《极值问题》PPT课件.ppt

6 9极值问题 1 多元函数极值问题 则称函数在点处有极大 小 值 极值 称点为极大 小 值点 极值点 定义设函数在区域内有定义 是的内点 若存在的一个邻域 使得对该邻域内任一点 都有 二元函数的极值图例 有极小值 有极大值 定理1 极值的必要条件 证 特别地有 上式表明一元函数在取得极大值 由一元函数 取得极值的必要条件 有 同理可证 各偏导数存在的极值点一定是稳定点 但稳定点不一定是极值点 满足方程组的点为的稳定点 定理 极值存在的充分条件 令 根据代数知识 为简便起见 令 则 证 根据泰勒公式有 根据二阶偏导数连续的假定 因此 一定不是极值 可能是 也可能不是极值 例3 求函数 解第一步求稳定点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 在点 1 0 处 为极小值 解方程组 的极值 求二阶偏导数 在点 3 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 在点 1 2 处 不是极值 补例 讨论函数 及 是否取得极值 解显然 0 0 都是它们的驻点 在 0 0 点邻域内的取值 因此z 0 0 不是极值 因此 为极小值 正 负 0 在点 0 0 并且在 0 0 都有 可能为 2 多元函数的最值问题 若函数在闭区域D上连续时 它在D上有最大 小 值 最值一定是在极值点或边界上取得 在实际应用中 若根据问题的性质可知函数在区域D内部取到最值 而函数在D内又只有唯一的稳定点 则可判定函数在该稳定点即取得最值 问题的提出 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系y f x 需要解决两个问题 1 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 2 确定近似函数的标准 实验数据有误差 不能要求 最小二乘法 偏差 有正有负 值都较小且便于计算 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数f x 最小二乘法原理 设有一列实验数据 分布在某条曲线上 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法 找出的函数关系称为经验公式 它们大体 特别 当数据点分布近似一条直线时 问题为确定a b 令 满足 使 得 解此线性方程组即得a b 称为法方程组 使利用这个近似公式算出的值与实验所得值的误差平方和 最小 例4 最小二乘法 已知变量是变量的函数 由实验测得当取得个不同的值时 对应的的值分别为 试据此作一个最佳线性近似公式 解 问题转化为求二元函数的最小值 令 即 解此线性方程组即得a b 称为法方程组 用归纳法可证方程组的系数行列式 于是得到最 线性近似公式 补例 解设水箱长 宽分别为x ym 则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得稳定点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 的有盖长方体水 问当长 宽 高各取怎样的尺寸时 才能使用料最省 因此可 断定此唯稳定一点就是最小值点 即当长 宽均为 高为 时 水箱所用材料最省 3 条件极值 极值问题 无条件极值 条件极值 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 例如求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体三棱的长为x y z 则体积为V xyz 又因表面积为a2 所以x y z必须满足附加条件2 xy yz xz a2 但我们可把条件极值化为无条件极值问题 即将z表成x y的函数 再把上式代入V xyz中 则问题化为 的无条件极值 条件极值的求法 方法1代入法 求一元函数 的无条件极值问题 例如 方法2拉格朗日乘数法 如方法1所述 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题 极值点必满足 设 记 例如 故 故有 引入辅助函数 辅助函数F称为拉格朗日 Lagrange 函数 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 其中是常数 称为拉格朗日乘数 解方程组 再判断此稳定点是否是条件极值点 设法消去而得到的解 它们就是条件极值的稳定点 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 例如 求函数 下的极值 在条件 例求表面积为而体积为最大的长方体的体积 解设长方体的三棱长 则问题就是在条件 下 求函数 的最大值 作拉格朗日函数 求其对的一阶偏导数 并使之为零 得到 由以上两式得 将上式代入 1 式 可得 这是唯一可能的极值点 此时最大体积为 例5