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常微分方程总复习 内容总结 绪论一阶常微分方程的初等解法一阶常微分方程初值问题解的基本理论高阶线性方程一阶线性微分方程组非线性微分方程 稳定性 绪论 内容总结 微分方程 常微分方程 初值问题 Cauchy问题 方程的解 通解 特解 积分曲线 线素 线素场 微分方程和解的几何意义 几个常见的微分方程模型 基本要求 1 熟练掌握微分方程的所有基本概念 2 会针对一些简单的背景建立微分方程模型并求解 一阶常微分方程的初等解法 内容总结 变量可分离方程 齐次方程 齐次的扩展类型 一阶线性方程 Bernoulli方程 恰当方程 积分因子 一阶隐方程 四种可解类型 变量代换 基本要求 1 熟练掌握所有基本可解类型 必考 2 会使用一阶线性方程的通解公式证明有关结论 3 会解简单的积分方程 一阶常微分方程初值问题解的基本理论 内容总结 一阶初值问题的存在及唯一性定理 解的延拓定理 解对初值连续依赖性定理 连续性定理 解对初值的可微性定理 基本要求 1 熟练掌握存在定理 会完整阐述 掌握Picard逐次逼近法的基本过程 五个命题 2 掌握解的延拓定理 会完整叙述 弄清不同的区域形态下延拓的最终情况 3 会阐述解对初值的连续依赖性定理和连续性定理 4 会阐述解对初值的可微性定理 会写出解对初值的偏导数公式 高阶线性微分方程 内容总结 n阶线性微分方程的形态 齐次方程 非齐次方程齐次方程解的叠加性 函数的线性相关性 Wronsky行列式 W行列式判定函数相关性 齐线性方程的基本解组和通解结构 非齐次线性方程解的叠加原理 非齐方程通解结构解 常数变易法复值函数定义 分析性质 运算法则 复指函数的定义性质 Euler公式 常系数线性方程的基本解组求法 特别重要 Euler方程常系数非齐次线性方程的求解 两种特殊的非齐次项 待定系数法和复值函数法几种特殊的高阶方程的降阶 二阶线性方程的降阶 重点 二阶线性方程的幂级数解法 了解 基本要求 熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解结构熟练掌握常系数齐线性方程的求解 包括Euler方程 熟练掌握具有特殊类型非齐次项的非齐次线性方程的求解 待定系数法 复值函数法 熟练掌握二阶线性方程的降价公式 得到一个非零解的前提下求出另一个线性无关的解 幂级数解法 了解即可 一阶线性微分方程组 内容总结 一阶线性微分方程组的形态 矩阵表示 高阶线性方程转化为等价的线性方程组齐线性方程组的通解结构 基解矩阵 通解表示 基解矩阵的有关性质非齐线性方程组的通解结构 常数变异公式 通解公式 特解公式矩阵指数 矩阵指数的性质常系数齐线性方程组的基解矩阵计算 重点 常系数非齐次线性方程组的求解 基本要求 熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解结构熟练掌握常系数齐线性方程基解矩阵的求解 重点 熟练掌握较简单的常系数非齐次线性方程的求解 试卷结构 填空题20分1 基本概念 2 基本结论计算题50 60分各种类型的微分方程的求解 7 9题 应用题10分左右常微分方程建模并求解证明题10分左右 微分方程复习 1 基本概念 微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶 微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解 1 基本概念 线性微分方程 当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时 微分方程就称为线性微分方程 在线性微分方程中 若未知函数及其各阶导数的系数全是常数 则称这样的微分方程为常系数线性微分方程 通解如果微分方程的解中含有任意常数 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 特解确定了通解中的任意常数以后得到的解 叫做微分方程的特解 初始条件用来确定任意常数的条件 初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题 叫初值问题 1 基本概念 1 可分离变量的微分方程 2 一阶微分方程的解法 2 一阶微分方程的解法 2 齐次方程 解法 作变量代换 齐次方程 其中h和k是待定的常数 否则为非齐次方程 3 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程 2 一阶微分方程的解法 4 一阶线性微分方程 方程称为齐次的 方程称为非齐次的 齐次方程的通解为 1 2 一阶微分方程的解法 2 非齐次微分方程的通解为 5 伯努利 Bernoulli 方程 方程为线性微分方程 方程为非线性微分方程 2 一阶微分方程的解法 解法经过变量代换化为线性微分方程 例3 3 可降阶的高阶微分方程的解法 解法 型 接连积分n次 得通解 3 可降阶的高阶微分方程的解法 特点 型 解法 代入原方程 得 3 可降阶的高阶微分方程的解法 3 可降阶的高阶微分方程的解法 特点 型 解法 3 可降阶的高阶微分方程的解法 例6 解 代入方程 得 故方程的通解为 3 可降阶的高阶微分方程的解法 1 二阶齐次方程解的结构 4 线性微分方程解的结构 2 二阶非齐次线性方程的解的结构 例7 解 由题设可得 解此方程组 得 原方程为 由解的结构定理得方程的通解为 二阶常系数齐次线性方程解法 n阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法 特征方程为 二阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 推广 阶常系数齐次线性方程解法 二阶常系数齐次线性方程解法 二阶常系数非齐次线性微分方程解法 二阶常系数非齐次线性方程 解法待定系数法 二阶常系数非齐次线性微分方程解法 二 典型例题 例1 解 原方程可化为 代入原方程得 分离变量 两边积分 所求通解为 二 典型例题 例2 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程的通解为 设原方程的特解为 二 典型例题 原方程的一个特解为 故原方程的通解为 二 典型例题 解得 所以原方程满足初始条件的特解为 二 典型例题 例3 解 特征方程 特征根 对应的齐方的通解为