1．球面三角形.ppt

三角学与天文学 雷格蒙塔努斯 RegiomontanusJohannes 1436 1476 德国数学家 天文学家 弗朗索瓦 韦达 Fran oisVi te 1540 1603 现代数学之父 约翰尼斯 开普勒 JohannsKpler 1571 1630 杰出的德国天文学家 第谷 布拉赫 TychoBrah1546 1601 丹麦天文学家和占星学家 莱昂哈德 欧拉 LeonhardEuler 1707年4月15日 1783年9月18日 瑞士数学家 自然科学家 三角学 研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科 三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础 应用于测量为目的 同时也研究三角函数的性质及其应用的一门学科 三角学分为平面三角学与球面三角学 它们都是研究三角形中边与角之间的关系的学科 平面三角学分为角的度量 三角函数与反三角函数 诱导公式 和与差的公式 倍角 半角公式 和差化积与积化和差公式 解三角形等内容 球面三角学研究球面上由大圆弧构成的球面三角形的边与角之间的关系 在天文学 测量学 制图学 结晶学 仪器学等方面有广泛的应用 回溯历史 三角学和天天文学 chapter1 古希腊的自然科学家泰勒斯 公元前624年 公元前546年 的理论 可以认为是三角学的萌芽 但历史上都认为古希腊的天文学家喜帕恰斯是三角学的创始者 提出了三角学的基础问题和基本概念 特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理 50年后 另一个古希腊学者托勒密 Ptolemy 著 天文学大成 初步发展了三角学 chapter2 古希腊门纳劳斯 MenelausofAlexandria 公元100年左右 著 球面学 提出了三角学的基础问题和基本概念 特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理 50年后 另一个古希腊学者托勒密 Ptolemy 著 天文学大成 初步发展了三角学 Chapter3 瓦拉哈米希拉 Varahamihira 约505 587年 最早引入正弦概念 并给出最早的正弦表 公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学 chapter4 纳西尔丁 Nasired DinalTusi 1201 1274年 的 横截线原理书 开始使三角学脱离天文学 成为纯粹数学的一个独立分支 应用实例一 开普勒测量行星轨道半径 开普勒如何从行星的使人眼花缭乱的视行中推出它们的 真实 轨道 只要想到人们永远不可能看到行星的真实运动 而只能从运动着的地球上看到它们在天空的什么方向 就知道问题困难了 倘使行星所作的是简单的匀速圆周运动 从地球上看去 还比较容易地察觉这种运动该是怎样的 可是实际情形比这要复杂得多 而且地球本身同样是以某种未知方式绕太阳运动 这就使问题变得无比复杂和困难了 要研究天 最好先懂得地 开普勒用一个绝妙方法把这种杂乱无章的现象理出一个完整清楚的头绪来 他同哥白尼一样 敏锐地领悟到 要研究天 最好先懂得地 他也把着眼点放在地球上 力图先摸清地球本身的运动 然后再研究行星的运动 在大地测量工作中 常常要测定那些由于某种自然障碍而无法直接到达的目标的距离 假定需要测定A地到对岸塔C的距离 因A C两地被大河阻隔 无法直接去测量这段距离的长度 为了解决这个困难 观测者可在河的这岸另择一点B AB的距离是可以直接丈量的 这段经过选定的 已知其长度的线段AB 用测量学的术语来说 叫做 基线 基线确定后 可在它的两端用测角仪分别测定A B两角的大小 于是 在三角形ABC中 已知两角大小和它们所夹的边 基线 长 三角形的其他角和边 就可以计算出来 应用这个简单方法可以求得无法达到的目标的距离 开普勒要测定地球 在其轨道上 与太阳的距离 在这里 太阳好比是上述例证中的A地 地球则是河对岸的那座塔C 为了布设 基线 还需要另找一个定点B 可是 在行星系统里 除了太阳是唯一 静止 的中心天体外 再也找不出第二个这样的 定点 这要由开普勒另行觅取 我们设想在地球轨道平面的某处有一盏明亮的天灯M 它有足够的明亮度 并且永远悬挂在那里 以使地球上的观测者在每年任何日期都能看到它 又假定这灯距太阳比地球还要远些 如果具备这些条件 它就成了我们所需要的第个定点 太阳与灯的连线就是我们所要布设的 基线 借助这样一盏灯 就能用下述办法来测定地球的轨道 譬如 每年都会有这样一个时刻 地球 E 正好在太阳 S 和灯 M 的连线上 这时 从地球上来看灯 我们的视线EM就会同SM 太阳 灯 重合 我们可以把后者在天空中的位置 它指向某一恒星 记录下来 以后 在另一个时刻 地球运行到轨道上的另一位置E 这时它同太阳和那盏灯的位置形成一个三角形SE M 我们设想在地球轨道平面的某处有一盏明亮的天灯M 它有足够的明亮度 并且永远悬挂在那里 以使地球上的观测者在每年任何日期都能看到它 又假定这灯距太阳比地球还要远些 如果具备这些条件 它就成了我们所需要的第个定点 太阳与灯的连线就是我们所要布设的 基线 借助这样一盏灯 就能用下述办法来测定地球的轨道 譬如 每年都会有这样一个时刻 地球 E 正好在太阳 S 和灯 M 的连线上 这时 从地球上来看灯 我们的视线EM就会同SM 太阳 灯 重合 我们可以把后者在天空中的位置 它指向某一恒星 记录下来 以后 在另一个时刻 地球运行到轨道上的另一位置E 这时它同太阳和那盏灯的位置形成一个三角形SE M 在这个三角形中 SM边是事先选定的 基线 e角的大小可以从地球上同时观测太阳和灯M来确定 S角就是地球向径 SE 同基线SM所夹的角 其大小也可以通过对恒星的观测来确定 有了这些已知条件 便可以得知三角形SE M中SE 的距离 或者说地球E 相对于基线SM的位置完全可确定 因此 只要在纸上任意画一条基线SM 凭着我们观测到的e和S的角度 就可以作出三角形SE M来 我们可以在一年中经常这样做 每次都会在纸上得到地球E 对于那条基线SM的不同位置 并且给它们逐个注上日期 然后把这些点连成曲线 这样 我们就从经验上确定了地球的轨道 虽然其大小还是相对的 然而却是 真实 的 应用实例二 天球坐标系 ps 太美了 过观测者O 天球中心 的铅垂线 延伸后与天球交于两点 朝上的一点Z称为天顶 朝下的一点Z称为天底 过天顶Z和天体作一垂直圈 它与地平圈交于垂足D点 则天体在地平坐标系中的第一坐标就是大圆弧D或极距Z D h称为地平纬度 又称地平高度 简称高度 而Z 称为天顶距 地平高度也可以用平面角OD来量度 而天顶距也可以用平面角OZ来量度 天球上与地平圈相平行的小圆称为地平纬圈 也称平行圈 同一地平纬圈上任意点的地平高度都是相同的 因此可以称为等高圈 南点S与垂足D之间的大圆弧SD a 是地平坐标系中的第二坐标 称为地平经度或天文方位角 简称方位角 方位角也可以用平面角SOD来量度 天文学中习惯从南点起按顺时针方向量度 以地平圈为基圈 子午圈为主圈 南点为主点的坐标系称为地平坐标系 由于周日视运动 天体的地平坐标不断发生变化 另一方面 对不同的观测者 由于铅垂线方向的不同 就有不同的地平坐标系 同一天体也就有不同的地平坐标 这种随测站而异的性质使记录天体位置的各种星表不能采用地平坐标系统 地球赤道平面延伸后与天球相交的大圆 称为天赤道 天赤道的几何极称为天极 天赤道是赤道坐标系中的基圈 北天极P是赤道坐标系的极 在研究太阳系内各种天体的运动情况时 要用另一种天球坐标系 即黄道坐标系 地平坐标系和赤道坐标系之间的关系可根据图2的球面三角PZ用球面三角的公式来表示 cosz sinsin coscoscost sin sinz cossint cos sin cossin sincoscost 式中 Z为天体的天顶距 90 PZ为测站的地理纬度 三维极坐标系统是在二维球面坐标系的基础上增加一条向径r构成的 向径是坐标原点到所研究的天体的线距离 人造卫星的空间位置可以用它的赤经 赤纬和向径唯一地加以确定 因相应的二维球面坐标系的不同 所以又有三维赤道球坐标和三维黄道球坐标等不同的球坐标系统 三维直角坐标系又称为空间直角坐标系 在通常情况下 为便于与相应的球坐标系进行坐标转换 空间直角坐标系OXYZ的OZ轴取球面坐标系的极点所在的方向 OX轴取主点所在的方向 OXY平面与基圈相重合 而OXZ平面与主圈相重合 这时 空间坐标与相应的二维球坐标或三维球坐标之间有最简单的关系 另外 对应于不同的二维球面坐标系 也可以有不同的空间直角坐标系 如赤道直角坐标系 黄道直角坐标系等 空间坐标系的转换包括 对应于同一球面坐标系统的空间直角坐标系和空间球坐标系之间的转换 不同空间直角坐标系之间的转换 对应于不同的二维球面坐标系的空间直角坐标和空间球坐标之间的转换 原点不同 如地心 日心等 的坐标转换 相对坐标系在研究邻近天体的相对位置及其运动状态时 往往要使用相对坐标系 它又称为微分坐标系 用相对坐标系研究的不是天体在天球上的具体位置 而是一个天体相对于附近另一个天体的相对位置 以赤道坐标