高三一轮复习平面向量学案.docVIP

考纲解读1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景 (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义(3)理解向量的几何表示2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义(3)了解向量线性运算的性质及几何意义 3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 4.了解平面向量的基本定理及其意义 5.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算6.理解用坐标表示的平面向量共线的条件7.通过实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义8.体会平面向量的数量积与向量投影的关系9.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算10.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.命题探究1.平面向量在数学中作为一种工具性知识出现和应用，是一种数学的独特运算符号，这决定了其在高考考查中的地位，自身基础性的知识考查较为简单，多与其他章节知识相结合，向量作为一种外表修饰，也作为一种运算和表达的新方法，使问题的解决趋于灵活和多样化2.平面向量的基础知识的考查多以填空的形式出现，多与三角形相结合，进行考查长度、角度、平行和垂直如2009年高考山东卷第8题等在解答题中，平面向量的几何运算和坐标运算及符号表示多与三角函数、解析几何相结合进行考查，难度为中等偏上3.预计2011年高考对本部分会以填空题的形式考查平面向量的基本概念及运算，难度一般不大；在解答题中向量依然会作为工具，与圆锥曲线、不等式、三角函数、数列等知识结合，体现知识点的交汇，其综合性强，难度一般在中等偏上知识网络第1课时 平面向量的概念及其线性运算1.考纲点击（1）了解向量的实际背景;（2）理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;（3）理解向量的几何表示;（4）掌握向量加法.减法的运算,并理解其几何意义;（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;（6）了解向量线性运算的性质及其几何意义.2.热点提示（1）重点考查平面向量的有关概念.线性运算及其几何表示;（2）多以选择.填空的形式呈现,有时和其他知识相结合,在知识的交汇点处命题.【考纲知识梳理】1.向量的有关概念及表示方法（1）向量的有关概念名称定义备注向量向量的模零向量记作单位向量平行向量（共线向量）与任一向量平行或共线相等向量相反向量的相反向量为（2）向量的表示方法字母表示法,如：等;几何表示法：用一条有向线段表示向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：.（2）结合律：减法求与的相反向量-的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算注：式子的几何意义为：平行四边形两条对角线的平方和等于它们四条边的平方和.3.向量（）与向量共线的充要条件为存在唯一一个实数,使注：用向量法证明三点A.B.C共线时,首先求出,然后证明,即共线即可（A为公共点）.【热点难点精析】（一）向量的有关概念相关链接1.着重理解向量以下几个方面：（1）向量的模;（2）向量的方向;（3）向量的几何表示;（4）向量的起点和终点.2.判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊情况：（1）零向量的方向及与其他向量的关系;（2）单位向量的长度及方向.例题解析【例1】给出下列命题：有向线段就是向量,向量就是有向线段;若，则ABCD为平行四边形;若则 若且，则其中正确命题的个数是 （ B ）A.0 B.1 C.2 D.3【例2】下列结论中,不正确的是 （ D ）（A） 向量,共线与向量同义;（B） 若向量,则向量与共线;（C） 若向量=,则向量（D） 只要向量,共线，且满足,就有（二）向量的线性运算相关链接（1）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加.减法.数乘向量外,还应充分利用平面几何的一些定理;（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则.三角形法则,利用三角形中位线,相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解.注：若A.为BC的中点（O为BC外一点）,则例题解析【例1】在中,， 交于,边上的中线交于,，用表示向量.答案略变式：在中,延长到,使,在上取点,使.与交于,设用表示向量及向量. 练习：（11年四川理4）如图，正六边形ABCDEF中，= ( ) A BC D【答案】D【解析】（三）向量的共线问题【例2】设两个非零向量与不共线,（1） 若求证：A.B.D三点共线;（2） 试确定实数k,使和共线。答案(k=1或k=-1)练习：（11年山东理12）设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（R），（R），且,则称，调和分割，,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是AC可能是线段AB的中点 BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上 DC，D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示1.考纲点击（1）了解平面向量的基本定理及其意义;（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;（3）会用坐标表示平面向量的加法.减法与数乘运算;（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.热点提示（1）向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点,常以选择.填空题的形式出现,为中.低档题;（2）向量的坐标运算常与三角,解析几何等知识结合,在知识交汇点处命题,以解答题的形式呈现,属中档题.【考纲知识梳理】1.两个向量的夹角（1）定义已知两个非零向量和,作,则_叫做向量与的夹角.（2）范围向量夹角的范围是_,与同向时,夹角_;与反向时,夹角_.（3）向量垂直如果向量与的夹角是900,则与垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理定理：如果是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使_.其中,不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（2）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.（3）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴.y轴方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内的一个向量,有且只有一实数x,y,使,把有序数对（x,y）叫做向量的坐标,记作=（x,y）,其中x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标.设,则向量的坐标（x,y）就是终点A.的坐标,即若=（x,y）,则A.点坐标为（x,y）,反之亦成立.（O为坐标原点）3.平面向量的坐标运算（1）加法.减法.数乘运算向量+-坐标（2）向量坐标的求法已知,则=_,即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.（3）平面向量共线的坐标表示设=,=,其中0,则与共线= _.【热点难点精析】（一）平面向量基本定理及其应用相关链接1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底,该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合,基底不同,表示也不同;2.对于两个向量,将它们用同一组基底表示,我们可通过分析这两个表示式的关系,来反映与的关系;3.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.注：由于基底向量不共线,所以不能作为一个基底向量.例题解析例如图：在平行四边形中,分别为,的中点,已知试用表示. 答： ，（二）平面向量的坐标运算相关链接1.向量的坐标运算主要是利用加.减.数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用;2.利用向量的坐标运算解题.主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程（组）进行求解;3.利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出线性系数;4.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.例题解析例已知,.设且求：（1）（2）满足的实数m,n;（3）的坐标及向量的坐标.答案略（三）平面向量共线的坐标表示相关链接1.凡遇到与平行有关的问题时,一般地要考虑运用向量平行的充要条件;2.向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线.线平行问题的处理提供了容易操作的方法.解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题.例题解析例1已知当k为何值时,与平行;平行时它们是同向还是反向？答案（k=-,反向）变式：（11年北京理10）已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=_。【答案】1（四）向量与其他知识的综合例已知向量与向量的对应关系用表示.（1）设,求向量与的坐标;（2）求使为常数的向量的坐标;（3）证明：对任意的向量及常数m,n恒有成立.答案：，证明略第3课时 平面向量的数量积及平面向量应用举例1.考纲点击（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义;（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系;（3）掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;（4）能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;（5）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;（6）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2.热点提示（1）平面向量数量积的运算,模与夹角.平行与垂直问题的高考命题的热点,多以选择.填空题的形式出现,属中低档题,但灵活多变;（2）可与三角函数.解析几何等知识综合命题,是高考的另一个热点.【考纲知识梳理】（1）两个非零向量的夹角已知非零向量.与.,作,则_叫与的夹角;（2）数量积的概念已知两个非零向量与,它们的夹角为,则=_叫做与的数量积（或内积）.规定;向量的投影：_,称为向量在方向上的投影.投影的绝对值称为射影;（3）数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积.（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：_.乘法公式成立_;平面向量数量积的运算律交换律对实数的结合律分配律向量的夹角：_.当且仅当两个非零向量与同方向时,=00,当且仅当与反方向时,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量,则=_.（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直,记作.两个非零向量垂直的充要条件：O_,平面向量数量积的性质.（7）平面内两点间的距离公式设,则或.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为.,那么 _(平面内两点间的距离公式).(8) 向量的夹角：_.【热点难点精析】（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题相关链接1.向量的数量积有两种计算方法,一是利用公式=cos来计算,二是利用=来计算,具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法：(1);(2) ;(3)若则.例已知,与的夹角为,求：（1）;（2）.答案略变式：（11年重庆理12）已知单位向量，的夹角为60，则_【答案】（二）平面向量的垂直问题相关链接1.非零向量2.当向量,是非坐标形式时,要把,用已知的不共线的向量表示.注：把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异.例已知向量,（1）求证：（2）若存在不等于0的实数和,使,满足试求此时的最小值.答案：K=t(t+3) 最小值为变式：（11年江苏10）已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为 . 【答案】（三）平面向量的夹角问题相关链接1.当,是非坐标形式时,求,的夹角.需求得及,或得出它们的关系.2.若已知,的坐标,则可直接利用公式注：平面向量,的夹角例已知,都是非零向量,且与垂直,与垂直,求与的夹角.答案：变式：（11年安徽理13）已知向量满足，且，则a与b的夹角为 . 【答案】（四）向量的综合应用例1已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cos，sin），()。(1)若，求角的值； (2)若=1，求的值.解：(1)=(cos3, sin), =(cos, sin3). =。=。由=得sin=cos.又，=.(2)由 =1,得(cos3)cos+sin (sin3)=1 sin+cos=. 又. 由式两边平方得1+2sincos= , 2sincos=, 例2已知定点A(0,1)，B(0,1)，C(1,0)。动点P满足：。(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；(2)当的最大值和最小值。 解：(1)设动点的坐标为P(x,y),则(x,y1)，(x,y+1)，(1x,y)k|2，x2+y21k(x1)2+y2 即(1k)x2+(1k)y2+2kxk1=0。若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线。 若k1，则方程化为：，表示以(,0)为圆心，以为半径的圆。 (2)当k=2时，方程化为(x2)2+y2=1。22(x,y1)(x,y+1)(3x,3y1)，|2|。又x2+y24x3，|2|(x2)2+y21，令x2cos，ysin。则36x6y2636cos6sin+466cos(+)+46466,466，|2|max3，|2|min-3。【高考真题】一、选择题1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【答案】 C【解析】,由及向量的性质可知,C正确.2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 A. 6 B. 2 C. D. 【答案】 D【解析】，所以，选D.3.（2009浙江卷理）设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D答案：B 【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现4.（2009浙江卷文）已知向量，若向量满足，则 （ ）A B C D 【答案】 D【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用【解析】不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有5.（2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A三角形区域 B四边形区域C五边形区域 D六边形区域【答案】D【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识.5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.大光明 如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A.6.（2009北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.7.(2009山东卷理)设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D.【解析】:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。答案：B。【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。8.（2009全国卷文）已知向量a = (2,1)， ab = 10，a + b = ，则b = （A） （B） （C）5 （D）25 答案：C解析：本题考查平面向量数量积运算和性质，由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 选C。9.（2009全国卷理）设、是单位向量，且0，则的最小值为 ( D )（A） （B） （C） (D)解: 是单位向量 故选D.10.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合，则A1，1 B. -1，1 C. 1，0 D. 0，1【答案】A【解析】因为代入选项可得故选A.11.（2009全国卷理）已知向量，则 A. B. C. D. 解：。故选C12.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为， 则 （A） (B) (C) 4 (D)12【解析】由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412 【答案】B13.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）解析：;14.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b【答案】B【解析】由计算可得故选B15.（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )ABCD 【答案】 A图1解: 得，故选A. 或.16.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |（A） （B）2 （C）4 （D）12【解析】由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412 【答案】B17.（2009全国卷文）设非零向量、满足，则（A）150B）120 （C）60 （D）30【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。18.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于（A） （B） （C） (D) 答案:A. 解析:由知, 为的重心,根据向量的加法, 则=故选A19.（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】向量（31，2），（1,2），因为两个向量垂直，故有（31，2）（1,2）0，即3140，解得：，故选.A。20.(2009湖南卷理)对于非0向量a,b,“a/b”的正确是 （A）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】：A【解析】由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“的充分不必要条件。21.（2009福建卷文）设，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， =,则 的值一定等于 A以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积C，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积【答案】：A解析 假设与的夹角为， =cos=cos(90)=sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积，故选A。22.（2009重庆卷理）已知，则向量与向量的夹角是（ ）ABCD 【答案】C【解析】因为由条件得23.（2009重庆卷文）已知向量若与平行，则实数的值是（ ）A-2B0C1D2【答案】D解法1因为，所以由于与平行，得，解得。解法2因为与平行，则存在常数，使，即，根据向量共线的条件知，向量与共线，故。二、填空题1.（2009广东卷理）若平面向量，满足，平行于轴，则 . 【解析】或，则或.2.（2009江苏卷）已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= 。【解析】 考查数量积的运算。 3.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.解析设 ，即4.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】设、则 , ,代入条件得【答案】4/35.（2009江西卷文）已知向量， ，若 则= 答案： 【解析】因为所以.6.（2009江西卷理）已知向量，若，则= 答案：【解析】7.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， . 图2解:作,设，,由解得故8.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A(2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为_.【解析】平行四边形ABCD中, (2,0)(8,6)(6,8)(0,2) 即D点坐标为(0,2)【答案】（0，2）2010年高考数学试题分类汇编向量1.（2010全国卷2理数）中，点在上，平分若，则=（A） （B） （C） （D）【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以，故选B.2（2010辽宁理数）平面上O,A,B三点不共线，设，则OAB的面积等于 (A) (B) (C) (D) 【答案】C【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。【解析】三角形的面积S=|a|b|sin，而 3（2010安徽文数）设向量,则下列结论中正确的是(A) (B)(C) (D)与垂直3.D【解析】，所以与垂直.【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.4.（2010重庆文数）若向量，则实数的值为（A） （B）（C）2 （D）6解析：，所以=65.（2010重庆理数） 已知向量a，b满足，则A. 0 B. C. 4 D. 8解析：6.（2010山东文数）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是(A)若a与b共线，则(B)(C)对任意的，有(D) 答案：B7.（2010四川理数）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1w_w w. k#s5_u.c o*m解析：由16，得|BC|4 w_w_w.k*s 5*u.c o*m4而故2答案：C w_w_w.k*s 5*u.c o*m8.（2010天津文数）如图，在ABC中，则=（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。9.（2010广东文数）（2010福建文数）10（2010全国卷1文数）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为(A) (B) (C) (D)答案：D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.PABO【解析1】如图所示：设PA=PB=,APO=,则APB=，PO=，=，令，则，即，由是实数，所以，解得或.故.此时.【解析2】设，换元：，【解析3】