再画限制条件少的线和面。证明线面平行时可以通过“过直线，作平面，找交线”的思路确定要找的直线。再如用平移法作异面直线所成的角等常规作图技能要强化训练。使学生熟练的掌握。最后要非常熟悉基本的几何图形（如三棱锥、正四面体、正方体、直角四面体等），并能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关系，使学生关于空间模型的认知结构逐步丰富起来。三、 牢牢地掌握立体几何的概念、定理、法则、公式，并能再作题过程中强化它!在平时的学习过程中，对于证明过的一些典型命题，可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论，但其也会帮助我们打开解题思路，进而求解出答案。例如，可以用向量来证明三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的射影，则这两条直线垂直。四.强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法。 充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生自己将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、推广、特殊化、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平。空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的。在空间向量运算中，还注意了与数的运算的对比。另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行了比较，引导学生对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行认识。五.突出用空间向量解决立体几何问题的基本思想。空间向量概念虽多，但它是平面向量在空间的推广与拓宽，所涉及内容多数与平面向量相似。因此，在教法上，宜多用类比法，在引导学生复习平面向量的相关知识的基础上，通过类比，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。找出空间向量与平面向量的联系与区别。利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。 新老课程相比，该部分减少了大量