2.2.1综合法与分析法.pptx

2 2直接证明与间接证明 2 2 1综合法和分析法 复习 合情推理的结论不一定正确 有待证明 演绎推理得到的结论一定正确 已知a 0 b 0 求证a b2 c2 b c2 a2 4abc 因为b2 c2 2bc a 0所以a b2 c2 2abc 又因为c2 a2 2ac b 0所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 探究任务一 综合法的应用 综合法 利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果 变式1 变式2 变式3 典型例题 1 在 ABC中 三个内角A B C对应的边分别是a b c 且A B C成等差数列 a b c成等比数列 求证 ABC是等边三角形 分析 条件是什么 典型例题 1 在 中 三个内角 对应的边分别为a b c 且 成等差数列 a b c成等比数列 求证 为等边三角形 证明 由A B C成等差数列 有2B A C 因为A B C 180o 所以B 60o 由a b c成等比数列 有b2 ac 则b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac 再有 得a2 c2 ac ac 即 a c 2 0因此a c 从而有A C 则由 得A B C 60o 所以三角形ABC是等边三角形 回顾基本不等式 a 0 b 0 的证明 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明的方法叫做分析法 特点 执果索因 用框图表示分析法的思考过程 特点 分析法又叫执果索因法或叫逆推证法 例1 求证 证明 为了证 只需证 展开得 即 只需证15 12 因为15 12成立 所以不等式成立 例2 如图 SA 平面ABC AB BC 过A作SB的垂线 垂足为E 过E作SC的垂线 垂足为F 求证AF SC 证明 要证AF SC 只需证 SC 平面AEF 只需证 SC AE 只需证 AE 平面SBC 只需证 AE BC 只需证 BC 平面SAB 只需证 BC SA 只需证 SA 平面ABC 因为 SA 平面ABC成立 所以 AF SC成立 因为SC EF 因为AE SB 因为SC AB 证明 要证a3 b3 a2b ab2成立 只需证a3 b3 a2b ab2 0成立 即证a2 a b b2 b a 0成立 只需 a2 b2 a b 0证成立 也就是要证 a b a b 2 0成立 即证 a b 2 0成立 a b 0 而由已知条件可知 a b 有a b 0 所以 a b 2 0显然成立 由此命题得证 设a b是两个正实数 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 一般地 利用已知条件和某些已经学过的定义 定理 公理等 经过一系列的推理 论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 特点 由因导果 小结 综合法又叫由因导果法或顺推证法 1 综合法的定义 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成