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福建农林大学研究生考试试卷 （ A ）卷2012 2013 学年第 二 学期 课程名称： 系统模拟与仿真 考试形式 开卷 研究方向 年级 学号 姓名 题号一二三总得分得分评卷人得分评卷人一、系统设计与应用（第1 、2题各20分，共40分）1对房屋加热系统进行仿真，加热器和温度控制器用以下常微分方程描述：其中，T为温度控制器测量的室内温度，T0为外部温度。所有温度均用摄氏度表示，K（t）表示温度变化的时间常数，C（t）为稳态内外温差，它们在加热器接通和关闭时都会发生变化。当加热器关闭时，K（t）=810-5/s，C（t）=0；当加热器接通时，K（t）=510-4/s，C（t）=40。温度控制器是一个开关，当检测的温度低于20时，接通加热器；当检测的温度高于22时，切断加热器。初始条件为T0=0，T=18，加热器关闭。试选择合适算法仿真系统运行30分钟，使仿真温度的误差峰值在（0.01，0.02）范围内变化，并计算系统在此30分钟运行过程中要接通多少次加热器（附简要计算过程）。解：根据已知条件，有2个微分方程，要求仿真温度的精度（200.01，220.02）。（1）接通加热器方程：（2）关闭加热器方程：根据初始条件，T0=0，T（0）=18，加热器关闭。这时温控器检测到温度T（0）22, 关闭加热器，仍取步长h=20s，方程为：，即 根据欧拉公式有： 整理得：（2）应用式（2）计算关闭加热器状态下各时刻的T值，按h=20s的间隔，将各T值登记在表1-1中。同样，按照温控器的动作，计算30分钟（1800s）内各时刻的T值。表1-1 房屋加热系统温控仿真计算过程tnStateTn+1tnStateTn+1tnStateTn+10接通18 640断开21.585 1280断开20.50720接通18.220 66021.550 130020.4744018.438 68021.516 132020.4416018.654 70021.482 134020.4088018.867 72021.448 136020.37510019.078 74021.414 138020.34212019.287 76021.380 140020.30914019.494 78021.346 142020.27716019.699 80021.312 146020.24518019.902 82021.278 148020.21320020.103 84021.244 150020.18122020.302 86021.210 152020.14924020.499 88021.176 154020.11726020.694 90021.142 156020.08528020.887 92021.108 1580断开20.05330021.078 94021.074 1600断开20.02132021.267 96021.040 1620接通19.98934021.454 98021.006 1640接通20.18936021.639 100020.972 166020.387380接通21.823 102020.938 168020.583 400接通22.005 104020.904 170020.777 420断开21.970 106020.871 172020.970 440断开21.935 108020.838 174021.160 46021.900 110020.805 176021.348 48021.865 112020.771 178021.535 50021.830 114020.738 180021.719 52021.795 116020.705 54021.760 118020.672 56021.725 120020.639 58021.690 122020.606 60021.655 124020.573 620断开21.620 1260断开20.540 根据表1-1的数据可得，从1820约180s,2022约200s，2220约1200s，作图分析推测得，共需加热2次。T221820t 200 400 1620 1800 图1-1 房屋加热系统温控仿真过程从表1-1可以看出，个别点仿真精度不符合要求，如在第1620s，温度为19.98919.999。出现此问题的主要原因是使用的步长h（=20s）偏长，此外欧拉方法本身误差也比较大。2已知某控制系统框图如图2所示，计算该系统用差分方程表示的仿真模型。初值：，+yeu-图2 控制系统框图解：用并联法将该连续系统分解如下图所示。x11syn1+eux21s+2n2-显然，可以求得上图中系数，则可得描述连续系统的状态方程为（3-P）状态矩阵，输入矩阵，则在环节入口e处加一虚拟采样开关及保持器，得到离散相似系统如图2-1所示。x11s+21s+uyen1x2H（s）T-n2图2-1 离散相似系统设图中的H（s）为零阶保持器，则有将计算结果代入式，得与式（3-P）对比，展开后得差分方程为，求初值，从式（3-P）的输出方程得从而解得，得分评卷人二、综合分析题（第1、 2题各20分，共40分）1福州市杨桥路口和省体育中心路口电动自行车与自行车到达情况如调查表1与表2所示，要求对该数据进行分析，计算其是否属于负二项分布。表1 杨桥路口观测处30秒内来车平均数据周期早上7:30-8:10上午9:30-10:10下午5:50-6:30时间自行车电动车时间自行车电动车时间自行车电动车17:30759:30215:509727:40579:40336:0011337:501189:50616:108948:008510:00436:207458:105610:10356:3055表2 省体育中心路口观测处30秒内来车平均数据周期早上7:30-8:10上午9:30-10:10下午5:50-6:30时间自行车电动车时间自行车电动车时间自行车电动车17:30359:30325:507727:40949:40416:0013637:501169:50206:1010348:0014910:00526:2012758:106510:10156:3066要求：（1）将30 秒内到达车辆数分为0-3、4-7、8-11、12-15、16-19和20共6 组（2）计算均值m、样本的方差s2，可以估算负二项分布的2 个参数如下： ， 其中，样本的均值m、样本的方差s2，可以按下式计算： ， 式中：g观测数据的分组数； fj计数间隔 t 内到达kj 辆车这一事件发生的次数； kj 计数间隔 t 内的到达数或各组的中值； N观测的间隔总数。（3）使用x2 检验法来检验关于总体分布的假设H0：总体X的分布函数为F（X）服从参数为p和的负二项分布使用统计量：（4）选择检验水平并查x2表给出判断。解：（1）从杨桥路口和省体育中心路口数据可以看出，显然30 秒内到达车辆数为2 kj 23，为了消除测量误差，将其分为0-3、4-7、8-11、12-15、16-19和20共6 组，用各组的中值代替观测值，列出计算表（表3）。表3 负二项分布计算表到达车辆数杨桥路口数据省体育中心路口到达车辆中值(kj)观测频率数（fj）kj fj到达车辆中值(kj)观测频率数（fj）kj fj0-31.5=2121.5=2124-75.5=64245.5=64248-119.5=103309.5=1022012-1513.5=1445613.5=1445616-1917.5=1835417.5=183542020.5=210020.5=21121合计1516615177（2）综合2 个路口数据计算得:m=11；而 样本方差s2 计算如下：估算负二项分布的2个参数如下：（3）假设电动车与自行车到达服从p=0.42和=8的负二项分布，现根据它的n=15个观测值（x1，x2，xn）来检验关于总体分布的假设。H0：总体x的分布函数为F（x）服从p=0.42和=8的负二项分布具体计算过程如下，已知电动车与自行车到达概率分布，x=0,1,2,计算概率则，理论频数为Fj=npi ，此处为提高精度，取n=15，使用统计量作为检验理论（即假设H0 ）与实际符合的程度。可以认为，只要n充分大（n50），不论总体服从什么分布，统计量总是近似地服从自由度为k-r-1 的x2分布。其中取k=n，r是被估计参数的个数。于是，若在假设H0 下算得的统计量x2 有则在水平下拒绝H0 或以水平1-接受H0.具体计算过程如下:当x20时,k=20,则：,当时，当时，当时，当时，当时，（4）查表得,即在水平0.70下拒绝H0 或只以水平0.30接受H0.(总体服从p=0.42和=8的负二项分布)。因此，基本可以确定电动自行车与自行车混合交通流的到达规律不服从负二项分布,这主要是因为尽管交通发生在非机动车道，但是，电动自行车毕竟是属于机动车，其速度比自行车快得多，也不是由人力驱动的。或者说，电动自行车在更多情况下是体现了具有机动车的特征，因为，无论从其速度上，还是质量上，以及对其的使用上，使用者更多把他当作准机动车来使用。2排队系统仿真。设顾客随机地分别以1-8min的间隔到达，到达间隔时间值为等概率出现，均为0.125。服务时间为1-6min，其概率分别为0.10、0.20、0.30、0.25、0.10、0.05，要求至少仿真10个顾客作为运行长度（增加样本量可以提高结果精度）进行仿真。具体过程包括如下：（1）用3位随机数模拟随机到达间隔时间，作出到达间隔时间分布表；（2）用2位随机数模拟随机服务时间，作出服务时间分布表；（3）设代表10个顾客的随机抽取的到达间隔时间随机数如表1，完成该表；（4）设代表10个顾客的随机抽取的服务时间随机数如表2，完成该表；（5）仿真计算，完成仿真过程表（表3），描述10个顾客排队过程。（6）计算：顾客的平均等待时间，服务台空闲的概率，在队列中排队顾客的平均等待时间，顾客在系统中逗留的平均时间。解：（1）为了产生到达间隔时间，可以取一组均匀分布的随机数。随机数有下述特征： 1）随机数集合在01之间均匀分布； 2）相邻的随机数是独立的。在这种情况下，对于产生随机到达间隔时间需要3位随机数（见表2-1）。表2-1 到达间隔时间分布到达间隔时间（min）概率累计概率随机数区间10.1250.125001-12520.1250.250126-25030.1250.375251-37540.1250.500376-50050.1250.625501-62560.1250.750626-75070.1250.875751-87580.1251.000876-000（2）而对于产生随机服务时间，需要2位随机数即可（见表2-2）。表2-2 服务时间分布服务时间（min）概率累计概率随机数区间10.100.1001-1020.200.3011-3030.300.6031-6040.250.8561-8550.100.9586-9560.051.0096-00（3）上述2个表的最后一列为随机数范围和区间，如表2-1中第一行数值是001-125，可以看出在1000个三位数中，如果平均分为8段，每段为125个数，抽取这125个数的概率是，相当于到达时间间隔为1 min的概率是0.125，即到达间隔时间分布可用1000个三位数来模拟；同理，服务时间分布可用100个二位数来模拟。依题目要求，确定10个顾客到达间隔时间和服务时间。先从000-999中随机抽取1个三位数作为顾客到达间隔时间（第一位顾客到达间隔时间定为0），然后和表2-1最后一列进行比较，如第2个顾客的随机数是913，查表2-1得对应的到达间隔时间是8 min，依次进行，10个顾客到达间隔时间见表1。表1 到达间隔时间的确定顾客随机数到达间隔时间（min）顾客随机数到达间隔时间（min）1-6309329138792283727687537401519235259488103023（4）同理，从00-99中随机抽取1个二位数作为顾客服务时间，并和表2-2最后一列进行比较，依次进行，10个顾客服务时间见表2。 表2 服务时间的确定顾客随机数服务时间（min）顾客随机数服务时间（min）18446794210179153744867445339895517210383（5）用手算仿真的主要工作是列出仿真过程表，该表描述了10个顾客排队的过程，它也用于分析仿真结果，具体见表3。表3 仿真过程（单位：min）顾客到达间隔时间到达时刻服务开始时刻服务时间等待时间服务结束时刻逗留时间服务台空闲时间1-004044028881091436141440184541151833216058232320252263262640304178343450395487414140454292434552507010346503453703594418在表3中，假定第1个顾客在时刻为0时到达，立即开始接受服务，并在时刻为4 min时完成，顾客停留在系统中4 min，服务台闲时间为0。第2个顾客在第8min时到达，这样，服务台闲了4 min。第3个顾客隔6 min后在第14min时到达，立即接受服务，并在第18min时完成。第4个顾客隔1 min后在第15min时到达，此时由于第3个顾客的服务尚未结束，故第4个