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文档简介

2 2收敛数列的性质 1 唯一性2 有界性3 保号性4 保不等式性5 四则运算6 迫敛性7 子数列的收敛性 1 唯一性 定理2 2每个收敛的数列只有一个极限 证 由定义 故收敛数列极限唯一 2 有界性 例如 有界 无界 定理2 3收敛的数列必定有界 证 由定义 注意 有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散 例1 证 由定义 区间长度为1 不可能同时位于长度为1的区间内 3保序性 从而 定理2 6 收敛数列的保号性 如果数列 xn 收敛于a 且a 0 或a 0 那么存在正整数N 当n N时 有xn 0 或xn 0 4保号性 推论如果数列 xn 从某项起有xn 0 或xn 0 且数列 xn 收敛于a 那么a 0 或a 0 这说明若数列收敛且极限不为零 则当n充分大时 与0的距离不能任意小 这一事实在后面讨论极限的四则运算时会用到 证 5迫敛性 双逼原理 上两式同时成立 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 例1 解 由夹逼定理得 6绝对值收敛性 注意反之不成立 推论设数列 和 收敛 则 7数列极限的四则运算法则 例4求 例4求 解 分a 1 a 1三种情况 解 分子有理化 例3求 8 子数列的收敛性 注意 例如 定理7收敛数列的任一子数列也收敛 且极限相同 证 证毕 例4 对于数列xn 证 此时有 此时有 总之 恒有 Th 数列收敛充要条件 收敛 Th 数列收敛充要条件 收敛 子列 和 收敛于同一极限 的任何子列收敛 于同一极限 Th 数列收敛充要条件 收敛 子列 都收敛 和 思考题 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当时 必有成立 思考题解答 等价 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用 适当放大 的值 从而时 仅有成立 但不是的充分条件 反而缩小为 小结 1 唯一性 2 有界性 3 保号性 作业 P3
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