2008中国数学奥林匹克解答.doc

2008中国数学奥林匹克解答第一天1. 设锐角 的三边长互不相等. 为其外心, 点在线段的延长线上, 使得 . 过点分别作, , 垂足分别为, . 作, 垂足为. 记的外接圆半径为 , 类似地可得, . 求证:,其中R 为的外接圆半径.（熊斌提供）证明 首先, 易知四点共圆. 事实上，作BOC的外接圆，设它与AO相交于点P不同于，则，于是，可得，故，矛盾。所以, ., .所以. 同理, .所以, 则 .所以, .作，垂足为，因为，所以，于是,故 ,同理, , , 注意到,所以 .2. 给定整数. 证明: 集合能写成两个不相交的非空子集的并, 使得每一个子集均不包含个元素, 满足, .（冷岗松提供）证明 定义, . 令, . 下面证明即为满足题目要求的两个子集. 首先, , 且.其次, 如果中存在个元素 满足, .则 (*) 不妨设. 由于, 故. 这个数中至少有个在中. 根据抽屉原理, 必有某个中含有其中至少两个数, 设最小的一个为, 则, 而. 于是, .所以, 与(*)矛盾.故中不存在个元素满足题中假设.同理, 中亦不存在这样的个元素. 这表明即为满足题中要求的两个子集.3. 给定正整数, 及实数 满足.证明: 对任意实数, 有.这里, 表示不超过实数的最大整数.（朱华伟提供）证明1 我们先证明一个引理, 对任意实数和正整数, 有引理证明 只需要将对求和即得.回到原题, 我们采用归纳法对进行归纳, 当时显然正确.假设时原命题成立, 考虑. 令, 其中 显然我们有 , 并且通过计算得知, 由归纳假设知. 又, 否则若, 则, , 矛盾. 从而由此可得. 由归纳法知原命题对任意正整数均成立.证明2 记, 则且, 只需要证明. (1)令, 则, 所以,从而 . (2)于是 ,故(1)转化为证明对任意的, . (3) 而. 故只需要证明对任意的, 有 ,而上述不等式等价于.注意到对任意实数成立, 上述不等式显然成立. 从而(3)得证. 第二天4. 设是正整数集的无限子集, 是给定的整数. 已知: 对任意一个不整除的素数, 集合中均有无穷多个元素不被整除. （余红兵提供）证明: 对任意整数, , 集合中均存在有限个不同元素, 其和满足(mod), 且 (mod).证明1 设, 则集合中有一个无穷子集, 其中的元素都不被整除. 由抽屉原理知, 集合有一个无穷子集, 其中的元素都(mod ), 是一个不被整除的数.因, 故. 由中国剩余定理, 同余方程组 (1)有无穷多个整数解. 任取其中一个正整数解, 并记是中前项的集合, 则中的元素之和, 再由(1)可知, .设, 并设对每个已选出了的有限子集, 其中, 使得中的元素和满足 , . (2)考虑集合, 则的元素和. 根据(2), 我们有,(), 且.所以即满足题目要求.证明2 考虑中的数除以的余数, 设出现无穷多次的余数依次为.首先证明. (1)反证法. 反设有某个素数, 则由知不整除; 又根据的定义, 中只有有限个数不是的倍数, 这与题设矛盾.于是(1)获证. 从而存在正整数, 使得. 再取合适的正整数使得. 则.于是从中依次取出个模的余数为的数即满足题目要求.5. 求具有如下性质的最小正整数: 将正边形的每一个顶点任意染上红, 黄, 蓝三种颜色之一, 那么这个顶点中一定存在四个同色点, 它们是一个等腰梯形的顶点.（冷岗松提供）解 所求的最小值为. 首先证明时, 结论成立. 反证法. 反设存在一种将正边形的顶点三染色的方法, 使得不存在4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.由于, 故必存在某6个顶点染同一种颜色, 不妨设为黄色. 将这6个点两两连线, 可以得到条线段. 由于这些线段的长度只有种可能, 于是必出现如下的两种情况之一:(1) 有某3条线段长度相同.注意到3F17, 不可能出现这3条线段两两有公共顶点的情况. 所以存在两条线段, 顶点互不相同. 这两条线段的4个顶点即满足题目要求, 矛盾.(2) 有7对长度相等的线段.由假设, 每对长度相等的线段必有公共的黄色顶点, 否则能找到满足题目要求的4个黄色顶点. 再根据抽屉原理, 必有两对线段的公共顶点是同一个黄色点. 这4条线段的另4个顶点必然是某个等腰梯形的顶点, 矛盾.所以, 时, 结论成立.再对构造出不满足题目要求的染色方法. 用表示正边形的顶点(按顺时针方向), 分别表示三种颜色的顶点集.当时, 令, . 对于, 到另4个顶点的距离互不相同, 而另4个点刚好是一个矩形的顶点. 类似于, 可验证中不存在4个顶点是某个等腰梯形的顶点. 对于, 其中6个顶点刚好是3条直径的顶点, 所以任意4个顶点要么是某个矩形的4个顶点, 要么是某个不等边4边形的4个顶点. 当时,令, , 每个中均无4点是等腰梯形的顶点.当时, 令, , , 每个中均无4点是等腰梯形的顶点.当时, 令, , , 每个中均无4点是等腰梯形的顶点.在上述情形中去掉顶点, 染色方式不变, 即得到的染色方法; 然后再去掉顶点, 即得到的染色方法; 继续去掉顶点, 得到的染色方法.当时, 可以使每种颜色的顶点个数小于4, 从而无4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.上面构造的例子表明不具备题目要求的性质.总上所述, 所求的的最小值为17.6. 试确定所有同时满足, 的三元数组, 其中为奇素数, 为大于1的整数.（陈永高提供）解 易见均为满足要求的数组. 假设为其它满足要求的一数组, 则. 不妨设.如果, 则, 即. 由于不同时整除和, 故或. 但, , 矛盾.因此. 由知.又, 为素数, 故. (1)因此得, 从而.由及知, 从而, 结合有. 因此, 故. 这