福建省泉州市泉港区2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

2015年福建省泉州市泉港区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题 3分，共 21 分） 1若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A x2 B x2 C x2 D任何实数 2下列计算正确的是 ( ) A = B + = C =4 D = 3方程 24x 3=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( ) A 2、 4、 3 B 2、 4、 3 C 2、 4、 3 D 2、 4、 3 4用配方法解方程 6x+4=0，下列配方正确的是 ( ) A（ x 3） 2=13 B（ x+3） 2=13 C（ x 3） 2=5 D（ x+3） 2=5 5若 ，则下列各式中不正确的是 ( ) A B =4 C D 6顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是 ( ) A矩形 B菱形 C正方形 D不能确定 7如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与 似的是 ( ) A B C D 二、填空题（每题 4分，共 40 分） 8若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a=_ 9若 ，则 _ 10已知一元二次方程 2x+k=0 的一个根为 1，则 k=_ 11已知 方程 4x+2=0 的两个实数根，则 x1+_ 12关于 x 的一元二次方程 3x m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围_ 13某款手机连续两次降价，售价由原来的 1100 元降到了 891 元设平均每次降价的百分率为 x，则可列出方程 _ 14如图，在 ，则 _ 15如图，已知 ， ， ，则 _ 16如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高 在地面上的影长为 小芳比他爸爸矮 她的影长为 _m 17在 ， P 是 的动点（ P 异于 A、 B），过点 P 的直线截 截得的三角形与 似，我们不妨称这种直线为过点 P 的 相似线，简记为 P（ （ 1）如图 ， A=90， B= C，当 ， P（ P（ 是过点 P 的 中 此外，还有 _条； （ 2）如图 ， C=90， B=30，当 =_时， P（ 得的三角形面积为 三、解答题（共 89 分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答 18计算： |2|+（ 3） 0 +42 1 19先化简，再求值：（ a+2） 2+a（ a 4），其中 20解方程： x（ x 6） =2（ x 6） 21已知关于 x 的一元二次方程 6x+k=0 的一根为 2，求方程的另一根及 k 的值 22已知： ， A=36， C， 分 点 O，试说明： 23如图所示，以 顶点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系， A、 B 的坐标分别为A（ 2， 3）、 B（ 2， 1），在网格图中将 下列变换，画出相应的图形，并写出三个对应顶点的坐标： （ 1）将 上平移 5 个单位，得 （ 2）以点 O 为位似中心，在 x 轴的下方将 大为原来的 2 倍，得 24某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元，经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 个定价每增加 1 元，销售量净减少 10 个；定价每减少 1 元，销售量净增加 10 个因受库存的影响，每批次进货个数不得超过 180 个 （ 1）商店若将准备获利 2000 元，则定价应增加多少元？ （ 2）若商店要获得最大利润，则应进货多少台？最大利润是多少？ 25（ 13 分）已知一个矩形纸片 该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（ 11， 0），点 B（ 0， 6），点 P 为 上的动点（点 P 不与点 B、 C 重合），经过点 O、 P 折叠该纸片，得点 B和折痕 BP=t （ ）如图 ，当 0时，求点 P 的坐标； （ ）如图 ，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 ，得点 C和折痕 AQ=m，试用含有 t 的式子表示 m； （ ）在（ ）的条件下，当点 C恰好落在边 时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可） 26（ 13 分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做 “等邻边四边形 ” （ 1）概念理解： 如图 1，在四边形 ，添加一个条件使得四边形 “等邻边四边形 ”请写出你添加的一个条件 （ 2）问题探究： 小红猜想：对角线互相平分的 “等邻边四边形 ”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由 如图 2，小红画了一个 中 0， ， ，并将 B方向平移得到 ABC，连结 小红要使平移后的四边形 是 “等邻边四边形 ”，应平移多少距离（即线段 长）？ （ 3）拓展应用： 如图 3， “等邻边四边形 ”， D， 0， 对角线，探究 数量关系 2015年福建省泉州市泉港区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题 3分，共 21 分） 1若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A x2 B x2 C x2 D任何实数 【考点】 二次根式有意义的条件 【分析】 根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可 【解答】 解：由题意得， x 20， 解得 x2 故选： B 【点评】 本 题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键 2下列计算正确的是 ( ) A = B + = C =4 D = 【考点】 二次根式的混合运算 【分析】 分别利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则化简分析得出即可 【解答】 解： A、 = ，正确； B、 + 无法计算，故此选项错误； C、 =2 ，故此选项错误； D、 =2 ，故此选项错误； 故选： A 【点评】 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的运 算法则是解题关键 3方程 24x 3=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( ) A 2、 4、 3 B 2、 4、 3 C 2、 4、 3 D 2、 4、 3 【考点】 一元二次方程的一般形式 【分析】 根据一元二次方程的一般形式是： bx+c=0（ a， b， c 是常数且 a0），在一般形式中 二次项， 一次项， c 是常数项其中 a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项进行分析即可 【解答】 解：方程 24x 3=0 的二次项系数是 2、一次项系数是 4、常数项是 3， 故选： C 【点评】 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式 4用配方法解方程 6x+4=0，下列配方正确的是 ( ) A（ x 3） 2=13 B（ x+3） 2=13 C（ x 3） 2=5 D（ x+3） 2=5 【考点】 解一元二次方程 【分析】 先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上 9，然后利用完全平方公式把方程左边写成完全平方式即可 【解答】 解： 6x= 4， 6x+32=5， （ x 3） 2=5 故选 C 【点评】 本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（ x+m） 2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方 5若 ，则下列各式中不正确的是 ( ) A B =4 C D 【考点】 比例的性质 【专题】 计算题 【分析】 将已知条件变形后代入四个选项，验证是否正确即可 【解答】 解：根据比例的基本性质，利用比例的合比性质化简可得 A、 B 和 C 选项均符合题意； 只有 D，十字相乘得 4x= 3y，与条件不 符，不正确 故选 D 【点评】 本题主要是利用十字相乘来求得 x， y 的关系，看与条件是不是一致 6顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是 ( ) A矩形 B菱形 C正方形 D不能确定 【考点】 矩形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定 【分析】 根据三角形的中位线定理和菱形的判定，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 【解答】 解：如图： E， F， G， H 为矩形的中点，则 D=F， E=G， 在 ， D， G， G， 同理， E=F， 四边形 菱形 故选： B 【点评】 此题主要考查了菱形的判定，综合利用了三角形的中位线定理和矩形的性质是解题关键 7如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与 似的是 ( ) A B C D 【考点】 相似三角形的判定 【专题】 网格型 【分析】 设小正方形的边长为 1，根据已知可求出 边的长，同理可求 出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案 【解答】 解： 小正方形的边长均为 1 边分别为 2， ， 同理： A 中各边的长分别为： ， 3， ； B 中各边长分别为： ， 1， ； C 中各边长分别为： 1、 2 ， ； D 中各边长分别为： 2， ， ； 只有 B 项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 故选 B 【点评】 此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用 二、填空题（每题 4分，共 40 分） 8若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a=7 【考点】 同类 二次根式 【专题】 常规题型 【分析】 根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解 【解答】 解： 最简二次根式 与 是同类二次根式， a 2=5，解得： a=7 故答案为： 7 【点评】 本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式 9若 ，则 2 【考点】 非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 【专题】 常规题型 【分析】 根据非负数的性质列式求出 x、 y 的值，然后代入进行计算即可求解 【解答】 解：根据题意得， x+2=0， y 1=0， 解得 x= 2， y=1， 2） 1= 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式都等于 0 列式是解题的关键 10已知一元二次方程 2x+k=0 的一个根为 1，则 k=1 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 把 x=1 代入方程 2x+k=0，得出一个关于 m 的方程，解方程即可 【解答】 解：把 x=1 代入方程 2x+k=0 得： 1 2+k=0， 解得： k=1 故答案为： 1 【点评】 本题考查了一元二次方程的解 和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出一个关于 k 的方程 11已知 方程 4x+2=0 的两个实数根，则 x1+ 【考点】 根与系数的关系 【分析】 根据根与系数的关系，可直接求出 x1+ 【解答】 解：根据题意得 x1+ = =4 故答案为 4 【点评】 此题主要考查了根与系数的关系： bx+c=0（ a0）的两根时， x1+ ， 12关于 x 的一元二次方程 3x m=0 有两个不相等的实数根，则 m 【考点】 根的判别式 【分析】 若一元二次方程有两不等根，则根的判别式 =40，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围 【解答】 解： 方程有两个不相等的实数根， a=1， b= 3， c= m =4 3） 2 41（ m） 0， 解得 m ， 故答案为： m 【点评】 考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 13某款手机连续 两次降价，售价由原来的 1100 元降到了 891 元设平均每次降价的百分率为 x，则可列出方程 1100（ 1 x） 2=891 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】 增长率问题 【分析】 设平均每次降价的百分率为 x，则第一次降价后售价为 1100（ 1 x），第二次降价后售价为 1100（ 1 x） 2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可 【解答】 解：设平均每次降价的百分率为 x，由题意得 1100（ 1 x） 2=891 故答案为： 1100（ 1 x） 2=891 【点评】 本题考查从实际问题中抽象出一元二次方 程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（ 1x）2=b 14如图，在 ，点 D 是 中点，点 G 为 重心， ，则 【考点】 三角形的重心 【分析】 根据三角形的重心的性质求出 长，结合图形计算即可 【解答】 解： 点 G 为 重心， ， G+， 故答案为： 6 【点评】 本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点 的距离是它到对边中点的距离的 2 倍 15如图，已知 ， ， ，则 0 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可 【解答】 解： = ，即 = ， 解得 0， 故答案为： 10 【点评】 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键 16如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高 在地面上的影长为 小芳比他爸爸矮 她的影长 为 【考点】 平行投影 【分析】 根据实物与影子的比相等可得小芳的影长 【解答】 解： 爸爸身高 芳比他爸爸矮 小芳高 设小芳的影长为 x= 解得 x= 小芳的影长为 【点评】 解决本题的关键是理解阳光下实物的影长与影子的比相等 17在 ， P 是 的动点（ P 异于 A、 B），过点 P 的直线截 截得的三角形与 似，我们不妨称这种直线为过点 P 的 相似线，简记为 P（ （ 1）如图 ， A=90， B= C，当 ， P（ P（ 是过点 P 的 中 此外，还有 1 条； （ 2）如图 ， C=90， B=30，当 = 或 或 时， P（ 得的三角形面积为 【考点】 相似三角形的判定与性质 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1）过点 P 作 Q，则 条相似线； （ 2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线总共有 4 条，注意不要遗漏 【解答】 解：（ 1）存在另外 1 条相似线 如图 1 所示，过点 P 作 Q，则 故答案为： 1； （ 2）设 P（ 得的三角形面积为 S， S= S 相似比为 1： 2 如图 2 所示，共有 4 条相似线： 第 1 条 时 P 为斜边 点， = ； 第 2 条 时 P 为斜边 点， = ； 第 3 条 时 对应边，且 = ， = = ； 第 4 条 时 对应边，且 = ， = = ， = 故答案为： 或 或 【点评】 本题引入 “相似线 ”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏 三、解答题（共 89 分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答 18计算： |2|+（ 3） 0 +42 1 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【分析】 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用二次根式的除法法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =2+1 2+2=3 【点评】 此题考查了实数 的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19先化简，再求值：（ a+2） 2+a（ a 4），其中 【考点】 整式的混合运算 化简求值 【专题】 计算题 【分析】 先将题目中式子展开，然后合并同类项，即可对原式进行化简，然后将 代入化简后的式子即可解答本题 【解答】 解：（ a+2） 2+a（ a 4） =a+4+4a =2 当 时， 原式 = =22+4=4+4=8 【点评】 本题考查整式的混合运算化简求值，解题的关键是明确完全平方和公式和合并同类项的方法 20解方程： x（ x 6） =2（ x 6） 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 先移项得到 x（ x 6） 2（ x 6） =0，然后利用因式分解法解方程 【解答】 解： x（ x 6） 2（ x 6） =0， （ x 6）（ x 2） =0， x 6=0 或 x 2=0 所以 ， 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化 为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 21已知关于 x 的一元二次方程 6x+k=0 的一根为 2，求方程的另一根及 k 的值 【考点】 一元二次方程的解 【专题】 计算题 【分析】 设方程的另一根为 据根与系数的关系得 2+， 2x2=k，然后先求出 计算 k 的值 【解答】 解：设方程的另一根为 韦达定理，得： 2+， 2x2=k， 解得 ， k=8 所以方程的另一根为 4， k 的值为 8 【点评】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方 程的解也考查了根与系数的关系 22已知： ， A=36， C， 分 点 O，试说明： 【考点】 相似三角形的判定；等腰三角形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】 根据等腰三角形底角相等的性质即可求得 C 和 度数，根据 度数，即可判定 可解题 【解答】 解： C， C= =72， 角平分线， =36， A， 又 C= C， 【点评】 本题考查了等腰三角形底角相等的性质，考查了三角形内角和定理，考查了角平分线的性质，本题中求证 A 是解题的关键 23如图所示，以 顶点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系， A、 B 的坐标分别为A（ 2， 3）、 B（ 2， 1），在网格图中将 下列变换，画出相应的图形，并写出三个对应顶点的坐标： （ 1）将 上平移 5 个单位，得 （ 2）以点 O 为位似中心，在 x 轴的下方将 大为原来的 2 倍，得 【考点 】 坐标与图形变化 图 【分析】 （ 1）将点 O、 A、 B 分别向上平移 5 个单位，得 次连接这三点即可； （ 2）延长 的对应点，同理作出 A 的对应点， O 的对应点是自身即可作出所求的三角形 【解答】 解：（ 1）如图所示： 0， 5）， 2， 2）， 2， 4）， （ 2）如图所示： O（ 0， 0）， 4， 6）， 4， 2）， 【点评】 本题考查了画位似图形与图形的平移的作图，都是需要掌握的基本题型画位似图形的一般步骤为： 确 定位似中心， 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形 24某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元，经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 个定价每增加 1 元，销售量净减少 10 个；定价每减少 1 元，销售量净增加 10 个因受库存的影响，每批次进货个数不得超过 180 个 （ 1）商店若将准备获利 2000 元，则定价应增加多少元？ （ 2）若商店要获得最大利润，则应进货多少台？最大利润是多少？ 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）利用销售利润 2000=售价进价，进而求出即可； （ 2）利用销售利润 =售价进价，根据题中条件可以列出利润与 x 的关系式，求出即可 【解答】 解：（ 1）设每个小家电的增加是 x 元， 由题意，得（ 52+x 40）（ 180 10x） =2000， 解得 ， 2 180 10x180， x0， x=8， 答：定价应增加 8 元； （ 2）设所获利润为 W 元，依据题意可得： W=（ 52+x 40）（ 180 10x） = 100x+2160 = 10（ x 3） 2+2250 当且当 x=3 时， W 有最大值 2250 元， 180 10x=150， 答：商店进货 150 台，最大利润是 2250 元 【点评】 此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键 25（ 13 分）已知一个矩形纸片 该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（ 11， 0），点 B（ 0， 6），点 P 为 上的动点（点 P 不与点 B、 C 重合），经过点 O、 P 折叠该纸片，得点 B和折痕 BP=t （ ）如图 ，当 0时，求点 P 的坐标； （ ）如图 ， 经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 ，得点 C和折痕 AQ=m，试用含有 t 的式子表示 m； （ ）在（ ）的条件下，当点 C恰好落在边 时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可） 【考点】 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 【专题】 几何综合题；压轴题 【分析】 （ ）根据题意得， 0， ，在 ，由 0， BP=t，得 t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案； （ ）由 、 分别是由 叠得到的，可知 证得 后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案； （ ）首先过点 P 作 E，易证得 C勾股定理可求得 CA 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与 m= ，即可求得 t 的值 【解答】 解：（ ）根据题意， 0， ， 在 ，由 0， BP=t，得 t 即（ 2t） 2=62+ 解得 ： ， 2 （舍去） 点 P 的坐标为（ ， 6） （ ） 、 分别是由 叠得到的， 80， 0， 0， 又 C=90， ， 由题意设 BP=t， AQ=m， 1， ，则 1 t， m m= （ 0 t 11） （ ）过点 P 作 E， 90， + 90， + =90， ， C ， 1 t， B=6， AQ=m， CQ= m， = ， ， ， 3（ 6 m） 2=（ 3 m）（ 11 t） 2， m= ， 3（ t） 2=（ 3 t 6）（ 11 t） 2， 11 t） 2=（ t 3）（ 11 t） 2， t 3， 322t+36=0， 解得： ， ， 点 P 的坐标为（ ， 6）或（ ， 6） 法二： 1 t， 过点 P 作 点 E， 则 O=6， P=t， 11 2t， 在 ， C2=， 即（ 11 t） 2=62+（ 11 2t） 2， 解得： ， 点 P 的坐标为（ ， 6）或（ ， 6） 【点评 】 此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用 26（ 13 分）类比等腰三角形