2012年全国初中数学竞赛(河南赛区)预赛试卷.doc

2012年全国初中数学竞赛（河南赛区）预赛试卷一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（6分）在1，3，6，9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是（）A2，3，1B2，2，1C1，2，1D2，3，22（6分）已知一次函数y=（m+1）x+（m1）的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是（）Am1Bm1Cm1Dm13（6分）如图，在O中，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AOBD；（3）当BDC=30时，DAB=80其中正确的个数是（）A0B1C2D34（6分）有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是（）ABCD5（6分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，3），点C是y轴上一动点，要使ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共有（）A2个B3个C4个D5个6（6分）已知二次函数y=2x2+bx+1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是（）Ay=2x2+1By=x2+1Cy=4x2+1Dy=x2+1二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7（6分）若mn=2，则2m24mn+2n21的值为_8（6分）方程=的解是_9（6分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90得到线段BA，则点A的坐标是_10（6分）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为_11（6分）已知、是方程x2+2x1=0的两根，则3+5+10的值为_12（6分）现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有_个三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13（15分）王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？14（15分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是（5，0）、（3，2），点D在线段OA上，BD=BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是（0，3），设直线PQ的解析式为y=kx+b（1）求k的取值范围；（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线y=ax25ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围15（18分）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90点B是上一动点，BAOM于点A，BCON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连接PQ，试说明3PQ2+OA2是定值2012年全国初中数学竞赛（河南赛区）预赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（6分）在1，3，6，9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是（）A2，3，1B2，2，1C1，2，1D2，3，2解答：解：完全平方数有1，9，共两个；奇数有1，3，9，共三个；质数有3，共一个故选A点评：此题考查了奇数、质数、完全平方数的知识，解答本题的关键是掌握三者的定义，属于基础题，难度一般2（6分）已知一次函数y=（m+1）x+（m1）的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是（）Am1Bm1Cm1Dm1解答：解：一次函数y=（m+1）x+（m1）的图象经过一、二、三象限，m+10且m10，m1故选C点评：本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数y=kx+b（k0）图象，当k0，图象经过第一、三象限；当k0，图象经过第二、四象限；当b0，图象与y轴的交点在x轴上方；当b=0，图象过原点；当b0，图象与y轴的交点在x轴下方3（6分）如图，在O中，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AOBD；（3）当BDC=30时，DAB=80其中正确的个数是（）A0B1C2D3解答：解：连接OB，OD，延长AO与BD交于点E，如图所示：，DC=AB；，AB=AD，AO是半径，OB=OD，ABOADO（SSS），DAO=BAO，又AB=AD，AEBD，即AOBD；=2，C=2DBC，设DBC=x，则C=2DBC=2x，由DBC的内角和为180得：3x+30=180，解得：x=50，C=100，DAB=80；故选D点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系；解题的关键是根据已知条件和三角形内角和等于180度进行解答，比较容易4（6分）有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是（）ABCD解答：解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是故选B点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=5（6分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，3），点C是y轴上一动点，要使ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共有（）A2个B3个C4个D5个考点：等腰三角形的判定；勾股定理1418563分析：首先根据题意求得AB的长，直线AB的解析式，然后以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，AB的中垂线交y轴于点C5，即可求得答案解答：解：点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，3），AB=5，如图，以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，OC1=OC2=2，可得C1（0，2），C2（0，2）；以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，可得C3（0，1），C4（0，7）；AB的中垂线交y轴于点C5，设直线AB的解析式为：y=kx+b，解得：，直线AB的解析式为：y=x，OE=，AE=，DE=，DEC5OEA，DE：OE=EC5：AE，EC5=，OC5=，C5（0，）符合要求的点C的为：C1（0，2），C2（0，2），C3（0，1），C4（0，7），C5（0，）故选D点评：此题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质等知识此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用6（6分）已知二次函数y=2x2+bx+1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是（）Ay=2x2+1By=x2+1Cy=4x2+1Dy=x2+1考点：二次函数的性质1418563分析：首先利用b抛物线的顶点坐标，然后变形即可得到所求抛物线的解析式解答：解：y=2x2+bx+1的顶点坐标是（，），设x=，y=，b=4x，y=12x2所求解析式为：y=12x2故选A点评：此题主要考查了二次函数的性质，首先利用抛物线的顶点坐标公式，然后进行代数变形即可求解二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7（6分）若mn=2，则2m24mn+2n21的值为7考点：因式分解的应用1418563分析：先将原式变形为2（m22mn+2n2）1=2（mn）21，再把mn=2代入变形的式子就可以求出其值了解答：解：原式=2（m22mn+2n2）1，=2（mn）21mn=2，原式=241=7故答案为：7点评：本题考查了因式分解的运用，结合条件将原式变形为与条件相关的式子，运用了数学的整体思想8（6分）方程=的解是x1=0，x2=4考点：解分式方程1418563分析：首先将分式变形得出原式=+=，进而求出即可解答：解：=，+=，=，方程两边同时乘以：3（x+1）（x+3），6=2（x+1）（x+3），x2+4x=0，x（x+4）=0，x1=0，x2=4检验：将x1=0，x2=4分别代入（x+1）（x+3）得，（x+1）（x+3）0，分式方程的解为：x1=0，x2=4；故答案为：x1=0，x2=4点评：此题主要考查了分式方程的解法，将原式化简为=是解题关键9（6分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90得到线段BA，则点A的坐标是（b+1，a+1）考点：坐标与图形变化-旋转1418563专题：常规题型分析：过点A作ACx轴，过点A作ADx轴，垂足分别为C、D，根据旋转变换的性质可得ABC与ABD全等，再结合图形根据全等三角形对应边相等求出OD、AD的长度，然后根据点A在第四象限写出即可解答：解：过点A作ACx轴，过点A作ADx轴，垂足分别为C、D，显然RtABCRtABD，点A的坐标为（a，b），点B的坐标是（1，0），OD=OB+BD=OB+AC=1+b，AD=BC=OCOB=a1，点A在第四象限，点A的坐标是（b+1，a+1）故答案为：（b+1，a+1）点评：本题考查了坐标与图形的变化，作出全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点A到坐标轴的长度是解题的关键10（6分）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为2考点：平移的性质1418563分析：连接MN，将扇形AED向右平移可与扇形MBN重合，则图中阴影部分的面积等于矩形AMND的面积解答：解：连接MN，则扇形AED的面积=扇形MBN的面积又扇形AED的面积+阴影部分的面积=扇形MBN的面积+矩形AMND的面积，阴影部分的面积=矩形AMND的面积=21=2故答案为2点评：考查了平移的性质和矩形的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积11（6分）已知、是方程x2+2x1=0的两根，则3+5+10的值为2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解1418563分析：根据一元二次方程的解的定义，求得3=2；然后利用根与系数的关系推知+=2；最后将所求的代数式转化为含有（+）形式的代数式，将代入其中便可求得3+5+10的值解答：解：是方程x2+2x1=0的根，2=12，3=2=（12）=52，又+=2，3+5+10=（52）+5+10=5（+）+8=5（2）+8=2；故答案是：2点评：本题综合考查了一元二次方程的解的定义、根与系数的关系将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法12（6分）现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有36个考点：抽屉原理1418563分析：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上，则4x+1145，进而求出答案即可解答：解：现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，每个小朋友至少分4个棒棒糖，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上，则4x+1145，解得x36，所以小朋友的人数最多有36个故答案为：36点评：此题主要考查了抽屉原理，根据已知得出每个小朋友至少分4个棒棒糖进而得出4x+1145进而求出是解题关键三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13（15分）王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？考点：二元一次方程的应用1418563专题：应用题分析：此题王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前故应分两种情况，可设王亮出生年份的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为09的整数），根据已知列出二元一次方程，通过分析讨论得出王亮今年可能是多少周岁解答：解：设王亮出生年份的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为09的整数）王亮的爷爷今年80周岁了，王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前故应分两种情况：2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为2000+10x+y，依题意，得 2012（2000+10x+y）=2+0+x+y，整理，得 y= x、y均为09的整数，x=0，此时y=5，王亮的出生年份是2005年，今年7周岁8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为1900+10x+y，依题意，得 2012（1900+10x+y）=1+9+x+y，整理，得11x=1022y，故x为偶数，又y=，09，7x9，x=8，此时y=7，王亮的出生年份是1987年，今年25周岁 14分综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁15分点评：此题考查的知识点是二元一次方程的应用，关键是分两种情况得出二元一次方程，由整数得出结论14（15分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是（5，0）、（3，2），点D在线段OA上，BD=BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是（0，3），设直线PQ的解析式为y=kx+b（1）求k的取值范围；（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线y=ax25ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围考点：二次函数综合题1418563专题：综合题分析：（1）根据点P的坐标求出b的值，再根据对称性结合点A、B的坐标求出点D的坐标，然后利用待定系数法求出BD的解析式，联立直线BD与PQ的解析式，根据x的值在1到3之间列出不等式求解即可；（2）根据（1）的结论求出k值，再根据抛物线的对称轴x=求出对称轴解析式，然后求出顶点坐标，再求出直线PQ与对称轴的交点坐标，然后根据顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部列式求解即可解答：解：（1）直线y=kx+b经过P（0，3），b=3，B（3，2），A（5，0），BD=BA，点D的坐标是（1，0），BD的解析式是y=x1（1x3），依题意，得，x=，13，解得3k；（2）3k，且k为最大整数，k=1，则直线PQ的解析式为y=x+3，又x=，=a，抛物线y=ax25ax的顶点坐标是（，a），对称轴为x=，解方程组，得，即直线PQ与对称轴为x=的交点坐标为（，），a2，解得a点评：本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求直线的解析式，两直线交点的求解方法，不等式组的求解，以及二次函数的性质，顶点坐标，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解15（18分）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90点B是上一动点，BAOM于点A，BCON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连接PQ，试说明3PQ2+OA2是定值考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；平行四边形的判定；矩形的判定1418563专题：几何综合题分析：（1）由BAOM，BCON，AOC=90，可判定四边形OABC是矩形，即可得ABOC，AB=OC，又由E、G分别是AB、CO的中点，即可得四边形AECG为平行四边形，连接OB，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，根据三角形中位线的性质，即可得PGEQ，即可判定四边形EPGQ是平行四边形；（2）由当CED=90时，EPGQ是矩形，易得AEDBCE，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得OA的长；（3）连接GE交PQ于O