2019-2020学年辽阳市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年辽宁省辽阳市高二上学期期末数学试题一、单选题1在数列中，则（ ）A2B6C8D14【答案】C【解析】根据数列的递推公式求出，即可求得.【详解】解：因为，所以，则.故选：【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题.2已知直线经过两点，则直线的倾斜角是( )ABCD【答案】A【解析】求出直线的斜率，根据斜率得倾斜角【详解】由题意直线的斜率为，倾斜角为故选：A【点睛】本题考查直线的倾斜角，可先求出斜率根据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角3抛物线的准线方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据抛物线的定义，将抛物线化成标准式，即可求出其准线方程.【详解】解：，则该抛物线的准线方程是，即.故选：【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，属于基础题.4若等差数列的公差，则（ ）ABC15D28【答案】B【解析】由题意可设，根据等差数列的定义可得的值，从而可得的值，根据即可得结果.【详解】设，则.即，故，故选：B.【点睛】本题考查等差数列首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列定义的合理运用5已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则（ ）A1B3C4D5【答案】A【解析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得的值.【详解】在椭圆中，即椭圆的焦点坐标为，双曲线的焦点为，解得，故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.6已知是等差数列的前n项和，若，则（ ）A99B33C198D66【答案】D【解析】由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求得结果.【详解】因为，所以，则，故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，属于中档题.7已知在正方体中，E是的中点，F是底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，得出点的坐标，求出即可得结果.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，可得，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，转化为两直线的方向向量之间的关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题8已知等比数列的前n项和为，若，则，（ ）A10B15C20D25【答案】A【解析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得，结合的值进而可得结果.【详解】，则，故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题.9已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是该双曲线上的一点，且，则（ ）A2或18B2C18D4【答案】C【解析】首先根据可判断出点P在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果.【详解】在双曲线中，因为，所以点P在该双曲线左支上，则，故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P的位置是解题的关键，属于中档题.10已知椭圆：的左、右焦点分别为，定点，点是椭圆上的动点，则的最大值是（ ）A7B10C17D19【答案】C【解析】计算，利用得到答案.【详解】由题意可得，则.因为点在椭圆上，所以所以故.当共线且在延长线上时取等号.故选： 【点睛】本题考查了椭圆线段的最值问题，利用是解题的关键，意在考查学生的转化能力和计算能力.11若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为（ ）A16B10C9D8【答案】C【解析】由直线截圆所得的弦长为圆的直径可得直线过圆心即，利用“乘1”法，根据基本不等式即可得结果.【详解】由题意可知直线l经过圆C的圆心，则，故（当且仅当时取等号），即的最小值为9，故选：C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式在求最值中的应用，得到是解题的关键，属于中档题.12双曲线的左、右焦点分别为，渐近线分别为，过点且与垂直的直线交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D3【答案】B【解析】设：，：，联立方程得到，再计算，利用余弦定理得到，计算得到答案.【详解】记为坐标原点.由题意可得，不妨设：，：则直线：.联立，解得则故，.因为，所以所以，则.因为，所以，所以，整理得，则解得.故选：【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13已知向量，则_.【答案】【解析】直接根据空间向量坐标加法运算即可直接得到结果.【详解】因为，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间向量坐标加法运算法则，属于基础题.14如图，在长方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的大小是_.【答案】30（或）【解析】取的中点F，连接，然后证明取的中点F，连接，最后在中求出角的大小即可.【详解】取的中点F，连接，面,则为直线与平面所成的角.由题意可得，则，故，即直线与平面所成角的大小是30，故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中构造出线面夹角的平面角是解答本题的关键，属于中档题.15已知直线与圆的两个交点关于直线对称，则_.【答案】【解析】由题意可得直线与直线互相垂直且直线过圆心，由此可列出关于，的方程组，解出方程组即可得结果.【详解】由题意可得解得，故，故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的对称性，属于中档题16已知抛物线：，点在轴上，直线：与抛物线交于，两点，若直线与直线的斜率互为相反数，则点的坐标是_.【答案】【解析】设出，线：与抛物线交于，两点，即三点共线，根据直线与直线的斜率互为相反数，即可求出点坐标.【详解】考虑直线：，即，所以直线恒过定点，设，直线：与抛物线交于，两点，即三点共线，化简得： 所以，直线与直线的斜率互为相反数，即恒成立，则所以即点的坐标是 故答案为：【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题17已知直线经过点.（1）若与直线平行，求的方程（结果用一般式表示）；（2）若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的方程（结果用一般式表示）.【答案】（1）（2）或.【解析】（1）根据平行得到的斜率为2，得到点斜式为，化简得到答案.（2）根据直线是否过原点两种情况分别计算得到答案.【详解】（1）因为与直线平行，所以的斜率为2，由点斜式可得，的方程为，即.（2）当直线过原点时，的斜率为，所以的方程为.当直线不过原点时，设直线的方程为，代入，得，所以的方程为.综上所述：的方程为或.【点睛】本题考查了直线方程，讨论直线是否过原点是解题的关键，意在考查学生的计算能力.18已知圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，且圆心在x轴上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（5，2），且被圆C所截得的弦长为6，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）根据题意可设圆的方程为，根据点在圆上可得关于的方程组，解出方程组即可得到圆的方程.（2）由直线截圆所得的弦长结合垂径定理可得圆心到直线的距离为4，当直线斜率不存在时显然成立，当直线斜率存在时，可设为点斜式，根据点到直线的距离公式求出斜率即可.【详解】（1）因为圆心在x轴上，所以可设圆的方程为. 因为圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，所以解得，. 故圆C的标准方程是. （2）因为直线l被圆C所截得的弦长为6，所以圆C的圆心到直线l的距离.当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，所以圆C的圆心到直线l的距离，符合题意； 当直线l的斜率存在时，可设出直线l的方程为，即，则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或.【点睛】本题考查了用待定系数法求圆的方程，通常用一般式计算要简单；另外圆与直线相交时，半径、弦长的一半和弦心距的关系，注意用到斜率考虑是否存在问题，属于中档题19已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点.（1）若直线l的方程为，求的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且，求.【答案】（1）18；（2）.【解析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去，由韦达定理可得，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l的方程为，联立直线与抛物线的方程，消去，结合韦达定理以及可解出，根据弦长公式即可得结果.【详解】（1）设，.联立整理得， 则. 因为均在抛物线C上，所以. （2）设，则直线l的方程为.联立整理得， 则，且，即. 因为，所以点N为线段的中点，所以. 因为，所以，此时， 故.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20已知数列的前项和为，且，数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）利用公式化简得到，再利用计算得到数列的通项公式.（2）由（1）可得，则，再利用错位相减法计算前项和.【详解】（1）因为，所以，所以，即.因为，所以，所以.故数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，.（2）由（1）可得，则，从而，-得，故.【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21如图，在四棱锥中，O为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点F，连接，易得，由线面垂直判定定理可得平面，进而，再将与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，可求出平面的一个法向量，取平面的一个法向量，根据图象结合即可得结果.【详解】（1）证明：取的中点F，连接.因为，F为的中点，所以. 因为O为中点，F为的中点，所以.因为，所以， 因为，平面，平面，所以平面. 又平面，所以.因为，O为的中点，所以. 因为，平面，平面，所以平面. （2）解：以O为坐标原点，所在直线为x轴，平行的直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，所以， 故，. 设平面的法向量，则不妨取，则平面的一个法向量，记二面角的大小为，由图可知为锐角，则.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，且的最小值是（为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程.（2）已知动直线与圆：相切，且与椭圆交于，两点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在【解析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解.【详解】（1）因为的最小