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第2章微分学中值定理及其应用 习题课 1 课堂练习 举例 主要内容 Rolle定理 Lagrange中值定理 常用的泰勒公式 Cauchy中值定理 Taylor中值定理 Fermat定理 主要内容 分析 设 欲证 使 只要证 亦即 证明作辅助函数 验证 在 上 满足罗尔定理条件 课堂练习 证明反证法 由第1题 若将第1题改为 提示 证明 因此至少存在 显然 在上满足罗尔定理条件 即 设辅助函数 使得 证明第2题的特殊情况 n 2 证明 不妨设 分析 所给条件可写为 想到找一点c 使 证明 因f x 在 0 3 上连续 所以在 0 2 上连续 且在 0 2 上有最大值M与最小值m 故 由介值定理 至少存在一点 由罗尔定理知 必存在 证明 6 试证至少存在一点 使 法1令 则f x 在 1 e 上满足罗尔中值定理条件 使 因此存在 7试证至少存在一点 使 证 法2用柯西中值定理 则f x F x 在 1 e 上满足柯西中值定理条件 令 因此 即 分析 证明 欲证 因f x 在 a b 上满足L 中值定理条件 故有 将 代入 化简得 故有 即要证 证 例1 举例 两式相减 则有 例2 证明 两式相减 得 令h 0 两边取极限 利用f a 的连续性得 有关中值问题的解题方法小结 利用逆向思维 设辅助函数 一般解题方法 证明含一个中值的等式或根的存在 2 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 3 若结论中含两个或两个以上的中值 可用原函数法找辅助函数 多用罗尔定理 可考虑用 柯西中值定理 必须多次应用 中值定理 4 若已知条件中含高阶导数 多考虑用泰勒公式 5 若结论为不等式 多半用Taylor和lagrange公式 要注意适当放大或缩小的技巧 有时也可考虑对导数用中值定理 第2章导数应用 习题课 2 课堂练习 举例 主要内容 主要内容 1 研究函数的性态 增减 极值 凹凸 拐点 渐近线 2 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3 其他应用 证明不等式 研究方程实根等 1 可导函数单调性判别 在I上严格单调递增 在I上严格单调递减 在I上单调递增 在I上单调递减 2 连续函数的极值 1 极值可疑点 使导数为0或不存在的点 2 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 3 第二充分条件 为极大值 为极小值 3 在 a b 上连续的函数f x 的最大 小 值求法 求函数最值的方法 1 求在内的极值可疑点 2 最大值 最小值 注意 如果区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 最大值或最小值 4 连续曲线凹凸与拐点 1 凸 凹 函数的定义 2 凸函数的判定 判定法则1 判定法则2 判定法则3 3 拐点的定义及判定法 拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 过 由正变负或
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