北京市西城区2016年高三二模试卷理科数学2016.5.doc

北京市西城区2016年高三二模试卷 数 学（理科） 2016.5第卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 设全集，集合，则集合（ ） （A）（B） （C）（D）2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） （A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限3. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，则 （ ） （A）（B） （C）（D）4. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）2正（主）视图侧（左）视图俯视图112 （A）2（B）（C）（D）5. “成等差数列”是“”的（ ） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6. 某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费(元) 满足关系 已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表： 月份用气量煤气费一月份4 m34 元二月份25 m314元三月份35 m319 元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为（ ） （A）11.5元（B）11元 （C）10.5元（D）10元7. 如图，点A，B在函数的图象上，点C在函数的图象上，若为等边三角形，且直线轴，设点的坐标为，则（ ）y O xB A C （A） 2 （B） 3 （C） （D）8. 设直线：，圆，若在圆C上存在两点，在直线上存在一点M，使得，则的取值范围是（ ） （A）（B） （C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分输出否是开始 结束9. 在的展开式中，常数项等于_. 10. 设，满足约束条件 则的最大值是_.11. 执行如图所示的程序框图，输出的值为_.12设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为，则其离心率为_；若点在C上，则双曲线C的方程为_.E AF D C B 13. 如图, 为圆内接三角形，为圆的弦，且. 过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点. 若，则_； _.14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优. 若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影. 已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这10部微电影中，最多可能有_部优秀影片.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数. （）若是第二象限角，且，求的值；（）求函数的定义域和值域. 16（本小题满分13分）O时间(小时)10 20 30 40 500.0050.0250.0300.035高中生组O时间(小时)10 20 30 40 500.005a初中生组0.0200.040 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（）写出的值；（）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.17（本小题满分14分）如图，正方形的边长为4，分别为的中点. 将正方形沿着线段折起，使得. 设为的中点.（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值；A BF ED C C（）设分别为线段上一点，且平面，求线段长度的最小值.F EGA BD C C18（本小题满分13分）设，函数（）若函数在处的切线与直线平行，求a的值； （）若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围.19（本小题满分14分）已知椭圆：的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线l与椭圆相交于两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段为直径的圆内，求m的取值范围.20（本小题满分13分）已知任意的正整数都可唯一表示为，其中，对于，数列满足：当中有偶数个1时，；否则如数5可以唯一表示为，则（）写出数列的前8项；（）求证：数列中连续为1的项不超过2项；（）记数列的前项和为，求满足的所有的值（结论不要求证明）北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学（理科） 2016.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1B 2A 3B 4C 5A 6A 7D 8C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9160 1011 12 13 1410注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：因为 是第二象限角，且， 所以. 2分 所以， 4分 所以. 6分（）解：函数的定义域为，且. 8分 化简，得 10分 ， 12分 因为，且， 所以， 所以. 所以函数的值域为. 13分 （注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）16（本小题满分13分）（）解：. 3分（）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. 4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人， 6分 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，学生人数约有人. 所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人. 8分（）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人. 同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人. 故X的可能取值为1，2，3. 9分 则 ， ， . 所以的分布列为：123 12分 所以. 13分17（本小题满分14分）（）证明：因为正方形中，分别为的中点， 所以， 又因为， 所以平面. 2分 又因为平面， 所以. 4分（）解：因为， 所以为等边三角形，且. 又因为， 所以平面. 5分 设的中点为，连接，则两两垂直，故以分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以,，. 6分设平面的一个法向量为， HyF EA BD C C CxzG 由，得 令，得. 7分设直线与平面所成角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为. 9分（）由题意，可设， 由，得， 所以，. 10分 由（），得为平面的法向量. 因为平面， 所以，即. 11分 所以， 12分 又因为， 所以当时，. 所以当，时，线段长度有最小值. 14分18.（本小题满分13分）（）证明：函数的定义域， 1分由题意，有意义，所以.求导，得. 3分由题意，得，解得. 验证知符合题意. 5分（）解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值” 6分 当时，由，得无最小值，符合题意 7分 当时， 令，得 或 . 8分随着x的变化时，与的变化情况如下： 不存在0不存在极大 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为9分 因为当时，当时，所以只要考虑，且即可当时，由在上单调递减，且，得，所以存在，使得，符合题意； 同理，当时，令，得，也符合题意；故当时，对于定义域内的任意，总存在使得成立11分 当时，随着x的变化时，与的变化情况如下表：0不存在极小 不存在 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为因为当时，当时，所以所以当时，不存在使得综上所述，a的取值范围为. 13分19（本小题满分14分）（）解：由题意，得： 2分 又因为 解得， 4分 所以椭圆C的方程为. 5分（）解：（方法一） 当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 此时E，F为椭圆的上下顶点，且， 因为点总在以线段为直径的圆内，且， 所以. 故点B在椭圆内. 6分 当直线的斜率存在时，设的方程为. 由方程组 得， 8分 因为点B在椭圆内， 所以直线与椭圆C有两个公共点，即. 设，则，. 9分 设的中点， 则， 所以. 10分 所以， . 11分 因为点D总在以线段EF为直径的圆内， 所以对于恒成立. 所以 . 化简，得， 整理，得， 13分 而（当且仅当时等号成立）. 所以， 由，得. 综上，m的取值范围是.14分 （方法二） 则，. 9分 因为点D总在以线段EF为直径的圆内， 所以. 11分 因为， 所以 ， 整理，得. 13分 （以下与方法一相同，略）20（本小题满分13分）（）解：1，1，0，1，0，0，1，1. 3分（）证明：设数列中某段连续为1的