高考数学大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直课件理.ppt

第7节立体几何中的向量方法 最新考纲 考点专项突破 知识链条完善 解题规范夯实 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 直线的方向向量 平面的法向量都是唯一确定的吗 提示 不是唯一确定 一条直线的方向向量有无数个 平面的法向量有无数个 2 若空间向量a平行于平面 则a所在直线与平面 平行吗 提示 不一定 也可能在平面内 因为向量是自由向量 没有重合 只有平行 向量所在的直线可以在平面内 这样的向量也是和平面平行的 3 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角吗 提示 不一定 向量的夹角范围为 0 而两直线的夹角为 0 知识梳理 1 直线的方向向量和平面的法向量 1 直线的方向向量 直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量 显然一条直线的方向向量有个 2 平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作n 此时向量n叫做平面 的法向量 显然一个平面的法向量有个 且它们是向量 2 直线与平面 平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 1 线面平行l a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 无数 无数 共线 2 线面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 3 求二面角的大小 若AB CD分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小就是的夹角 如图 1 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是二面角的平面角的大小 如图 2 3 其中图 2 中向量夹角的大小即为二面角平面角 图 3 中则为其补角 3 线面距 面面距均可转化为点面距再用 2 中方法求解 对点自测 1 若平面 的一个法向量为 1 2 0 平面 的一个法向量为 2 1 0 则平面 和平面 的位置关系是 A 平行 B 相交但不垂直 C 垂直 D 重合 解析 由 1 2 0 2 1 0 1 2 2 1 0 0 0 知两平面的法向量互相垂直 所以两平面互相垂直 C 2 已知平面 内有一个点M 1 1 2 平面 的一个法向量是n 6 3 6 则下列点P在平面 内的是 A P 2 3 3 B P 2 0 1 C P 4 4 0 D P 3 3 4 A C B C 第一课时证明平行和垂直 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 利用空间向量证明平行问题 例1 导学号18702396如图所示 在四棱锥P ABCD中 PC 平面ABCD PC 2 在四边形ABCD中 ABC BCD 90 AB 4 CD 1 点M在PB上 PB 4PM PB与平面ABCD成30 的角 求证 1 CM 平面PAD 2 平面PAB 平面PAD 利用向量法证明平行问题的三种方法 1 证明线线平行 两条直线的方向向量平行 2 证明线面平行 该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 3 证明面面平行 两个平面的法向量平行 反思归纳 即时训练 2015 兰州模拟 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证 MN 平面A1BD 考点二 利用空间向量证明垂直问题 例2 导学号18702397如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 证明 1 AE CD 2 PD 平面ABE 即时训练 导学号18702398如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AB 5 AA1 4 点D是AB的中点 1 证明AC BC1 2 证明AC1 平面CDB1 考点三 利用空间向量解决与垂直 平行有关的探索问题 1 证明 因为平面PAD 平面ABCD AB AD 所以AB 平面PAD 所以AB PD 又因为PA PD 所以PD 平面PAB 2 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 2 解 取AD的中点O 连接PO CO 因为PA PD 所以PO AD 又因为PO 平面PAD 平面PAD 平面ABCD 所以PO 平面ABCD 因为CO 平面ABCD 所以PO CO 因为AC CD 所以CO AD 如图建立空间直角坐标系O xyz 3 在棱PA上是否存在点M 使得BM 平面PCD 若存在 求的值 若不存在 说明理由 立体几何开放性问题求解方法有以下两种 1 根据条件做出判断 再进一步论证 2 假设所求的点或线存在 并设定参数表达已知条件 根据题目进行求解 若能求出参数的值且符合已知限定的范围 则存在 反思归纳 1 求证 EM 平面ABC 2 求出该几何体的体积 3 试问在边CD上是否存在点N 使MN 平面BDE 若存在 确定点N的位置 若不存在 请说明理由 备选例题 例1 2016 莱芜一模 如图所示 正方体ABCD A B C D 的棱长为1 E F分别是BC CD上的点 且BE CF a 0 a 1 则D E与B F的位置关系是 A 平行 B 垂直 C 相交 D 与a值有关 例2 2016 海淀区模拟 如图所示 ABCD是边长为3的正方形 DE 平面ABCD AF DE DE 3AF BE与平面ABCD所成角为60 1 求证 AC 平面BDE 1 证明 因为DE 平面ABCD 所以DE AC 因为四边形ABCD是正方形 所以AC BD 从而AC 平面BDE 2 设点M是线段BD上一个动点 试确定M的位置 使得AM 平面BEF 并证明你的结论 利用向量法解决立体几何问题 解题规范夯实把典型问题的解决程序化 1 证明 D H 平面ABCD 2 求二面角B D A C的正