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高中数学易错 易混 易忘知识点总结高中数学易错 易混 易忘知识点总结 易错点易错点 1 忽视空集是忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面 任何非空集合的子集导致思维不全面 例例 1 设设 若 若 A B B 求实数 求实数 a 组成的集合组成的集合 2 8150Ax xx 10Bx ax 综上满足条件的综上满足条件的 a 组成的集合为组成的集合为 1 1 0 3 5 练练 1 已知集合已知集合 若 若 2 40Ax xx 22 2110Bx xaxa BA 则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是 答案 答案 或或 1a 1a 易错点易错点 2 求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则 求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则 例例 2 已知 已知 求求的取值范围的取值范围 2 2 21 4 y x 22 xy 答案 答案 x2 y2的取值范围是的取值范围是 1 3 28 练练 2 若动点 若动点 x y 在曲线 在曲线上变化 则上变化 则的最大值为的最大值为 22 2 1 4 xy b 0b 2 2xy A B C D 2 4 04 4 24 b b b b 2 4 02 4 22 b b b b 2 4 4 b 2b 答案 答案 A 易错点易错点 3 判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件 定义域关于原点对称 判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件 定义域关于原点对称 例例 5 判断函数判断函数的奇偶性 的奇偶性 2 lg 1 22 x f x x 解析 由函数的定义域为解析 由函数的定义域为定义域关于原点对称 在定义域下定义域关于原点对称 在定义域下易证易证 1 00 1 2 lg 1x f x x 即函数为奇函数即函数为奇函数 fxf x 练练 5 判断下列函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性 22 44f xxx 1 1 1 x f xx x 1sincos 1sincos xx f x xx 答案 答案 既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 易错点易错点 4 证明或判断函数的单调性要从定义出发 注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则 证明或判断函数的单调性要从定义出发 注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则 例例 7 试判断函数 试判断函数的单调性并给出证明 的单调性并给出证明 0 0 b f xaxab x 解析 由于解析 由于即函数即函数为奇函数 因此只需判断函数为奇函数 因此只需判断函数在在上的单调上的单调 fxf x f x f x 0 性即可 设性即可 设 由于由于 故当故当 12 0 xx 12 1212 12 ax xb f xf xxx x x 12 0 xx 时时 此时函数 此时函数在在上增函数 同理可上增函数 同理可 12 b x x a 12 0f xf x f x b a 证函数证函数在在上为减函数 又由于函数为奇函数 故函数在上为减函数 又由于函数为奇函数 故函数在为减函数 在为减函数 在 f x0 b a 0 b a 为增函数 综上所述 函数为增函数 综上所述 函数在在和和上分别为增函数 在上分别为增函数 在 b a f x b a b a 和和上分别为减函数上分别为减函数 0 b a 0 b a 练练 7 1 潍坊市统考题 潍坊市统考题 1 用单调性的定义判断函数 用单调性的定义判断函数在在 1 0 x f xaxa ax f x 上的单调性 上的单调性 2 设 设在在的最小值为的最小值为 求 求的解析式 的解析式 0 f x01x g a yg a 答案 答案 1 函数在 函数在为增函数在为增函数在为减函数 为减函数 2 1 a 1 0 a 1 21 01 a ayg a aa 易错点易错点 5 在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用 导致错误在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用 导致错误 结论 结论 练练 8 函数函数是是单调函数的充要条件是 是是单调函数的充要条件是 2 yxbxc 0 x A B C D 0b 0b 0b 0b 答案 答案 A 易错点易错点 6 应用重要不等式确定最值时 忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量应用重要不等式确定最值时 忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量 值是否在定义域限制范围之内 值是否在定义域限制范围之内 例例 9 已知 已知 a 0 b 0 a b 1 求求 a 2 b 2的最小值的最小值 a 1 b 1 错解错解 a 2 b 2 a2 b2 4 2ab 4 4 4 8 a 2 b 2的最小的最小 a 1 b 1 2 1 a 2 1 bab 2 ab ab 1 a 1 b 1 值是值是 8 易错点分析易错点分析 上面的解答中 两次用到了基本不等式上面的解答中 两次用到了基本不等式 a2 b2 2ab 第一次等号成立的条件是 第一次等号成立的条件是 a b 2 1 第二次等号成立的条件第二次等号成立的条件 ab 显然 这两个条件是不能同时成立的 因此 显然 这两个条件是不能同时成立的 因此 8 不是最小值 不是最小值 ab 1 解析 原式解析 原式 a2 b2 4 a2 b2 4 a b 2 2ab 2 4 1 2ab 2 1 a 2 1 b 2 1 a 2 1 ba 1 b 1 ab 2 1 4 由由 ab 2 得 得 1 2ab 1 且且 16 1 17 原式原式 22 1 ba2 ba 4 1 2 1 2 1 22 1 ba 22 1 ba 17 4 当且仅当当且仅当 a b 时 等号成立时 等号成立 a 2 b 2的最小值是的最小值是 2 1 2 25 2 1 a 1 b 1 2 25 知识归类点拔知识归类点拔 在应用重要不等式求解最值时 要注意它的三个前提条件缺一不可即在应用重要不等式求解最值时 要注意它的三个前提条件缺一不可即 一正 二定 三一正 二定 三 相等相等 在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内 在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内 易错点易错点 7 在涉及指对型函数的单调性有关问题时 没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函在涉及指对型函数的单调性有关问题时 没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函 数的真数的限制条件 数的真数的限制条件 练练 10 设设 且 且试求函数试求函数 y log a 4 3x x2 的的单调区间 的的单调区间 0a 1a 答案 当答案 当 函数在 函数在上单调递减在上单调递减在上单调递增当上单调递增当函数在函数在上单上单01a 3 1 2 3 4 2 1a 3 1 2 调递增在调递增在上单调递减 上单调递减 3 4 2 易错点易错点 8 用换元法解题时 易忽略换元前后的等价性 用换元法解题时 易忽略换元前后的等价性 练练 11 不等式不等式 ax 的解集是的解集是 4 b 则则a b x 3 2 答案 答案 提示令换元 提示令换元原不等式变为关于原不等式变为关于 t 的一元二次不等式的解集为的一元二次不等式的解集为 1 36 8 ab xt 2 b 易错点易错点 9 已知已知求求时时 易忽略易忽略 n 的情况 的情况 n S n a 例例 12 数列 数列前前 n 项和项和且且 1 求 求的值及数列的值及数列的通项公式 的通项公式 n a n s 11 1 1 3 nn aas 234 a a a n a 答案 该数列从第二项开始为等比数列故答案 该数列从第二项开始为等比数列故 2 11 1 4 2 3 3 n n n a n 知识点归类点拔知识点归类点拔 对于数列对于数列与与之间有如下关系 之间有如下关系 利用两者之间的关系利用两者之间的关系 n a n s 1 1 1 2 n nn sn a ssn 可以已知可以已知求求 但注意只有在当 但注意只有在当适合适合时两者才可以合并否则要写分段函时两者才可以合并否则要写分段函 n s n a 1 a 1 2 nnn assn 数的形式 数的形式 练练 12 已知数列已知数列满足满足 a1 1 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 则数列则数列的通项的通项 n a n a 为为 答案 将条件右端视为数列答案 将条件右端视为数列的前的前 n 1 项和利用公式法解答即可 项和利用公式法解答即可 n na 11 2 2 n n a n n 易错点易错点 10 利用函数知识求解数列的最大项及前利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其 子集 从子集 从 1 开始 开始 练练 13 设设是等差数列 是等差数列 是前是前 n 项和 且项和 且 则下列结论错误的是 则下列结论错误的是 n a n s 56 ss 678 sss A B C D 和和均为均为的最大值 的最大值 0d 7 0a 95 ss 6 s 7 s n s 答案 答案 C 提示利用二次函数的知识得等差数列前 提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项和关于项和关于 n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答 的二次函数的对称轴再结合单调性解答 易错点易错点 11 解答数列问题时没有结合等差 等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐 解答数列问题时没有结合等差 等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐 例例 14 已知关于的方程 已知关于的方程和和的四个根组成首项为的四个根组成首项为的等差数列 求的等差数列 求 2 30 xxa 2 30 xxb 3 4 的值 的值 ab 思维分析思维分析 注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件 结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件 结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如 何排列的 何排列的 解析 根据等差数列知识易知此等差数列为 解析 根据等差数列知识易知此等差数列为 故故从而从而 3 5 7 9 4 4 4 4 2735 1616 ab ab 31 8 易错点易错点 12 用等比数列求和公式求和时 易忽略公比 的情况用等比数列求和公式求和时 易忽略公比 的情况 练练 15 2005 高考全国卷一第一问 设等比数列高考全国卷一第一问 设等比数列的公比为的公比为 q 前 前 n 项和项和 1 求 求 q 的取值的取值 n a0 n s 范围 范围 答案 答案 1 00 易错点易错点 13 在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n 项和不会采用错项相减项和不会采用错项相减 法或解答结果不到位 法或解答结果不到位 练练 16 已知已知 un an an 1b an 2b2 abn 1 bn 当当时 求时 求 0 0nNab ab 数列数列的前的前 n 项和项和 n a n s 答案 答案 时时当当时时 1a 212 2 122 1 nn n nanaaa s a 1a 3 2 n n n s 易错点易错点 14 不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法 在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法 在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项 的规律不清 导致多项或少项 的规律不清 导致多项或少项 例例 17 求 求 n S 321 1 21 1 1 1 n 321 1 答案 答案 2 2n n n n 1 1 练练 17 2005 济南统考 求和济南统考 求和 12 12 2 2 n S 14 14 2 2 16 16 2 2 1 2 1 2 2 2 n n 答案 答案 7 1 5 1 1 5 1 3 1 1 3 1 1 1 1 n S 12 1 12 1 1 nn12 2 n n n 易错点易错点 15 易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用 缺乏严谨的逻辑思维 易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用 缺乏严谨的逻辑思维 练练 18 1 2000 全国 已知数列全国 已知数列 其中其中 且数列且数列为等比数列为等比数列 求常数求常数 n c23 nn n c 1nn cpc p 答案 答案 p 2 或或 p 3 提示可令 提示可令 n 1 2 3 根据等比中项的性质建立关于根据等比中项的性质建立关于 p 的方程 再说明的方程 再说明 p 值对任意自然数值对任意自然数 n 都成立 都成立 易错点易错点 16 用判别式判定方程解的个数 或交点的个数 时 易忽略讨论二次项的系数是否为 尤用判别式判定方程解的个数 或交点的个数 时 易忽略讨论二次项的系数是否为 尤 其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略 例例 19 已知双曲线 已知双曲线 直线 直线 讨论直线与双曲线公共点的个数 讨论直线与双曲线公共点的个数 22 4xy 1yk x 综上知当综上知当或或时直线与双曲线只有一个交点 当时直线与双曲线只有一个交点 当且且 时 时1k 2 3 3 k 2 32 3 33 k 1k 直线与双曲线有两个交点 当直线与双曲线有两个交点 当或或时方程组无解此时直线与双曲线无交点 时方程组无解此时直线与双曲线无交点 2 3 3 k 2 3 3 k 知识点归类点拔知识点归类点拔 判断直线与双曲线的位置关系有两种方法 一种代数方法即判断方程组解的个数对应判断直线与双曲线的位置关系有两种方法 一种代数方法即判断方程组解的个数对应 于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答 并且这两种方法于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答 并且这两种方法 的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行 此时叫做直线与双曲线相交但的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行 此时叫做直线与双曲线相交但 只有一个公共点 通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分只有一个公共点 通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分 条件 第二种情况对应于直线与双曲线相切 通过本题可以加深体会这种数与形的统一 条件 第二种情况对应于直线与双曲线相切 通过本题可以加深体会这种数与形的统一 练练 19 1 已知双曲线 已知双曲线 C 过点 过点 P 1 1 作直线 作直线 l 使使 l 与与 C 有且只有一个公共点 则满足上述条有且只有一个公共点 则满足上述条 件的直线件的直线 l 共有共有 条 答案 条 答案 4 条 可知条 可知 kl存在时 令存在时 令 l y 1 k x 1 代入代入中整理有中整理有 4 k2 1 4 2 2 y x x2 2k k 1 x 1 k2 4 0 当当4 k2 0即即k 2时 有一个公共点 当时 有一个公共点 当k 2时 由时 由 0有有 有一个切点另 当 有一个切点另 当kl不存不存 2 5 k 在时 在时 x 1也和曲线也和曲线C有一个切点有一个切点 综上 共有综上 共有4条满足条件的直线 条满足条件的直线 易错点易错点 17 易遗忘关于易遗忘关于和和齐次式的处理方法 齐次式的处理方法 sin cos 例 20 已知 求 1 2 的值 2tan sincos sincos 22 cos2cos sinsin 易错点易错点 18 单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘 应用意识不强 另一方面易单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘 应用意识不强 另一方面易 将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来 产生概念性的错误 将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来 产生概念性的错误 例例 21 下列命题正确的是 下列命题正确的是 A 都是第二象限角 若都是第二象限角 若 则 则B 都是第三象限角 若都是第三象限角 若 sinsin tantan 则 则C 都是第四象限角 若都是第四象限角 若 则 则coscos sinsin sinsin D 都是第一象限角 若都是第一象限角 若 则 则 tantan coscos sinsin 解析 解析 A 由三角函数易知此时角 由三角函数易知此时角的正切线的数量比角的正切线的数量比角的正切线的数量要小即的正切线的数量要小即B tantan 同理可知同理可知C 知满足条件的角 知满足条件的角的正切线的数量比角的正切线的数量比角的正切线的数量要大即的正切线的数量要大即sinsin 正确 正确 D 同理可知应为 同理可知应为 tantan sinsin 易错点易错点 19 在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时 易将在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时 易将和和求错 求错 例例 23 要得到函数 要得到函数的图象 只需将函数的图象 只需将函数的图象 的图象 sin 2 3 yx 1 sin 2 yx A 先将每个先将每个 x 值扩大到原来的值扩大到原来的 4 倍 倍 y 值不变 再向右平移值不变 再向右平移个单位 个单位 3 B 先将每个先将每个 x 值缩小到原来的值缩小到原来的倍 倍 y 值不变 再向左平移值不变 再向左平移个单位 个单位 1 43 C 先把每个先把每个 x 值扩大到原来的值扩大到原来的 4 倍 倍 y 值不变 再向左平移个值不变 再向左平移个单位 单位 6 D 先把每个先把每个 x 值缩小到原来的值缩小到原来的倍 倍 y 值不变 再向右平移值不变 再向右平移个单位 个单位 1 46 易错点易错点 20 没有挖掘题目中的确隐含条件 忽视对角的范围的限制而造成增解现象 没有挖掘题目中的确隐含条件 忽视对角的范围的限制而造成增解现象 例例 24 已知 已知 求求的值 的值 0 7 sincos 13 tan 解析 据已知解析 据已知 1 有 有 又由于 又由于 故有 故有 7 sincos 13 120 2sincos0 169 0 从而 从而即即sin0 cos0 sincos0 2 联立 联立 1 2 可得 可得 可 可 17 sincos12sincos 13 125 sin cos 1313 得得 12 tan 5 易错点易错点 21 根据已知条件确定角的大小 没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角根据已知条件确定角的大小 没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角 函数名称不适当造成错解 函数名称不适当造成错解 例例 25 若 若 且 且 均为锐角 求均为锐角 求的值 的值 510 sin sin 510 解析 由解析 由且且 均为锐角知解析 由均为锐角知解析 由且且 510 sin sin 510 510 sin sin 510 均为锐角知均为锐角知 则则 2 53 10 cos cos 510 由由 均为锐角即均为锐角即故故 2 53 105102 cos 5105102 0 易错点易错点 22 对正弦型函数对正弦型函数及余弦型函数及余弦型函数的性质 如图象 的性质 如图象 sinyAx cosyAx 对称轴 对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义 对称轴 对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义 例例 26 如果函数 如果函数的图象关于直线的图象关于直线对称 那么对称 那么 a 等于 等于 sin2cos2yxax 8 x A B C 1 D 122 易错点分析易错点分析 函数函数的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底 且与的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底 且与 y 轴平行 而轴平行 而 sinyAx 对称中心是图象与对称中心是图象与 x 轴的交点 学生对函数的对称性不理解误认为当轴的交点 学生对函数的对称性不理解误认为当时 时 y 0 导致解答出错 导致解答出错 8 x 解析 法一 函数的解析式可化为解析 法一 函数的解析式可化为 故 故的最大值为的最大值为 依题意 依题意 2 1sin 2yax y 2 1a 直线直线是函数的对称轴 则它通过函数的最大值或最小值点即是函数的对称轴 则它通过函数的最大值或最小值点即 8 x sincos 44 a 解得 解得 故选故选 D 2 1a 1a 法二 若函数关于直线 法二 若函数关于直线是函数的对称则必有是函数的对称则必有 代入即得 代入即得 8 x 0 4 ff 1a 练练 26 1 2003 年高考江苏卷年高考江苏卷 18 已知函数 已知函数上上 R 上的偶函数 上的偶函数 0 0 sin xxf 其图象关于点其图象关于点对称 且在区间对称 且在区间上是单调函数 求上是单调函数 求和和 的值的值 0 4 3 M 2 0 答案 答案 或或 2 23 2 2 2005 全国卷一第全国卷一第 17 题第一问 设函数的题第一问 设函数的 sin 2f xx 图象的一条对称轴是直线图象的一条对称轴是直线 求 求 答案 答案 yf x 8 x 3 4 易错点易错点 23 利用正弦定理解三角形时 若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时 易忽视三角利用正弦定理解三角形时 若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时 易忽视三角 形解的个数 形解的个数 例例 27 在 在中 中 求 求的面积的面积ABC 30 2 3 2BABAC ABC 解析 故相应的三角形面积为解析 故相应的三角形面积为或或 1 2 32sin303 2 s 1 2 322 3 2 知识点归类点拔知识点归类点拔 正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具 它沟通了三角形中的边角之间的内正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具 它沟通了三角形中的边角之间的内 在联系 正弦定理能够解决两类问题 在联系 正弦定理能够解决两类问题 1 已知两角及其一边 求其它的边和角 这时有且只有一解 已知两角及其一边 求其它的边和角 这时有且只有一解 2 已知两边和其中一边的对角 求其它的边和角 已知两边和其中一边的对角 求其它的边和角 这是由于正弦函数在在区间这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调 内不严格格单调 0 此时三角形解的情况可能是无解 一解 两解 可通过几何法来作出判断三角形解的个数 如 在此时三角形解的情况可能是无解 一解 两解 可通过几何法来作出判断三角形解的个数 如 在 中 已知中 已知 a b 和和 A 解的情况如下 解的情况如下 ABC 1 当当 A 为锐角为锐角 2 若 若 A 为直角或钝角为直角或钝角 练练 27 如果满足如果满足 的三角形恰有一个的三角形恰有一个 那么那么 k 的取值范围是 的取值范围是 60ABC 2AC BCk A B C D 或或8 3012k 12k 012k 8 3k 答案 答案 D 易错点易错点 24 含参分式不等式的解法 易对分类讨论的标准把握不准 分类讨论达不到不重不漏的目的 含参分式不等式的解法 易对分类讨论的标准把握不准 分类讨论达不到不重不漏的目的 例例 29 解关于 解关于 x 的不等式的不等式 1 a 1 2 1 x xa 易错点分析易错点分析 将不等式化为关于将不等式化为关于 x 的一元二次不等式后 忽视对二次项系数的正负的讨论 导致错解 的一元二次不等式后 忽视对二次项系数的正负的讨论 导致错解 解 综上所述 当解 综上所述 当 a 1 时解集为时解集为 2 当 当 0 a 1 时 解集为时 解集为 2 当 当 a 0 1 2 a a 1 2 a a 时 解集为时 解集为 当 当 a 0 时 解集为时 解集为 2 1 2 a a 易错点易错点 25 求函数的定义域与求函数值域错位求函数的定义域与求函数值域错位 练练 30 已知函数已知函数的定义域和值域分别为的定义域和值域分别为 R 试分别确定满足试分别确定满足 22 1212f xaxax 条件的条件的 a 的取值范围 答案 的取值范围 答案 1 或或 2 或或1a 3a 31a 1a 易错点易错点 26 利用函数的的单调性构造不等关系 要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制 利用函数的的单调性构造不等关系 要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制 例例 33 记 记 若不等式 若不等式的解集为的解集为 试解关于 试解关于 t 的不等式的不等式 2 f xaxbxc 0f x 1 3 2 82ftft 解析 不等式的解为 解析 不等式的解为 33t 练练 33 1 设函数 设函数 求使求使 的的的的 x 取值范围取值范围 f x 1 1 2 xx f x22 答案答案 x 取值范围是取值范围是 4 3 易错点易错点 27 涉及向量的有关概念 运算律的理解与应用 易产生概念性错误 涉及向量的有关概念 运算律的理解与应用 易产生概念性错误 例例 35 下列命题 下列命题 若若 则则 422 aaa bcacba a bababb cac 则存在唯一实数 则存在唯一实数 使 使 若若 且 且 则 则 设设是是abab cbca c oba 21 ee 平面内两向量 则对于平面内任何一向量平面内两向量 则对于平面内任何一向量 都存在唯一一组实数 都存在唯一一组实数 x y 使 使成立 成立 若若 a 21 eyexa 则则 0 0 则 则 或或 真命题个数为 真命题个数为 a baba ba ba 0b 0 A 1B 2C 3D 3 个以上个以上 解析 解析 正确 正确 错误 错误 错误 错误 错误 错误 错误 错误 错误 错误 错误 错误 正确 正确 错误 错误 答案 答案 B 易错点易错点 28 利用向量的加法 减法 数量积等运算的几何意义解题时 数形结合的意识不够 忽视隐利用向量的加法 减法 数量积等运算的几何意义解题时 数形结合的意识不够 忽视隐 含条件 含条件 例例 36 四边形四边形 ABCD 中 中 且 且ABBCCDDA 试问四边形 试问四边形 ABCD 是什么图形是什么图形 解 四边形解 四边形 ABCD 是矩形是矩形 练练 36 1 2003 高考江苏 高考江苏 O 是平面上一是平面上一 定点 定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点是平面上不共线的三个点 动点 P 满足满足 则则 P 的轨迹一定通过的轨迹一定通过 ABC 的的 0 AC AC AB AB OAOP A 外心 外心B 内心 内心C 重心 重心D 垂心 垂心 2 2005 全国卷文科 点全国卷文科 点 O 是三角形是三角形 ABC 所在平面内的一点 满足所在平面内的一点 满足 则点 则点 O 是是的 的 OAOCOCOBOBOA ABC A 三个内角的角平分线的交点 三个内角的角平分线的交点 B 三条边的垂直平分线的交点 三条边的垂直平分线的交点 C 三条中线的交点 三条中线的交点 D 三条高的交点 三条高的交点 答案 答案 1 B 2 D 易错点易错点 29 忽视向量积定义中对两向量夹角的定义 忽视向量积定义中对两向量夹角的定义 例例 37 已知 已知中中 求求ABC 5 8 7abc BCCA 答案 故据数量积的定义知答案 故据数量积的定义知 5 8cos12020BCCA 知识点归类点拔知识点归类点拔 高中阶段涉及角的概念不少高中阶段涉及角的概念不少 在学习过程中要明确它们的概念及取值范围在学习过程中要明确它们的概念及取值范围 如直线的倾如直线的倾 斜角的取值范围是斜角的取值范围是 两直线的夹角的范围是 两直线的夹角的范围是 两向量的夹角的范围是 两向量的夹角的范围是 0 180 0 90 0 180 异面直线所成的角的范围是异面直线所成的角的范围是 直线和平面所成的角的范围是 直线和平面所成的角的范围是二面角的取值范围是二面角的取值范围是 0 90 0 90 0 180 易错点易错点 30 立体图形的截面问题 立体图形的截面问题 例例 56 正方体 正方体 E F 分别是分别是 的中点 的中点 p 是是上的动点 包括端点 上的动点 包括端点 ABCD 1111 A BC D 1 AA 1 CC 1 CC 过 过 E D P 作正方体的截面 若截面为四边形 则作正方体的截面 若截面为四边形 则 P 的轨迹是 的轨迹是 A 线段线段B 线段 线段C 线段 线段和一点和一点D 线段 线段和一点和一点 C 1 C FCFCF 1 C 1 C F 答案 选答案 选 C 知识点归类点拔知识点归类点拔 高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对 平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查 考生往往对这一类型的题感到吃力 实质上高中平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查 考生往往对这一类型的题感到吃力 实质上高中 阶段对作截面的方法无非有如下两种 一种是利有平面的基本定理 一个就是一条直线上有两点在一平面阶段对作截面的方法无非有如下两种 一种是利有平面的基本定理 一个就是一条直线上有两点在一平面 内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线 即交线 内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线 即交线 注意 注意 该定理地应用如证明诸线共点的方法 先证明其中两线相交 再证明此交点在第三条直线上即转化为此点该定理地应用如证明诸线共点的方法 先证明其中两线相交 再证明此交点在第三条直线上即转化为此点 为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线 诸点共线 即证明此诸点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线 诸点共线 即证明此诸点 都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上 据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上 据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通 过空间想象分别取两组直线分别相交 则其交点必为两平面的公共点 并且两交点的连线即为两平的交线 过空间想象分别取两组直线分别相交 则其交点必为两平面的公共点 并且两交点的连线即为两平的交线 另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理 去寻找线面平行及面面平行关系 然后根据性质作另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理 去寻找线面平行及面面平行关系 然后根据性质作 出交线 一般情况下这两种方法要结合应用 出交线 一般情况下这两种方法要结合应用 练练 56 1 2005 高考全国卷二 正方体高考全国卷二 正方体 ABCD A1 B1 C1 D1中 中 P Q R 分别是 分别是 AB AD B1 C1 的中点 那么正方体的过的中点 那么正方体的过 P Q R 的截面图形是 的截面图形是 A 三角形 三角形 B 四边形 四边形 C 五边形 五边形 D 六边形 六边形 答案 答案 D 2 在正三棱柱 在正三棱柱 中 中 P Q R 分别是分别是 的中点 作出过三点的中点 作出过三点ABC 111 A BCBC 1 CC 11 AC P Q R 截正三棱柱的截面并说出该截面的形状 答案 五边形 截正三棱柱的截面并说出该截面的形状 答案 五边形 易错点易错点 31 判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数 例例 57 93 全国考试 如果异面直线全国考试 如果异面直线 a b 所在的角为所在的角为 P 为空间一定点 则过点为空间一定点 则过点 P 与与 a b 所成的角所成的角50 都是都是的直线有几条 的直线有几条 30 A 一条 一条 B 二条二条 C 三条三条 D 四条四条 解析 如图 过点解析 如图 过点 P 分别作分别作 a b 的平行线的平行线 则 则 所成的角所成的角 a b a b 也为也为 即过点 即过点 P 与与 成相等的角的直线必与异面直线成相等的角的直线必与异面直线 a b 成相成相50 a b 等的角 由于过点等的角 由于过点 P 的直线的直线 L 与与 成相等的角故这样的直线成相等的角故这样的直线 L 在在 a b a 确定的平面的射影在其角平分线上 则此时必有确定的平面的射影在其角平分线上 则此时必有 b 当当时 时 coscoscosAPBAPOOPB cos30 cos cos25 APO 有有 此时这样的直线存在且有两条当 此时这样的直线存在且有两条当时 有时 有 cos30 cos0 1 cos25 APO 130BPC 这样的直线不存在 故选这样的直线不存在 故选 B cos30 cos1 cos65 APO 练练 57 如果异面直线如果异面直线 a b 所在的角为所在的角为 P 为空间一定点 则过点为空间一定点 则过点 P 与与 a b 所成的角都是所成的角都是的直的直100 50 线有几条 线有几条 A 一条 一条 B 二条二条 C 三条三条 D 四条四条 答案 答案 C 易错点易错点 32 对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内一个平面内的两条相交直线与另一个平面内 的两条相交直线分别平行的两条相交直线分别平行 容易导致证明过程跨步太大 容易导致证明过程跨步太大 例例 59 如图 在正方体 如图 在正方体中 中 M N P 分别是分别是的中点 的中点 1111 ABCDABC D 11111 C C BC C D 求证 平面求证 平面 MNP 平面平面 1 ABD 0 l C B b a A p 易错点分析易错点分析 本题容易证得本题容易证得 MN MP BD 而直接由此得出而直接由此得出 1 AD 面面 1 MNPABD面 解析 连结解析 连结分别是分别是的中点 的中点 111 B D B CP N 1111 DC BC 11 PNB D 11 B DBDPN BD 又又同理 同理 11 PNABDPNABD 面平面 1 MNABDPNMNN 平面又 1 DMNABD 平面平面 知识点归类点拨知识点归类点拨 个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问 题 即题 即 线面平行则面面平行线面平行则面面平行 必须注意这里的 必须注意这里的 线面线面 是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面 定是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面 定 理中的条件缺一不可 理中的条件缺一不可 练练 59 正方体正方体中 中 1 M N 分别是棱分别是棱 1111 ABCDABC D 的中点 的中点 E F 分别是棱分别是棱的中点 的中点 求证 求证 1111 AB AD 1111 BC C D E F B D 共面 共面 平面平面 AMN 平面平面 EFDB 平面平面 平面平面 11 AB D 1 C BD 证明 证明 1 则则 E F B D 共面 共面 1111 EFB D B DBDEFBD 易证 易证 MN EF 设 设 1111 ACMNP ACEFQ ACBDO PQAO PQAOPAOQ AMNEFDB 平面平面 连结连结 AC 为正方体 为正方体 同 同 1111 ABCDABC D ACDB 11 AAABCDACBD 平面 理可证理可证于是得于是得 11 ACBC 111 1 ACC BDACABD 平面同理可证平面 111 AB DC BD 面面 易错点易错点 33 求异面直线所成的角 若所成角为求异面直线所成的角 若所成角为 容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重 容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重 0 90 要方法 要方法 例例 60 2001 全国全国 9 在三棱柱 在三棱柱中 若中 若 则 则 111 ABCABC 1 2ABBB 所成角的大小为 所成角的大小为 A B C D 11 ABC B与 0 60 0 90 0 105 0 75 易错点分析易错点分析 忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间 忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间 知识点归类点拨知识点归类点拨 求异面直线所成的角 直线与平面所成的角和二面角时 对特殊的角 求异面直线所成的角 直线与平面所成的角和二面角时 对特殊的角 如如时 可以采用证明垂直的方法来求之 时 可以采用证明垂直的方法来求之 0 90 练练 60 2005 年浙江年浙江 12 设设 M N 是直角梯形是直角梯形 ABCD 两腰的中点 两腰的中点 于于 EDEAD 如图 如图 现将 现将沿沿 DE 折起 使二面角折起 使二面角ADE 为为 此时点 此时点 A 在平面在平面 BCDE 内的内的ADEB 0 45 射影恰为点射影恰为点 B 则 则 M N 的连线与的连线与 AE 所成的角的所成的角的 大小等于大小等于 解析 易知解析 易知取取 AE 中点中点 Q 连 连 MQ BQ 00 45 90 AEBABEABBE N 为为 BC 的中点的中点 11 22 MQDE MQDE DEBC DEB