《极限概念》PPT课件.ppt

2 1极限概念 2 1 1极限思想 2 1 2数列的极限 2 1 3函数的极限 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 播放 刘徽 2 1 1极限思想 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 2 1 2数列的极限 其中每一个数称为数列的项 第n项xn为数列的一般项或通项 例如 在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列 也可看成实数轴上的一个动点 注意 2 数列可看成是以自然数为自变量的函数 xn f n 播放 问题 当无限增大时 是否无限接近于某一确定的数值 如果是 如何确定 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 通过上面演示实验的观察 定义1 8对于数列 如果当无限变大时 趋于一个常数 则称当趋于无穷大时 数列以为极限 记作 亦称数列收敛于 如果数列没有极限 就称是发散的 或 观察下面数列的变化趋势 哪些数列收敛 哪些数列发散 如果收敛 写出它们的极限 练习一 2 1 3函数的极限 数列极限是一般函数极限的特殊情况 数列是定义在自然数集上的一个函数 其自变量是离散的 而不是连续的 其自变量的变化过程只有一种 即趋于无穷大 记作但是 考察一般函数的极限时 自变量的变化过程可以是连续的 并出现了多种可能性 例如 1 当自变量绝对值无限增大 即沿轴的正向和负向同时远离原点时 记作 2 当自变量无限增大 或无限减小 时 记作 或 3 当自变量从的两侧趋向于时 记作 4 当自变量从的左侧 的右侧 趋向于时 记作 或 x y的变化趋势 x x趋向正无穷大 x y y无限接近于常数0 y 0 再看函数图象 即对函数 当时 定义1 9 如果当且无限增大时 函数趋于一个常数 则称当时函数以为极限 记 或 由例1知 对于函数 有 例2 已知函数 试由函数的图像判断趋向负无穷大时函数的变化趋势 由图可见 对函数 当时 定义1 9 如果当且的绝对值无限增大时 函数趋于一个常数 则称函数当时以为极限 记作 或 由例2知 对于函数 有 例3 已知函数 判断当和时 函数的极限 解作的图象 和可以写成 例3结论又可写成 定义1 9如果当的绝对值无限增大时 函数趋于一个常数 则称当时函数以为极限 记 或 例4求 解当时 即 例5求 解函数的图象如图所示 当时 无限变小 函数值趋于1 时 函数值同样趋于1 所以有 例6 已知函数 讨论当是否有极限 为什么 如图 由图可知 时 时 例7 已知函数 讨论当是否有极限 为什么 如图 时 某一固定的常数A时 某一固定的常数A 由图可知 观察下列极限是否存在 如存在请写出极限 练习二 定义1 10设函数在点的某个邻域 点本身可以除外 内有定义 如果当趋于 但 时 函数趋于一个常数 则称当趋于时 以为极 记作或 亦称当时 的极限存在 否则称当时 的极限不存在 2 时函数的极限 注意 定义中表示从小于和大于的两个方向趋近于 定义中考虑的是时函数的变化趋势 并不考虑在处的情况 例8根据极限定义说明 2 1 解 1 当自变量趋于时 作为函数的也趋于 于是依照定义有 2 无论自变量取任何值 函数都取相同的值 那么它当然趋于常数 所以 例9考察函数 写出当时函数的极限 并作图验证 解 例10利用图像考察和的值 解 作的图像 作的图像 解 例11求极限 并作图观察 练习三 求下列极限 定义1 11设函数在点右侧的某个邻域 点本身可以除外 内有定义 如果当趋于时 函数趋于一个常数 则称当趋于时 的右极限是 记作 3 左极限与右极限 或 设函数在点左侧的某个邻域 点本身可以除外 内有定义 如果当趋于时 函数趋于一个常数 则称当趋于时 的左极限是 记作 或 定理1 1当时 以为极限的充分必要条件是在点处左 右极限存在且都等于 即 试判断是否存在 左 右极限各自存在且相等 所以存在 且 解先分别求 当 时的左 右极限 解当时 即 当时 故 即 左极限存在 而右极限不存在 由充分必要条件可知不存在 例12判断是否存在 解 例13讨论函数当和时的极限 例14 解 讨论函数当时的极限是否存在 练习四 求下列函数当时的左 右极限 并指出当时极限是否存在 返回目录 4 设函数 作出函数的图形 试问以及是否存在 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 一 概念的引入 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 一 概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽