复变函数期末复习提纲 习题详解PPT课件.pptx

1 一 重点与难点 重点 难点 1 复数运算和各种表示法 2 复变函数以及映射的概念 1 复数方程表示曲线以及不等式表示区域 2 映射的概念 第一章复数与复变函数 2 1 复数的概念 2 复数的代数运算 1 两复数的和 2 两复数的积 3 两复数的商 3 4 共轭复数 课后习题 4 3 复数的其它表示法 1 几何表示法 复数的模 或绝对值 2 向量表示法 模的性质 三角不等式 5 复数的辐角 6 辐角的主值 7 3 三角表示法 课后习题 8 4 复数的乘幂与方根 1 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 则有 9 几何意义 10 两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 则有 11 2 幂与根 a n次幂 b 棣莫佛公式 课后习题 12 5 曲线与区域 1 邻域 2 内点 4 区域 3 开集 如果平面点集D满足以下两个条件 则称它为一个区域 a D是一个开集 b D是连通的 即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来 13 5 边界点 边界 7 有界区域和无界区域 8 简单曲线 9 光滑曲线 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集 简单闭曲线的性质 10 单连通域与多连通域 从几何上看 单连通域就是无洞 无割痕的域 14 解 无界的单连通域 如图 15 是角形域 无界的单连通域 如图 无界的多连通域 16 表示到1 1的距离之和为定值4的点的轨迹 是椭圆 有界的单连通域 17 7 复变函数的概念 1 复变函数的定义 2 映射的定义 函数极限的定义 8 复变函数的极限 注意 18 1 连续的定义 9 复变函数的连续性 连续的充要条件 19 一 重点与难点 第二章解析函数 重点 难点 1 解析函数的概念 2 函数解析性的判别 1 解析函数的概念 2 初等函数中的多值函数及主值的概念 20 1 导数的定义 1 复变函数的导数与微分 21 2 可导与连续 函数f z 在z0处可导则在z0处一定连续 但函数f z 在z0处连续不一定在z0处可导 3 求导公式与法则 22 23 1 定义 2 解析函数 24 c 所有多项式在复平面内处处解析 2 性质 25 3 可导与解析的判定 26 27 4 解析函数的判定方法 课后习题 28 3 初等解析函数 1 指数函数 指数函数的定义等价于关系式 课后习题 29 1 若 则 练习题 30 2 三角函数 31 4 对数函数 因此 课后习题 32 5 幂函数 33 一 重点与难点 第三章复变函数的积分 重点 难点 1 复积分的基本定理 2 柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算 34 1 有向曲线 2 积分的定义 3 积分存在的条件及计算 1 化成线积分 2 用参数方程将积分化成定积分 35 练习题 36 4 积分的性质 37 38 6 原函数的定义 牛顿 莱布尼兹公式 39 7 闭路变形原理 一个解析函数沿闭曲线的积分 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值 那末 40 41 8 柯西积分公式 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 42 9 高阶导数公式 43 10 调和函数和共轭调和函数 任何在D内解析的函数 它的实部和虚部都是D内的调和函数 44 定理区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数 共轭调和函数 课后习题 45 一 重点与难点 第四章级数 重点 难点 函数展开成泰勒级数与洛朗级数 函数展开成洛朗级数 46 1 复数列的极限 记作 47 表达式 称为复数项无穷级数 其最前面项的和 称为级数的部分和 部分和 2 复数项级数 1 定义 48 2 复级数的收敛与发散 充要条件 必要条件 49 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数 3 复级数的绝对收敛与条件收敛 如果收敛 那末称级数为绝对收敛 绝对收敛条件收敛 课后习题 50 称为这级数的部分和 3 复变函数项级数 其中各项在区域D内有定义 表达式 称为复变函数项级数 记作 51 4 幂级数 1 在复变函数项级数中 形如 的级数称为幂级数 52 53 此时 级数在复平面内除原点外处处发散 对于一个幂级数 其收敛半径的情况有三种 对所有的正实数都收敛 即级数在复平面内处处收敛 3 收敛圆与收敛半径 54 55 方法1 比值法 方法2 根值法 4 收敛半径的求法 那末收敛半径 那末收敛半径 56 5 幂级数的运算与性质 57 2 幂级数的代换 复合 运算 58 3 在收敛圆内可以逐项积分 即 或 59 5 泰勒级数 其中 泰勒级数 泰勒展开式 60 2 常见函数的泰勒展开式 61 62 6 洛朗级数 定理 1 63 某一圆环域内的解析函数展开为含有正 负幂项的级数是唯一的 这就是f z 的洛朗级数 64 2 将函数展为洛朗级数的方法 1 直接展开法 65 一 重点与难点 第五章留数 重点 难点 1 孤立奇点类别的判定 留数定理在定积分计算上的应用 2 留数的计算与留数定理 66 1 孤立奇点的概念与分类 2 孤立奇点的分类 内的洛朗级数的情况分为三类 i 可去奇点 ii 极点 iii 本性奇点 67 i 可去奇点 68 ii 极点 69 极点的判定方法 在点的某去心邻域内 其中在的邻域内解析 且 b 由定义的等价形式判别 70 iii 本性奇点 71 3 函数的零点与极点的关系 72 解 注意 不能以函数的表面形式作出结论 73 2 留数 74 75 2 留数的计算方法 如果为的一级极点 那末 规则1 76 如果为的级极点 规则2 那末 规则3 如果 的一级极点 且有 课后习题 77 3 留数在定积分计算上的应用 1 三角函数有理式的积分 正方向绕行一周 78 课后习题 79 2 无穷积分 其中有理函数R x 的分母至少比分子高两次 并且分母在实轴上无孤立奇点 80 3 混合型无穷积分 其中R x 是x的有理函数而分母的次数至少比分子 的次数高一次 并且R z 在实轴上无孤立奇点 课后习题 81 特别地 82 一 重点与难点 第六章共形映射 重点 难点 分式线性变换及其映射特点 解析函数导数的几何意义 83 1 解析函数导数的几何意义 说明 转动角的大小与方向跟曲线C的形状无关 映射w f z 具有转动角的不变性 结论 方向不变的性质 此性质称为保角性 84 结论 方向无关 所以这种映射又具有伸缩率的不变性 85 质 1 保角性 2 伸缩率不变性 定理一 86 2 共形映射 定义 定理二 87 称为分式线性映射 3 分式线性映射 说明 2 分式线性映射的逆映射 也是分式线性映射 3 两分式线性映射