2010年安通学校GCT数学内部讲义5.doc

四、函数1定义 自变量的取值范围叫做函数的定义域。考点：常见的一些函数的定义域：1）函数的定义域是；2）函数的定义域是；3）函数（）的定义域是。例1 （1）函数的定义域是。（2）函数的定义域是（）A B C D例2 （1）设函数的定义域为区间，且，则函数的定义域是区间（）A B C D (2)已知函数的定义域为，求函数的定义域由 得的定义域为。(3)设函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）A B C D例3 已知, 求的表达式解：令 得 ，故。例4 已知，求的表达式解：根据 得 ，即，从而 。例5 已知函数，则（）A、 B、 C、 D、例6 设，求的表达式解：根据得 ，解方程组得，令 得 ，所以。212101-1例7 函数是定义在上的周期为3的周期函数,图3表示的是该函数在区间上的图像,则的值等于( ) A B. 0 C.2 D. 4分析：本题考察周期函数的函数值的问题。由图像知，且所以，。2函数的四个性质（几何性质）（1）函数的单调性（函数的增减性）定义 设函数在区间内有定义，在区间内任取两个点，当时,恒有，则称函数在区间上是增函数；当时,恒有,则称在区间上是减函数。如果函数在区间上是增函数或减函数，就说函数在该区间上具有单调性，此区间叫做的单调区间。特点：增函数图象的曲线从左向右上升，减函数图象的曲线从左向右下降。（2）函数的奇偶性（函数图像的对称性）定义 设函数在内有定义（定义域D要关于原点对称），如果对于区间内的任意点，恒有，则称为内的偶函数；如果恒有，则称为内的奇函数。特点：偶函数关于轴对称，奇函数关于原点对称。（3）函数的周期性（图像重复出现性）定义 给定函数，若存在常数，对于任意的，恒有，则称 为周期函数。最小正数称为的最小正周期。如： ，周期为；周期为。（4）函数的有界性（变化过程有阻挡）定义 设函数在区间内有定义，如果存在常数，对于任意的都有，则称在内是有界函数。否则称为无界函数。常见的有界函数：， 例8 研究下列函数的奇偶性（1），解：因为对任意的，都有定义，且，所以是奇函数。（2）解：因为，所以函数是奇函数。（3）偶函数例9 已知函数的周期是，求函数的周期解：欲找，使得，即 ，故，。所以函数的周期为。3. 反函数1） 2）原函数的定义域是反函数的值域；原函数的值域是反函数的定义域。3）互为反函数的两个函数，其图像一定关于直线对称。如：与互为反函数。（且）注意：与的图像是一样的。4. 正比例函数 (1)表达式 （），定义域为(2)图像：过原点的一条直线.(3)性质：1)当时，图象在第一、三象限内，且随的增大而增大；当时，图象在第二、四象限内，且随的增大而减小。2）越小，图像越接近于轴；越大，图像越远离轴。3)它是一个奇函数。5.一次函数（1）表达式 （为常数，），为轴上的截距。定义域为。若，则一次函数就是正比例函数。（2）图像：过点求平行于直线的一条直线。（3）性质：1)当时， 随的增大而增大；当时，随的增大而减小。2）越小，图像越接近于经过点的轴的平行线；越大，图像越远离经过点的轴的平行线。例10 已知为一次函数，且，则。6.反比例函数(1)表达式 （）， 定义域为（2）图像：双曲线。（3）性质：1)当时，函数图象的两个分支分别分布在第一、三象限内，且每一个分支，随的增大而减小；当时，函数图象的两个分支分别分布在第二、四象限内，且每一个分支，随的增大而增大。2）以轴为渐近线（两个分支都无限接近但永远也不能达到轴或轴。）3)它是一个奇函数。例11 已知P为反比例函数图像上的一点，过P分别作两坐标轴的平行线，交ox轴于M，交oy轴于N，则的面积为A. B.1 C. D. 分析：如图，的面积为，即正确选项为C。7.二次函数（1）表达式 （）， 定义域为。（2）图像：为开口向上的抛物线，为开口向下的抛物线。（3）顶点式 ，顶点，对称轴。-1015-59当时，时取得最小值，值域为；当时，时取得最大值，值域为。（4）两点式 。（5）二次函数与图象之间的关系 开口方向、形状、大小都相同，但位置不同。例12 （1） 抛物线的顶点坐标是，对称轴是（2）设二次函数的图像交轴于和两点，则该图像的对称轴方程为（ ）A. B. C. D.例13 已知函数的图像是以点为顶点的抛物线，并且这个图像经过点，求的值。例14 函数 在上单增的充要条件是（ ）A且 B且 C且 D且例15 设二次函数 的对称轴为，其图像过点，则（ ）A3 B2 C2 D3 例16 图1直角坐标系中的曲线是二次函数的图像,则( )A B. C. D. 分析：本题考察二次函数的一般表达式，显然图像与轴的交点的横坐标为，和故由二次函数的两点式知道表达式应该为的形式，其中开口向上，故，这样就可以得到答案为B。或者直接由开口向上，直接排除A,C选项，再找个点代入B,D选项就可以得到结果。例17 抛物线的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限分析：本题考察抛物线的图形问题。近几年多次考察。解法一：配方得，顶点为，对称轴为，开口向下的一条抛物线。解法二：特殊值法，取0，得，这是轴负半轴上的点，故肯定过三四象限，再取，得，这是轴正半轴上的点，这样曲线肯定过第一和第四象限，故曲线不过第二象限。本题选B。例18 某人从家到工厂的路程为米。有一天，他从家去工厂，先以每分钟米的速度走了米后，他加快了速度，以每分钟米的速度走完了剩下的路程。记该人在分钟走过的路程为