八年级数学竞赛培训分解方法的延拓.doc

新课标八年级数学竞赛培训第02讲：分解方法的延拓2一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1（4分）4x24xy2+4y3=_2（4分）已知x2+x6是多项式2x4+x3ax2+bx+a+b1的因式，则a=_3（4分）一个二次三项式的完全平方式是x46x3+7x2+ax+b，那么这个二次三项式是_4（4分）已知x2+y2+z22x+4y6z+14=0，则（xyz）2002=_5（4分）已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，则n的一个值是_6（4分）（1）完成下列配方问题：x2+2px+1=x2+2px+（_）+（_）=（x+_）2+（_）（2）分解因式：a2b2+4a+2b+3的结果是_7（4分）若x3+3x23x+k有一个因式是x+1，则k=_8（4分）若x2+2xy+y2a（x+y）+25是完全平方式，则a=_9（4分）已知多项式2x2+3xy2y2x+8y6可以分解为（x+2y+m）（2xy+n）的形式，那么的值是_二、选择题（共7小题，每小题4分，满分28分）10（4分）已知a2+b2+4a2b+5=0，则的值为（）A3BC3D11（4分）如果x2x1是ax3+bx2+1的一个因式，则b的值为（）A2B1C0D212（4分）a4+4分解因式的结果是（）A（a2+2a2）（a22a+2）B（a2+2a2）（a22a2）C（a2+2a+2）（a22a2）D（a2+2a+2）（a22a+2）13（4分）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）A7B8C15D2l14（4分）设m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，则（m，n）=（）A（2，2）或（2，2）B（2，2）或（2，2）C（2，2）或（2，2）D（2，2）或（2，2）15（4分）将x5+x4+1因式分解得（）A（x2+x+1）（x3+x+1）B（x2x+1）（x3+x+1）C（x2x+1）（x3x+1）D（x2+x+1）（x3x+1）16（4分）若a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（）A若a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a=b=cB若a2+b2+c2=3abc，则a=b=cC若a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2），则a=b=c=dD若a4+b4+c4+d4=4abcd，则a=b=c=d三、解答题（共9小题，满分86分）17（10分）把下列各式分解因式：（1）a4+64b4；（2）x4+x2y2+y4；（3）x2+（1+x）2+（x+x2）2；（4）（ca）24（bc）（ab）；（5）x39x+8；（6）x3+2x25x618（10分）把下列各式分解因式：（1）x47x2+1；（2）x4+x2+2ax+1a2（3）（1+y）22x2（1y2）+x4（1y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+119（10分）把下列各式分解因式：（1）4x331x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2a4b4c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x9；（5）2a4a36a2a+220（8分）已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，求a+b的值21（8分）k为何值时，多项式x22xy+ky2+3x5y+2能分解成两个一次因式的积？22（10分）如果多项式x2（a+5）x+5a1能分解成两个一次因式（x+b）（x+c）的乘积，b、c为整数，则a的值是多少？23（10分）已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay25x45y24可分解为两个一次因式的乘积，求a的值24（10分）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）225（10分）一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数如64=82，64就是一个完全平方数；若a=29922+2992229932+29932求证：a是一个完全平方数新课标八年级数学竞赛培训第02讲：分解方法的延拓2参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1（4分）4x24xy2+4y3=（2x+y3）（2xy+1）分析：首先把3变为14，多项式变为（4x24x+1）（y24y+4），然后利用公式法分解因式，接着利用提取公因式法分解因式即可求解解答：解：原式=（4x24x+1）（y24y+4）=（2x1）2（y2）2=（2x1+y2）（2x1y+2）=（2x+y3）（2xy+1）故答案为：（2x+y3）（2xy+1）点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，其中直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配2（4分）已知x2+x6是多项式2x4+x3ax2+bx+a+b1的因式，则a=16分析：设2x4+x3ax2+bx+a+b1=（x2+x6）A，当多项式等于0时，得到两个x的根，代入式子2x4+x3ax2+bx+a+b1，可求出a的值解答：解：令2x4+x3ax2+bx+a+b1=（x2+x6）A=（x+3）（x2）A取x=3，x=2分别代入上式，当x=3时，2x4+x3ax2+bx+a+b1，=281279a3b+a+b1，=1348a2b，=0当x=2时，2x4+x3ax2+bx+a+b1，=216+84a+2b+a+b1，=393a+3b，=0根据，可得a=16，b=3点评：本题考查了因式分解的应用和等式的应用，根据x的根，从而得出a，b的值3（4分）一个二次三项式的完全平方式是x46x3+7x2+ax+b，那么这个二次三项式是x23x1分析：先令x46x3+7x2+ax+b=（x2+mx+n）2，把（x2+mx+n）2展开后根据次数相等的项系数相等解出m，n的值即可解答：解：令x46x3+7x2+ax+b=（x2+mx+n）2=x4+2mx3+（m2+2n）x2+2mnx+n2，2m=6，解得m=3，m2+2n=7，解得：n=1，故所求二次三项式是x23x1，故答案为：x23x1点评：本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是根据次数相等的项系数相等解出m，n的值4（4分）已知x2+y2+z22x+4y6z+14=0，则（xyz）2002=0考点：因式分解的应用2331987分析：可以把14拆成1+4+9，然后运用完全平方公式，把左边写成非负数的平方和，再根据“几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”进行计算解答：解：x2+y2+z22x+4y6z+14=0，x22x+1+y2+4y+4+z26z+9=0，（x1）2+（y+2）2+（z3）2=0，x1=0，y+2=0，z3=0，解得x=1，y=2，z=3，（xyz）2002=0点评：此题要能够运用完全平方公式把等式的左边变形为几个非负数的和，再根据非负数的性质进行求解5（4分）已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，则n的一个值是1003或3988考点：完全平方数2331987分析：本题分两种情况讨论n的取值把47+4n+41998化简为完全平方式的形式，根据化简后的式子得出n解答：解：（1）47+4n+41998=（27）2+22722n8+（21998）247+4n+41998是一个完全平方数22n8=21998即2n8=1998当n=1003时，47+4n+41998是完全平方数；（2）47+4n+41998=47+41998+4n，=（27）2+22723988+（2n）2，47+4n+41998是一个完全平方数23988=2n，n=3988综上得n=1003或n=3988点评：本题考查了完全平方数的概念，如果一个数是一个完全平方数，那么一定可以表示为一个数的平方6（4分）（1）完成下列配方问题：x2+2px+1=x2+2px+（p2）+（1p2）=（x+p）2+（1p2）（2）分解因式：a2b2+4a+2b+3的结果是（a+b+1）（ab+3）考点：配方法的应用2331987分析：（1）由于二次项系数为1，那么组成完全平方式的第三项应是第二项系数的一半，最后的结果应和原来的代数式相等；（2）题中有4a，2b，应为完全平方式的第二项，整理为两个完全平方式的差的形式，进而用平方差公式展开即可解答：解：（1）x2+2px+1=x2+2px+（p2）+（1p2）=（x+p）2+（ 1p2）；故答案为p2；1p2；p；1p2；（2）a2b2+4a+2b+3，=（a2+4a+4）（b22b+1），=（a+2）2（b1）2，=（a+2+b1）（a+2b+1），=（a+b+1）（ab+3）故答案为：（a+b+1）（ab+3）点评：本题考查了配方法的应用，把所给代数式整理为有完全平方式子的形式是解决问题的突破点；用到的知识点为a22ab+b2=（ab）27（4分）若x3+3x23x+k有一个因式是x+1，则k=5考点：因式分解-提公因式法2331987专题：方程思想；转化思想分析：本题可令x3+3x23x+k=（x+1）A的形式，当x=1时，可以转化为关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值解答：解：令x3+3x23x+k=（x+1）A，当x=1时，1+3+3+k=0，解得k=5故答案为：5点评：本题考查了因式分解提公因式法，令x+1=0，则x=1，代入因式分解的式子转化为关于k的一元一次方程是解题的关键8（4分）若x2+2xy+y2a（x+y）+25是完全平方式，则a=10分析：先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可解答：解：原式=（x+y）2a（x+y）+52，原式为完全平方式，a（x+y）=25（x+y），解得a=10故答案为：10点评：本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要9已知多项式2x2+3xy2y2x+8y6可以分解为（x+2y+m）（2xy+n）的形式，那么的值是分析：由题意多项式2x2+3xy2y2x+8y6可以分解为（x+2y+m）（2xy+n）的形式，将整式（x+2y+m）（2xy+n）相乘，然后根据系数相等求出m和n，从而求解解答：解：多项式2x2+3xy2y2x+8y6可以分解为（x+2y+m）（2xy+n）的形式，（x+2y+m）（2xy+n）=2x2+3xy2y2+（2m+n）x+（2nm）y=2x2+3xy2y2x+8y6=2x2+3xy2y2x+8y6，2m+n=1，2nm=8，mn=6，解得m=2，n=3，=，故答案为：点评：此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题二、选择题（共7小题，每小题4分，满分28分）10（4分）已知a2+b2+4a2b+5=0，则的值为（）A3BC3D考点：非负数的性质：偶次方2331987专题：配方法分析：先把原式化为完全平方式的形式，再根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后代入代数式计算即可解答：解：原式可化为a2+4a+4+b22b+1=0，即（a+2）2+（b1）2=0，解得，a=2，b=1故=故选B点评：本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0根据这个结论可以求解这类题目11（4分）如果x2x1是ax3+bx2+1的一个因式，则b的值为（）A2B1C0D2分析：由题意x2x1是ax3+bx2+1的一个因式，可得ax3+bx2+1=（x2x1）（x+c）将右边展开，然后根据系数相等，求出b值解答：解：x2x1是ax3+bx2+1的一个因式，ax3+bx2+1=（x2x1）（x+c）=x3+（c1）x2（c+1）xca=1，c1=b，c+1=0，c=1，b=2，故选A点评：此题主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤：如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法；分解因式时必须要分解到不能再分解为止12（4分）a4+4分解因式的结果是（）A（a2+2a2）（a22a+2）B（a2+2a2）（a22a2）C（a2+2a+2）（a22a2）D（a2+2a+2）（a22a+2）考点：因式分解-十字相乘法等2331987分析：先将a4+4变为a4+4+4a24a2，再将a4+4+4a2看为一个整体，用完全平方公式分解，原式=（a2+2）24a2，再利用平方差公式分解解答：解：a4+4=a4+4+4a24a2=（a2+2）24a2=（a22a+2）（a2+2a+2）故选D点评：为能够运用平方差公式、完全平方公式，因而可以通过减去一项或再加上相同的项来解决13（4分）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）A7B8C15D2l分析：由题意原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式，故可考虑用待定系数法解解答：解：设x3+ax2+bx+8=（x+1）（x+2）（x+c）=x3+（3+c）x2+（2+3c）x+2c，c=4，从而a=7，b=14，a+b=21，故选D点评：此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义；要注意因式分解的一般步骤：如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法；14（4分）设m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，则（m，n）=（）A（2，2）或（2，2）B（2，2）或（2，2）C（2，2）或（2，2）D（2，2）或（2，2）考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方2331987分析：根据m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，把其变形为完全平方的形式，根据两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0，即可得出答案解答：解：由m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，（mn+4）2+（m+n）2=0，mn+4=0，且m+n=0，解得：m=2，n=2或m=2，n=2故选C点评：本题考查了完全平方公式及非负数的性质，难度适中，关键是掌握两个非负数的和为0，则这两个非负数都为015（4分）将x5+x4+1因式分解得（）A（x2+x+1）（x3+x+1）B（x2x+1）（x3+x+1）C（x2x+1）（x3x+1）D（x2+x+1）（x3x+1）考点：因式分解-十字相乘法等2331987分析：先添加一项x3，然后提取公因式得到x3（x2+x+1）（x31），然后再进行因式分解，分解后发现有公因式，提取，得到最后的结果解答：解：原式=x3（x2+x+1）（x31）=x3（x2+x+1）（x1）（x2+x+1）=（x2+x+1）（x3x+1）故选D点评：本题考查了因式分解的十字相乘法，有时候我们应学会添加合适的项，使运算更方便16（4分）若a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（）A若a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a=b=cB若a2+b2+c2=3abc，则a=b=cC若a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2），则a=b=c=dD若a4+b4+c4+d4=4abcd，则a=b=c=d分析：由a2+b2+c2=ab+bc+ac，得（ab）2+（bc）2+（ac）2=0，由a2+b2+c2=0，得（a+b+c）（a2+b2+c2abbcac）=0，由a2+b2+c2+d2=4abcd，得（a2b2）2+（c2d2）2+2（abcd）2=0解答：解：由a2+b2+c2=ab+bc+ac，得（ab）2+（bc）2+（ac）2=0，则a=b=c，故A正确；由a2+b2+c2=3abc，得a=b=c，故B正确；由a2+b2+c2+d2=4abcd，得（a2b2）2+（c2d2）2+2（abcd）2=0，则a=b=c=d，故D正确；故选C点评：本题考查了命题与证明，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理三、解答题（共9小题，满分86分）17（10分）把下列各式分解因式：（1）a4+64b4； （2）x4+x2y2+y4；（3）x2+（1+x）2+（x+x2）2； （4）（ca）24（bc）（ab）；（5）x39x+8； （6）x3+2x25x6考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法；因式分解-十字相乘法等2331987分析：（1）先对所给多项式进行变形，a4+64b4=a4+64b4+16a2b216a2b2，前三项是完全平方式，然后先套用公式a22ab+b2=（ab）2进行变形，再套用公式a2b2=（a+b）（ab），进一步分解因式（2）先对所给多项式进行变形，x4+x2y2+y4=x4+2x2y2+y4x2y2，然后先套用公式a22ab+b2=（ab）2进行变形，再套用公式a2b2=（a+b）（ab），进一步分解因式（3）先对所给多项式进行变形，x2+（1+x）2+（x+x2）2=1+2（x+x2）+（x+x2）2，将x+x2看作一个整体，套用公式a22ab+b2=（ab）2进行进一步因式分解即可（4）设bc=x，ab=y，则ca=（x+y），则原式变为：（ca）24（bc）（ab）=（x+y）24xy，再进一步变形分解因式即可（5）应用拆项法，将原式变形为：x39x+8=x3x8x+8，然后分组分解（6）先将原式变形，x3+2x25x6=x3+x2+x2+x6x6，然后分组分解解答：解：（1）a4+64b4=a4+64b4+16a2b216a2b2=（a2+8b2）2（4ab）2=（a2+8b24ab）（a2+8b2+4ab）；（2）x4+x2y2+y4；=x4+2x2y2+y4x2y2=（x2+y2）2（xy）2=（x2+y2xy）（x2+y2+xy）；（3）x2+（1+x）2+（x+x2）2=1+2（x+x2）+（x+x2）2=（1+x+x2）2；（4）设bc=x，ab=y，则ca=（x+y），则（ca）24（bc）（ab）=（x+y）24xy，=（xy）2，所以（ca）24（bc）（ab）=（bca+b）2=（2bac）2；（5）x39x+8；=x3x8x+8=（x3x）（8x8）=x（x21）8（x1）=x（x+1）（x1）8（x1）=（x1）（x2+x8）；（6）x3+2x25x6=x3+x2+x2+x6x6，=（x3+x2）+（x2+x）（6x+6）=x2（x+1）+x（x+1）6（x+1）=（x+1）（x2x6）=（x+1）（x+3）（x2）点评：本题综合考查了因式分解的方法，解题的关键是适当添项、拆项，然后运用公式进行进一步分解因式，注意分解要彻底18（10分）把下列各式分解因式：（1）x47x2+1；（2）x4+x2+2ax+1a2（3）（1+y）22x2（1y2）+x4（1y）2 （4）x4+2x3+3x2+2x+1分析：（1）首先把7x2变为+2x29x2，然后多项式变为x42x2+19x2，接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；（2）首先把多项式变为x4+2x2+1x2+2axa2，然后利用公式法分解因式即可求解；（3）首先把2x2（1y2）变为2x2（1y）（1y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；（4）首先把多项式变为x4+x3+x2+x3+x2+x+x2+x+1，然后三个一组提取公因式，接着提取公因式即可求解解答：解：（1）x47x2+1=x4+2x2+19x2=（x2+1）2（3x）2=（x2+3x+1）（x23x+1）；（2）x4+x2+2ax+1a2=x4+2x2+1x2+2axa2=（x2+1）（xa）2=（x2+1+xa）（x2+1x+a）；（3）（1+y）22x2（1y2）+x4（1y）2=（1+y）22x2（1y）（1+y）+x4（1y）2=（1+y）22x2（1y）（1+y）+x2（1y）2=（1+y）x2（1y）2=（1+yx2+x2y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2+x3+x2+x+x2+x+1=x2（x2+x+1）+x（x2+x+1）+x2+x+1=（x2+x+1）2点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题关键是根据所给多项式，有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解19（10分）把下列各式分解因式：（1）4x331x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2a4b4c4；（3）x5+x+1； （4）x3+5x2+3x9；（5）2a4a36a2a+2考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法；因式分解-分组分解法2331987分析：（1）需把31x拆项为x30x，再分组分解；（2）把2a2b2拆项成4a2b22a2b2，再按公式法因式分解；（3）把x5+x+1添项为x5x2+x2+x+1，再分组以及公式法因式分解；（4）把x3+5x2+3x9拆项成（x3x2）+（6x26x）+（9x9），再提取公因式因式分解；（5）先分组因式分解，再用拆项法把因式分解彻底解答：解：（1）4x331x+15=4x3x30x+15=x（2x+1）（2x1）15（2x1）=（2x1）（2x2+x15）=（2x1）（2x5）（x+3）；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2a4b4c4=4a2b2（a4+b4+c4+2a2b22a2c22b2c2）=（2ab）2（a2+b2c2）2=（2ab+a2+b2c2）（2aba2b2+c2）=（a+b+c）（a+bc）（c+ab）（ca+b）；（3）x5+x+1=x5x2+x2+x+1=x2（x31）+（x2+x+1）=x2（x1）（x2+x+1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）（x3x2+1）；（4）x3+5x2+3x9=（x3x2）+（6x26x）+（9x9）=x2（x1）+6x（x1）+9（x1）=（x1）（x+3）2；（5）2a4a36a2a+2=a3（2a1）（2a1）（3a+2）=（2a1）（a33a2）=（2a1）（a3+a2a2a2a2）=（2a1）a2（a+1）a（a+1）2（a+1）=（2a1）（a+1）（a2a2）=（a+1）2（a2）（2a1）点评：此题考查因式分解，涉及到用公式法、分组分解、十字相乘法、提取公因式法，同时都利用了“拆项”“添项”，所以难度较大20（8分）已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，求a+b的值考点：因式分解的应用；因式分解的意义2331987专题：待定系数法分析：假设x4+ax2+b分解后的因式为（x2+2x+5）（x2+mx+n），将该式展开与x4+ax2+b关于x的各次项系数对应相等，列出等式组即可解得m、n、a、b的值，那么a+b最终得解解答：解：设x4+ax2+b=（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+（2+m）x3+（2m+n+5）x2+（5m+2n）x+5n比较对应项系数得解得m=2、n=5、a=6、b=25a+b=31点评：本题考查因式分解的应用、因式分解的意义解决本题的关键是采用待定系数法，假设分解后的因式，比较x的对应项系数，即可求解21（8分）k为何值时，多项式x22xy+ky2+3x5y+2能分解成两个一次因式的积？考点：余式定理2331987分析：首先由x2+3x+2=（x+1）（x+2），可设多项式x22xy+ky2+3x5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），然后根据多项式乘以多项式的运算法则求得（x+my+1）（x+ny+2）的值，又由多项式相等时对应项的系数相等，可得方程组，解此方程组即可求得k的值解答：解：x2+3x+2=（x+1）（x+2），故可令x22xy+ky2+3x5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），即x2+（m+n）xy+mny2+3x+（2m+n）y+2=x22xy+ky2+3x5y+2，由可得：，k=mn=3当k=3时，多项式x22xy+ky2+3x5y+2能分解成两个一次因式的积点评：此题考查了多项式因式分解的知识，多项式的乘法以及三元一次方程组的求解方法此题难度较大，解题的关键是设多项式x22xy+ky2+3x5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），再由多项式的性质求解22（10分）如果多项式x2（a+5）x+5a1能分解成两个一次因式（x+b）（x+c）的乘积，b、c为整数，则a的值是多少？考点：多项式乘多项式2331987分析：本