2.4.1空间直角坐标系.pptx

2 4 1空间直角坐标系 第四章圆与方程 问题导学 知识点一空间直角坐标系 答案空间直角坐标系需要三个坐标轴 它们之间两两相互垂直 思考空间直角坐标系需要几个坐标轴 它们之间有什么关系 梳理 1 空间直角坐标系及相关概念 空间直角坐标系 从空间某一定点引三条两两垂直 且有相同单位长度的数轴 这时我们说建立了一个 相关概念 叫做坐标原点 叫做坐标轴 通过 的平面叫做坐标平面 分别称为平面 平面 平面 2 右手直角坐标系在空间直角坐标系中 让右手拇指指向的正方向 食指指向的正方向 如果中指指向的正方向 则称这个坐标系为右手直角坐标系 x轴 y轴 z轴 空间直角坐标系Oxyz 点O x轴 y轴 z轴 每两 个坐标轴 xOy yOz zOx x轴 y轴 z轴 3 空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用来表示 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标 记作 其中叫做点M的横坐标 叫做点M的纵坐标 叫做点M的竖坐标 有序实数组 x y z 有序实数组 x y z M x y z x y z 1 空间两点间的距离公式 1 在空间中 点P x y z 到坐标原点O的距离 OP 2 在空间中 P1 x1 y1 z1 与P2 x2 y2 z2 的距离 P1P2 2 空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中 若A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则线段AB的中点坐标是 知识点二空间两点间的距离 1 空间直角坐标系中 在x轴上的点的坐标一定是 0 b c 的形式 2 空间直角坐标系中 在xOz平面内的点的坐标一定是 a 0 c 的形式 3 关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标 竖坐标保持不变 横坐标相反 思考辨析判断正误 题型探究 例1如图 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 M在线段BC1上 且 BM 2 MC1 N是线段D1M的中点 求点M N的坐标 类型一求空间中点的坐标 解答 解如图 过点M作MM1 BC于点M1 连接DM1 取DM1的中点N1 连接NN1 由 BM 2 MC1 因为M1M DD1 反思与感悟1 建立空间直角坐标系时 应遵循的两个原则 1 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上 2 充分利用几何图形的对称性 2 求某点M的坐标的方法作MM 垂直平面xOy 垂足M 求M 的横坐标x 纵坐标y 即点M的横坐标x 纵坐标y 再求M点在z轴上射影的竖坐标z 即为M点的竖坐标z 于是得到M点的坐标 x y z 3 坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0 即 x y 0 yOz平面上的点的横坐标为0 即 0 y z xOz平面上的点的纵坐标为0 即 x 0 z 4 坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标 竖坐标都为0 即 x 0 0 y轴上的点的横坐标 竖坐标都为0 即 0 y 0 z轴上的点的横坐标 纵坐标都为0 即 0 0 z 跟踪训练1已知正四棱锥P ABCD的底面边长为侧棱长为13 建立的空间直角坐标系如图 写出各顶点的坐标 解答 例2在空间直角坐标系中 已知点P 2 1 4 1 求点P关于x轴对称的点的坐标 解答 解由于点P关于x轴对称后 它在x轴的分量不变 在y轴 z轴的分量变为原来的相反数 所以对称点坐标为P1 2 1 4 类型二空间中点的对称问题 2 求点P关于xOy平面对称的点的坐标 解答 解由点P关于xOy平面对称后 它在x轴 y轴的分量不变 在z轴的分量变为原来的相反数 所以对称点坐标为P2 2 1 4 3 求点P关于点M 2 1 4 对称的点的坐标 解答 解设对称点为P3 x y z 则点M为线段PP3的中点 由中点坐标公式 可得x 2 2 2 6 y 2 1 1 3 z 2 4 4 12 所以P3的坐标为 6 3 12 反思与感悟 1 空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题 要掌握对称点的变化规律 才能准确求解 2 对称点的问题常常采用 关于谁对称 谁保持不变 其余坐标相反 这个结论 跟踪训练2已知点P 2 3 1 关于坐标平面xOy的对称点为P1 点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2 点P2关于z轴的对称点为P3 则点P3的坐标为 解析 答案 2 3 1 解析点P 2 3 1 关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为 2 3 1 点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为 2 3 1 点P2关于z轴的对称点P3的坐标是 2 3 1 命题角度1求空间两点间的距离例3已知 ABC的三个顶点A 1 5 2 B 2 3 4 C 3 1 5 1 求 ABC中最短边的边长 解答 类型三空间中两点间的距离问题 2 求AC边上中线的长度 解答 反思与感悟求空间两点间的距离的方法求空间两点间的距离时 一般使用空间两点间的距离公式 应用公式的关键在于建立合适的坐标系 确定两点的坐标 确定点的坐标的方法视具体题目而定 一般来说 要转化到平面中求解 有时也利用几何图形的特征 结合平面直角坐标系的知识确定 跟踪训练3已知三点A 1 0 1 B 2 4 3 C 5 8 5 则A 三点构成等腰三角形B 三点构成直角三角形C 三点构成等腰直角三角形D 三点构不成三角形 解析 答案 命题角度2空间两点间距离公式的应用例4 1 已知点A 1 t 1 t t B 2 t t 则 AB 的最小值为 解析 答案 2 已知点A 0 1 0 B 1 0 1 C 2 1 1 若点P x 0 z 满足PA AB PA AC 试求点P的坐标 解答 解 PA AB PAB为直角三角形 PB 2 PA 2 AB 2 即 x 1 2 z 1 2 x2 1 z2 1 1 1 即x z 1 又 PA AC PAC为直角三角形 PC 2 PA 2 AC 2 即 x 2 2 1 z 1 2 x2 1 z2 4 0 1 即2x z 0 点P的坐标为 1 0 2 反思与感悟利用空间两点间的距离公式 将空间距离问题转化为二次函数的最值问题 体现了数学上的转化思想和函数思想 此类题目的解题方法是直接设出点的坐标 利用距离公式就可以将几何问题代数化 分析函数即可 跟踪训练4已知点A 4 5 6 B 5 0 10 在z轴上有一点P 使 PA PB 则点P的坐标为 解析 答案 解析设P 0 0 z 由 PA PB 0 0 6 解得z 6 点P的坐标为 0 0 6 达标检测 1 2 3 4 1 在空间直角坐标系中 点P 1 2 3 到平面yOz的距离是A 1B 2C 3D 答案 5 1 2 3 4 5 2 以棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB AD AA1所在的直线为坐标轴 建立空间直角坐标系 如图所示 则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为 解析由题图得A 0 0 0 B1 1 0 1 所以对角线的交点即为AB1的中点 解析 答案 解得x 1 所以点P的坐标为 1 0 0 或 1 0 0 1 2 3 4 5 3 设点P在x轴上 它到点P1 0 3 的距离为到点P2 0 1 1 的距离的两倍 则点P的坐标为A 1 0 0 B 1 0 0 C 1 0 0 或 0 1 0 D 1 0 0 或 1 0 0 解析因为点P在x轴上 所以设点P的坐标为 x 0 0 由题意 知 PP1 2 PP2 解析 答案 1 2 3 4 5 4 如图 在空间直角坐标系中 有一棱长为a的正方体ABCD A B C D A C的中点E与AB的中点F的距离为 解析 A a 0 a C 0 a 0 A a 0 0 B a a 0 解析 答案 1 2 3 4 5 5 点P 1 1 1 关于xOy平面的对称点P1的坐标为 点P关于z轴的对称点P2的坐标为 答案 1 1 1 1 1 1 解析点P 1 1 1 关于xOy平面的对称点P1的坐标为 1 1 1 点P关于z轴的对称点P2的坐标为 1 1 1 解析 1 结合长方