《晶格振动》PPT课件.ppt

第13章晶格振动 13 1一维单原子晶格振动13 2一维双原子晶格振动13 3周期边界条件与格波数13 4晶格振动的量子化和声子13 5晶格比热 电子科技大学光电信息学院陈德军 第13章晶格振动 原子在平衡位置不动 原子偏离平衡位置而振动 原子离开平衡位置而扩散 晶体由固态转变成液态 理想情况 晶格振动 熔解 晶格振动能够解释固体的许多物理性质 如比热 热传导 热膨胀 本征电阻 离子晶体的光学性质以及与热现象有关的物理过程 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 一维单原子晶格振动物理模型 两原子间的相对位移 xn 1 xn 平衡时两原子间作用势U a U a 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 1 将偏离平衡位置后的势能在平衡位置处泰勒展开 高阶略去 平衡时势能为极小值 2 将U a 对 求偏导 常数 力常数 简谐运动公式 简谐近似 作用力 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 3 相邻两个原子间的作用力 F1 F2 对时间的二阶导数 牛二 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 4 从力的方程到振动位移方程 F1 F2 简谐波的试探解 在简谐近似下 晶格振动以平面波的形式在晶体中传播 格波 波矢 振幅 相邻原子相位差 振动角频率 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 F1 F2 格波 ma na S 所有原子都以相同 和A做简谐振动 简谐波的特性 周期性 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 5 色散方程的求出 F1 F2 色散关系之讨论 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 5 色散方程的求出 F1 F2 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 6 有关色散方程的讨论 I 周期性 偶对称 第一布区 只有在第一布区才能找到唯一波矢解 第一布区外的波矢点可以找到其在第一布区的等效点 q q 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 6 有关色散方程的讨论 I 周期性 偶对称 两个波矢等效 等效点 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 6 有关色散方程的讨论 II 对波长的讨论 长波极限 讨论问题区域在第一布区原点附近 q线性关系 相速度与波长无关 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 6 有关色散方程的讨论 II 对波长的讨论 长波极限 相速度与波长无关 与宏观弹性波的性质一致 在长波情况下 相速度是与波长无关的的常数 这与宏观的弹性波是一致的 还可以进一步证明 两者相速度在数值上完全相等 故 在长波近似下 格波的波长远大于原子间距 晶格振动类似于再连续介质中传播的弹性波 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 1一维单原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 6 有关色散方程的讨论 II 对波长的讨论 短波极限 讨论问题区域在第一布区的布区边缘 连续介质的整体运动 0 恢复力为0 相邻原子反向振动 max 恢复力最大 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 2一维双原子晶格振动 一维双原子晶格振动物理模型 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 2一维双原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 1 从运动方程到色散方程 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 2一维双原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 1 从运动方程到色散方程 振幅A B有非零解 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 2一维双原子晶格振动 简谐近似 运动方程 方程的解xn 色散方程 讨论 1 从运动方程到色散方程 光学支 声学支 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 2一维双原子晶格振动 2 声学支和光学支振动特点 I 一般情况下 声学波相邻 M m 原子沿同一方向振动 光学波相邻原子沿相反方向振动 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 2一维双原子晶格振动 2 声学支和光学支振动特点 II 长波极限下 长声学波两种原子运动完全一致 且振幅和位相都无差别 此时长声学波代表着原胞质心的运动 长光学波 异类原子反向振动 原胞质心保持不动 长声学波 长光学波 布区中心附近 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 2一维双原子晶格振动 2 声学支和光学支振动特点 III 短波极限下 声学波轻原子不振动 重原子振动 光学波重原子不振动 轻原子振动 短波极限下声学波 短波极限下光学波 布区边缘附近 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 2一维双原子晶格振动 2 声学支和光学支振动特点 长波极限 短波极限 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 2一维双原子晶格振动 关于声学支和光学支运动特点的推导 电子科技大学光电信息学院陈德军 晶格振动 一维双原子晶格的振动 色散关系 声学支 声学支的色散关系式 电子科技大学光电信息学院陈德军 一维双原子晶格的振动 色散关系 声学支之长波极限 长声学波的 q呈线性关系 长声学波的原胞中两种原子运动完全一致 振幅和位相都没有差别 即在长声学波时 声学波实际代表原胞质心的振动 长波极限 q 0时 电子科技大学光电信息学院陈德军 一维双原子晶格的振动 色散关系 声学支之短波极限 短波极限 解得A 0 但B 0 即x2n 1 0 因此 在短波极限的情况下 轻的原子不振动 重的原子振动 电子科技大学光电信息学院陈德军 一维双原子晶格的振动 色散关系 声学支之一般情况 条件 00 声学波相邻原子的振幅有相同的正负号 即相邻原子沿同一方向振动 电子科技大学光电信息学院陈德军 一维双原子晶格的振动 色散关系 光学支 电子科技大学光电信息学院陈德军 一维双原子晶格的振动 色散关系 光学支 长波极限 光学支长波极限条件 q 0 u Mm M m 称为折合质量 当q 0时 有 max 反向运动 原胞质心不动 电子科技大学光电信息学院陈德军 一维双原子晶格的振动 色散关系 光学支 短波极限 短波极限 解得A 0 但B 0 即x2n 0 因此 在短波极限的情况下 重的原子不振动 轻的原子振动 电子科技大学光电信息学院陈德军 晶格振动 一维双原子晶格的振动 色散关系 光学支 一般情况 条件 00 光学波相邻原子的振幅是反向的 即相邻原子沿相反方向振动 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 3周期边界条件与格波数 玻恩 卡门条件 前面讨论的是一维无限长的原子链 现在讨论有N个原子的有限长链 基本假设 有N个原子的有限长链中 可首尾相接 并将第1个原子看成是第N 1个原子 这样就可以用之前讨论的结果来描述有限长的原子链模型 N 1 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 3周期边界条件与格波数 qNa 2 S S为整数 讨论第一布区 结论 S在有限的范围内取整数 所以波矢q的值是有限并离散的 与无限长原子链波矢连续形成对比 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 3周期边界条件与格波数 结论 一维下N个原子的晶体在第一布区有N个独立的振动波矢 N为原子个数 N 1 qNa 2 S S 0 q 2 S Na 一维布拉菲格子 q 0 N 2 S 0 1 N 3 S 1 0 1 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 3周期边界条件与格波数 结论延伸至三维 几个重要的概念和结论 1 晶体中原胞个数 N 2 每个原胞的原子数 n 3 原子自由度 原子的空间维数 k 4 原胞自由度总数 n k 5 晶体中原子的自由度总数 N n k I 格波支数 晶体中光学波和声学波的支数之和 n k II 每支格波的格波数 每支格波包含的波矢个数 N II 晶体总格波数 N n k k支频率最低的格波为声学波 其余为光学波 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 3周期边界条件与格波数 结论延伸至三维 一维布拉菲格子 举例说明 以下晶体原胞的个数为N 晶体 格波支数 声学支 光学支 每支格波的格波数 总的格波数 1 1 0 N N 一维双原子格子 2 1 1 N 2N 二维正方格子 2 2 0 N 2N 金刚石结构 6 3 3 N 6N 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 4晶格振动的量子化与声子 由玻恩卡门条件可以知道 在有限的晶体内 振动模式 q 是分立的 每一个独立的振动模式 都可以看成是一个谐振子 总能量为N个谐振子能量之和 根据量子力学 一个谐振子的能量可以写成 声子 晶格振动的最小单位 零点能 格波数 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 4晶格振动的量子化与声子 对声子的深入理解 1 声子是晶格振动格波的能量量子 是晶格振动能量的最小单位 声子越多 该模式振动越强烈 2 声子是玻色子 服从玻色 爱因斯坦统计分布 5 声子服从能量守恒和准动量守恒 3 声子不是一种真实的粒子 不携带物理量 其准动量为 q 4 声子数不守恒 在与其他粒子碰撞时 可产生 也可湮灭 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 4晶格振动的量子化与声子 电子科技大学光电信息学院陈德军 晶格振动的量子化与声子 一维单原子的振动一般解讨论 关于晶格振动简正坐标的表示 以及谐振子能量公式的推导 电子科技大学光电信息学院陈德军 晶格振动的量子化与声子 一维单原子的振动一般解讨论 问题的提出 如果采用xn为坐标系 那么会有N N为原子个数 个实数坐标系 而这N个坐标系的物理性质又相互关联 这将为讨论问题带来麻烦 解决思路 采用一归一化正交坐标系使其坐标系中的物理操作都是相互独立的 简正坐标 步骤一 线性叠加 解决方法 简正坐标的建立即变原来的几何空间为状态空间 在状态空间建立相应的坐标系去讨论问题 归一化因子 电子科技大学光电信息学院陈德军 晶格振动的量子化与声子 一维单原子的振动一般解讨论2 步骤二 简正坐标的表示 以bnq为坐标系 简正坐标为状态空间q的坐标系 独立的坐标数仍然为N个 因而晶体中原子的自由度总数仍然是一致的 电子科技大学光电信息学院陈德军 晶格振动的量子化与声子 晶格振动总能量 在简正坐标系下讨论该问题 动能 1 势能 设平衡位置时能为零 电子科技大学光电信息学院陈德军 晶格振动 晶格振动的量子化与声子 晶格振动总能量2 总能量 根xn无关 只跟波矢q有关 进一步讨论 哈密顿方程 电子科技大学光电信息学院陈德军 晶格振动 晶格振动的量子化与声子 声子 每个谐振子的能量 谐振子能量是量子化的 有N个独立的谐振子 总能量为其和 根据量子力学理论 谐振子能量 三维空间 声子 晶格振动的最小单元 晶格振动的零点能 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 比热的定义 单位温度变化所引起的内能变化 以下对比热的讨论只考虑晶格的影响 晶格振动能量引入比热 电子运动能量引入比热 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 1 经典比热理论 杜隆 珀替定理 经典能量均分原理 E 3N KBT 晶体振动总的自由度 每个谐振子的能量 比热与温度无关 为一常数 CV 3NKB 在低温处出现矛盾 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 2 晶格比热的量子理论 谐振子的能量 谐振子平均能量 f B 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 2 晶格比热的量子理论 谐振子的能量 谐振子平均能量 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 2 晶格比热的量子理论 谐振子的能量 谐振子平均能量 总的平均能量 晶体的比热 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 2 晶格比热的量子理论 谐振子的能量 谐振子平均能量 总的平均能量 晶体的比热 假设频率 连续 频率分布函数 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 2 晶格比热的量子理论 可以证明该公式在T很大时 趋近3NKB 在T很低时 趋向0 谐振子的能量 谐振子平均能量 总的平均能量 晶体的比热 假设频率 连续 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 3 爱因斯坦模型 假设 原子中所有原子振动独立 且频率相同 即 0 0 0 爱因斯坦比热函数 爱因斯坦温度 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 3 爱因斯坦模型 高温时 低温时 结论1 高温时与实验相符 趋近于0 结论2 低温时 趋势与实验相同 但是实验表明比热与T3成正比 而爱因斯坦模型比它更快地趋向零 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 4 德拜模型 假设 晶体是各向同性的连续介质 格波可以看成连续介质中的弹性波 长声学波 波速为常数 经过推导 可得 德拜温度 德拜比热函数 电子科技大学光电信息学院陈德军 13 5晶格比热 4 德拜模型 结论1 高温时与实验相符 但是 为了接近实验结果 常常选取随温度变化的德拜温度 结论2 低温时 比热与温度T3成正比 与实验符合得很好 温度越低 符合得越好 电子科技大学光电信息学院陈德军 晶格比热 德