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第十九章推理与证明 数学归纳法 高考数学 1 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法 2 数学归纳法 1 当n取第一个值n0 n0 N 时 证明命题成立 2 假设当n k k N k n0 时命题成立 并证明当n k 1时 命题也成立 于是对一切n N n n0 命题都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 运用数学归纳法证明命题要分为两步 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 这两步缺一不可 知识清单 数学归纳法以数列 不等式等知识为载体 融分类讨论 等价转化等数学思想方法于其中 或者要求先进行不完全归纳 猜测出结论 再运用数学归纳法进行证明 这是高考对本部分知识命制试题最常用的形式 例 2016江苏南通高三调研 已知函数f0 x x sinx cosx 设fn x 为fn 1 x 的导数 n N 1 求f1 x f2 x 的表达式 2 写出fn x 的表达式 并用数学归纳法证明 方法技巧 解析 1 因为fn x 为fn 1 x 的导数 所以f1 x f0 x sinx cosx x cosx sinx x 1 cosx x 1 sinx 同理 f2 x x 2 sinx x 2 cosx 2 由 1 得f3 x f2 x x 3 cosx x 3 sinx 把f1 x f2 x f3 x 分别改写为f1 x x 1 sin x 1 cos f2 x x 2 sin x 2 cos f3 x x 3 sin x 3 cos 猜测fn x x n sin x n cos 下面用数学归纳法证明上述等式 i 当n 1时 由 1 知 等式 成立 ii 假设当n k时 等式 成立 即fk x x k sin x k cos 则当n k 1时 fk 1 x fk x sin x k cos cos x k x k 1 cos x k 1 x k 1 sin x k 1 cos 即当n k 1
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