高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.2利用导数研究函数的单调性和极大(小)值课件.ppt

9 2利用导数研究函数的单调性和极大 小 值 高考数学 1 函数的单调性与导数设函数f x 在 a b 内可导 f x 是f x 的导数 则 知识清单 注 1 f x 在 a b 内可导为此规律成立的一个前提条件 2 对于在 a b 内可导的函数f x 来说 f x 0是f x 在 a b 上为递增函数的充分不必要条件 f x 0 即并不是在定义域中的任意一点处都满足f x 0 3 f x 在I上单调递增 则f x 0在I上恒成立 f x 在I上单调递减 则f x 0在I上恒成立 注 i 在函数的整个定义域内 函数的极值不一定唯一 在整个定义域内可能有多个极大值和极小值 ii 极大值与极小值没有必然关系 极大值可能比极小值还小 iii 导数等于零的点不一定是极值点 例如 f x x3 f x 3x2 当x 0时 f 0 0 但是x 0不是函数的极值点 iv 可导函数的极值点的导数必为零 3 函数的最大值与最小值 1 函数的最大值与最小值 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 但在开区间 a b 内连续的函数f x 不一定有最大值与最小值 2 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 i 求f x 在 a b 内的 极值 ii 将f x 的各 极值与 f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 利用导数研究函数的单调性1 导数法求函数单调区间的一般步骤 求定义域求导数f x 求f x 0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f x 在各个开区间内的符号得相应小开区间上的单调性2 导数法判断函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 求f x 确定f x 在 a b 内的符号 作出结论 f x 0时 f x 为增函数 f x 0时 f x 为减函数 方法技巧 例1 2016江苏苏州中学月考 设函数f x x3 x2 bx c 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 1 求b c的值 2 若a 0 求函数f x 的单调区间 3 设函数g x f x 2x 且g x 在区间 2 1 内存在单调递减区间 求实数a的取值范围 解析 1 f x x2 ax b 由题意得所以 2 由 1 得 f x x2 ax x x a a 0 当x 0 时 f x 0 当x 0 a 时 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 0 a 单调递减区间为 0 a 3 g x x2 ax 2 依题意 存在x 2 1 使不等式g x x2 ax 2 0成立 即x 2 1 时 a 2 所以满足要求的a的取值范围是 2 导数与函数单调性的应用y f x 在某区间上若满足f x 0 那么f x 为该区间上的增函数 若满足f x 0 那么f x 为该区间上的减函数 若函数f x 在某区间上单调递增 或单调递减 则应有f x 0 或f x 0 在该区间上恒成立 例2 1 2017江苏南京溧水中学质检 若函数f x mx2 lnx 2x在定义域内是增函数 则实数m的取值范围是 2 2016江苏常州武进期中 13 已知定义在R上的奇函数f x 设其导函数为f x 当x 0 时 恒有xf x f x 则满足 2x 1 f 2x 1 f 3 的实数x的取值范围是 解析 1 f x 2mx 2 由题意知 f x 0在 0 上恒成立 即2m 在 0 上恒成立 令t 0 则2m t2 2t 又 t2 2t max 1 2m 1 m 2 令F x x f x 则F x f x xf x 当x 0 时 xf x f x 恒成立 且由题意知f x f x 当x 0 时 F x 0 即F x 在 0 上递减 不等式 2x 1 f 2x 1 f 3 可化为 2x 1 f 2x 1 3f 3 即F 2x 1 F 3 易知F x 为偶函数 所以不等式可化为 2x 1 3 解得 1 x 2 答案 1 2 1 2 利用导数研究函数的极 最 值1 解决函数极值问题的一般思路2 函数的最大值 最小值是比较整个定义域内的函数值得出来的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的 极值只能在区间内一点处取得 最值则可以在端点处取得 有极值未必有最值 有最值未必有极值 极值可能成为最值 例3 1 2017江苏南通 徐州联考 已知函数f x x3 ax2 bx a2 7a在x 1处取得极小值10 则的值为 2 2017泰州中学第一次质量检测 已知函数f x x3 x2 2ax 1 若函数f x 在 1 2 上有极值 则实数a的取值范围为 解析 1 f x 3x2 2ax b 由题意得解得或当时 f x 3x2 12x 9 函数f x 在x 1处取得极大值10 当时 f x 3x